6.4.3余弦定理、正弦定理 强化训练
一、单项选择
1、在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c＝( )
A. B. C.6 D.5
2、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且bA．3 B．2
C．2 D．
3、在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x2－3x＋2＝0的两个实数根，且△ABC的面积为，则C的大小是( )
A.45° B.60°
C.60°或120° D.45°或135°
4、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为 ( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
5、如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，弧ACB和弧ADB分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若∠ACB＝，AC＝BC＝1，则弧ACB的半径为( )
A．1 B．
C．2 D．
6、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝( )
A． B．
C． D．
7、某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 km，那么x的值是 ( )
A． B．或2
C．3 D．3或6
8、如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1 000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)( )
(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.646)
A.39米 B.43米 C.49米 D.53米
二、多项选择题
9、在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是( )
A．若AB．若sin AC．若A>B，则>
D．若Acos2B
10、定义运算．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．角B的最大值为 D．若，则为钝角三角形
11、已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A.若tan A＋tan B＋tan C＞0，则△ABC是锐角三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D.若＝＝，则△ABC是等边三角形
12、在中，所对的边为，，边上的高为，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C．的最小值为 D．的最大值为
三、填空题
13、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________．
14、在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的周长为________．
15、在△ABC中，B＝，AC＝，且cos2C－cos2A－sin2B＝－sin Bsin C，则C＝________，BC＝________．
16、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________.
四、解答题
17、在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3.
(1)求sin B的值；
(2)若点D在边BC上，AD＝BD，求△ABD的面积．
18、在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1.
(1)若AB＝，求BC；
(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.
19、在①2bsin A＝a，②sin2 A＋sin2 C＝sin2 B＋sin A·sin C，③acos A＝ccos C这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中．若问题中的三角形存在，请求出cos C；若问题中的三角形不存在，请说明理由．
问题：是否存在△ABC，满足a注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20、如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝，半径为4，若点C是上的一动点(不与点A，B重合).
(1)若弦BC＝4(－1)，求的长；
(2)求四边形OACB面积的最大值.
21、已知函数f(x)＝2cos2－cos－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)＝2，b＝2，△ABC的面积为3，求△ABC外接圆的面积.
22、在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积.
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.6.4.3余弦定理、正弦定理 强化训练（答案）
一、单项选择
1、在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c＝( B )
A. B. C.6 D.5
2、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且bA．3 B．2
C．2 D．
3、在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x2－3x＋2＝0的两个实数根，且△ABC的面积为，则C的大小是( D )
A.45° B.60°
C.60°或120° D.45°或135°
4、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为 ( A )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
5、如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，弧ACB和弧ADB分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若∠ACB＝，AC＝BC＝1，则弧ACB的半径为( A )
A．1 B．
C．2 D．
6、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝( D )
A． B．
C． D．
7、某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 km，那么x的值是 ( B )
A． B．或2
C．3 D．3或6
8、如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1 000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)( D )
(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.646)
A.39米 B.43米 C.49米 D.53米
二、多项选择题
9、在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是( ABD )
A．若AB．若sin AC．若A>B，则>
D．若Acos2B
10、定义运算．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足，则下列结论正确的是（ ACD ）
A． B．
C．角B的最大值为 D．若，则为钝角三角形
11、已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( ACD )
A.若tan A＋tan B＋tan C＞0，则△ABC是锐角三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D.若＝＝，则△ABC是等边三角形
12、在中，所对的边为，，边上的高为，则下列说法中正确的是（ ABD ）
A． B． C．的最小值为 D．的最大值为
三、填空题
13、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝____3____．
14、在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的周长为___4＋4_____．
15、在△ABC中，B＝，AC＝，且cos2C－cos2A－sin2B＝－sin Bsin C，则C＝________，BC＝________．
16、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为___80_____.
四、解答题
17、在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3.
(1)求sin B的值；
(2)若点D在边BC上，AD＝BD，求△ABD的面积．
解:(1)在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝36＋18＋36×＝90，
所以BC＝3.
由正弦定理得，
sin B＝＝＝.
(2)因为B为锐角，
所以cos B＝＝.
在△ABD中，由余弦定理得
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B．
又因为AD＝BD，
所以BD＝＝＝，
所以S△ABD＝AB·BDsin B＝×6××＝3.
18、在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1.
(1)若AB＝，求BC；
(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.
解 (1)如图所示，
在△ABD中，由余弦定理可知，
cos∠ABD＝
＝＝.
∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，
即cos∠BDC＝cos∠ABD＝.
