6.3.1平面向量基本定理课后检测
一、单选题
1. 若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A.e1－e2，e2－e1
B.2e1－e2，e1－e2
C.2e2－3e1，6e1－4e2
D.e1＋e2，e1－e2
【解析】选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底.
2. 若O为 ABCD的对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于( )
A. B.
C. D.
【解析】∵3e2－2e1＝－
＝(＋)，
又＋＝＝2，
∴3e2－2e1＝.
3. 设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，则λ＝( )
A.2 B.3
C.－2 D.－3
【解析】由＝－＋，
得3＝－＋4，
即4－4＝－，
则4＝，即＝－4，
可得＋＝－3.
故＝－3，则λ＝－3.
4. △ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，用a，b表示等于( )
A.(a－b) B.(b－a)
C.(a－b) D.(b－a)
【解析】由题意得＝＝(－)＝(－)＝(b－a).
5. 如图所示，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x＋y，则3x－2y＝( )
A． B．
C．1 D．2
【解析】由题意，得＝＋＝＋＝＋(－＋＋)＝＋＝＋。因为＝x＋y，所以x＋y＝＋。因为与不共线，所以由平面向量基本定理得所以3x－2y＝3×－2×＝1.故选C.
6. 在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A.1 B.
C. D.
【解析】由题易知，在△ABD中，BD＝AB＝1.又BC＝3，所以BD＝BC，所以＝＋＝＋.因为O为AD的中点，所以＝＝＋.因为＝λ＋μ，与不共线，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.
二、多选题
7. D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，下列结论正确的是( )
A.＝－a－b
B.＝a＋b
C.＝－a＋b
D.＝a
【解析】如图，＝＋＝－＋＝－b－a，A正确；＝＋＝a＋b，B正确；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，C正确；＝＝－a，D不正确.
8. 如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是( )
A．＝＋ B．＝＋
C．＝＋ D．＝－
【解析】＝＋＝＋，A正确；＝＋＝＋＝＋＝＋，B正确；＝＋＋＝－＋＋＝－，C错误；＝＋＋＝－＋＋＝－，D正确．
三、填空题
9. 已知λ1>0，λ2>0，{e1，e2}是平面内一个基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则向量a与e1________，a与e2________。(填“共线”或“不共线”)
【解析】因为e1，e2不共线，λ1>0，λ2>0，所以a与e1，e2都不共线.
10. 方格纸中向量a，b，c如图所示，若c＝λa＋μb，则λ＋μ＝________．
【解析】设水平向右，竖直向上的单位向量分别为e1，e2，
则a＝e1＋3e2，b＝3e1－e2，c＝5e1＋5e2，
又c＝λa＋μb，所以
所以即λ＋μ＝3.
11. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足＝3，线段CO上有点N满足＝λ(λ＞0)，设＝a，＝b，已知＝μa－b，则λ＝________，μ＝________．
【解析】依题意得＝b－a，＝a＋b，且＝＝(a－b)＝a－b，＝＋＝＝(a＋b)，
所以＝＋＝b＋＝a＋b，＝＋＝a＋b＋＝a＋b，即＝(a＋b)＝a＋b，
由平面向量基本定理，得
解得
解答题
12. 如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
【解析】(1)延长AD到点G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，则＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a).
(2)由(1)知，＝，所以，共线．
又，有公共点B，所以B，E，F三点共线．
13. 设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2.
【解析】(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得
所以λ不存在．
故a与b不共线，可以作为一个基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
所以解得
所以c＝2a＋b.
14. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足＝3，线段CO上有点N满足＝λ(λ>0)，设＝a，＝b，已知＝μa－b，试求实数λ，μ的值．
【解析】依题意得＝b－a，＝a＋b，
且＝＝(a－b)＝a－b，
＝＋＝＝(a＋b)，
所以＝＋＝b＋＝a＋b，
＝＋＝a＋b＋＝a＋b，
即＝(a＋b)＝a＋b，
由平面向量基本定理，得
解得6.3.1平面向量基本定理课后检测
一、单选题
1. 若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A.e1－e2，e2－e1
B.2e1－e2，e1－e2
C.2e2－3e1，6e1－4e2
D.e1＋e2，e1－e2
2. 若O为 ABCD的对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于( )
A. B.
C. D.
3. 设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，则λ＝( )
A.2 B.3
C.－2 D.－3
4. △ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，用a，b表示等于( )
A.(a－b) B.(b－a)
C.(a－b) D.(b－a)
5. 如图所示，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x＋y，则3x－2y＝( )
A． B．
C．1 D．2
6. 在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A.1 B.
C. D.
二、多选题
7. D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，下列结论正确的是( )
A.＝－a－b
B.＝a＋b
C.＝－a＋b
D.＝a
8. 如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是( )
A．＝＋ B．＝＋
C．＝＋ D．＝－
三、填空题
9. 已知λ1>0，λ2>0，{e1，e2}是平面内一个基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则向量a与e1________，a与e2________。(填“共线”或“不共线”)
10. 方格纸中向量a，b，c如图所示，若c＝λa＋μb，则λ＋μ＝________．
11. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足＝3，线段CO上有点N满足＝λ(λ＞0)，设＝a，＝b，已知＝μa－b，则λ＝________，μ＝________．
解答题
12. 如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
13. 设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2.
14. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足＝3，线段CO上有点N满足＝λ(λ>0)，设＝a，＝b，已知＝μa－b，试求实数λ，μ的值．