在△BCD中，由余弦定理可得，
BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC＝12＋12－2×1×1×，
∴BC＝.
(2)设BC＝x，则AB＝2BC＝2x.
由余弦定理可知，
cos∠ABD＝
＝＝x，①
cos∠BDC＝
＝＝.②
∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，
即cos∠BDC＝cos∠ABD.
联立①②，可得＝x，
整理得x2＋2x－2＝0，
解得x1＝－1，x2＝－－1(舍去).
将x1＝－1代入②，
解得cos∠BDC＝－1.
19、在①2bsin A＝a，②sin2 A＋sin2 C＝sin2 B＋sin A·sin C，③acos A＝ccos C这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中．若问题中的三角形存在，请求出cos C；若问题中的三角形不存在，请说明理由．
问题：是否存在△ABC，满足a注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：选①：
因为2bsin A＝a，所以2sin Bsin A＝sin A，
因为A为△ABC的内角，所以sin A≠0，
所以sin B＝.
又b所以B为锐角，故B＝60°.
因为a＋2c＝3b，
所以(a＋2c)2＝9b2＝9(a2＋c2－ac)．
所以8a2＋5c2－13ac＝0，
即(8a－5c)(a－c)＝0.
因为a所以8a－5c＝0.
代入a＋2c＝3b，求得a∶b∶c＝5∶7∶8.
故△ABC存在，且cos C＝＝＝.
选②：
因为sin2 A＋sin2 C＝sin2 B＋sin Asin C，
所以a2＋c2＝b2＋ac，
cos B＝＝＝，
所以B＝60°.
因为a＋2c＝3b，
所以(a＋2c)2＝9b2＝9(a2＋c2－ac)．
所以8a2＋5c2－13ac＝0，
即(8a－5c)(a－c)＝0.
因为a所以8a－5c＝0.
代入a＋2c＝3b，解得a∶b∶c＝5∶7∶8.
故△ABC存在，
且cos C＝＝＝.
选③：
因为acos A＝ccos C，
所以sin Acos A＝sin Ccos C．
所以sin 2A＝sin 2C．
所以2A＝2C或2A＋2C＝180°.
所以A＝C或A＋C＝90°.
因为a所以A＝C不合题意，
所以A＋C＝90°.
所以B＝90°.
所以a2＋c2＝b2.
因为a＝3b－2c，
所以(3b－2c)2＋c2＝b2，
所以5c2－12bc＋8b2＝0.
可看成是关于c的一元二次方程，
Δ＝－16b2<0，
故△ABC不存在．
20、如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝，半径为4，若点C是上的一动点(不与点A，B重合).
(1)若弦BC＝4(－1)，求的长；
(2)求四边形OACB面积的最大值.
解 (1)在△OBC中，BC＝4(－1)，
OB＝OC＝4，
所以由余弦定理得
cos∠BOC＝＝，
所以∠BOC＝，
于是的长为×4＝.
(2)设∠AOC＝θ，θ∈，
则∠BOC＝－θ，
S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC
＝×4×4sin θ＋×4×4·sin
＝24sin θ＋8cos θ＝16sin.
由于θ∈，所以θ＋∈，
当θ＝时，四边形OACB的面积取得最大值16.
21、已知函数f(x)＝2cos2－cos－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)＝2，b＝2，△ABC的面积为3，求△ABC外接圆的面积.
解 (1)f(x)＝2cos2 －cos－1＝cos x＋sin x＝2sin，
因为ω＝1，T＝，所以T＝2π.
(2)∵f(A)＝2sin＝2，0＜A＜π，
∴A＝，
∵b＝2，∴△ABC的面积S＝bcsin A＝×2c×＝3，∴c＝6.
由余弦定理得cos A＝，又a＞0，∴a＝2.
设△ABC的外接圆半径为R，
则由正弦定理得2R＝＝＝，
故R＝，从而S＝πR2＝.
22、在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积.
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
解 选条件①：c＝7，cos A＝－，
且a＋b＝11.
(1)在△ABC中，由余弦定理，得
cos A＝＝＝－，
解得a＝8.
(2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝＝＝.
在△ABC中，由正弦定理，得
sin C＝＝＝.
∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，
∴S△ABC＝absin C＝×8×3×＝6.
选条件②：cos A＝，cos B＝，
且a＋b＝11.
(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cos A＝，cos B＝，
∴sin A＝＝＝，sin B＝＝＝.
在△ABC中，由正弦定理，可得
＝＝＝.
又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.
(2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝＝.
∴S△ABC＝absin C＝×6×5×＝.
