7.5 正态分布 同步练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（含解析）
文档属性
| 名称 | 7.5 正态分布 同步练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 42.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-07 08:48:01 | ||
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文档简介
《第五节 正态分布》同步练习
一、基础巩固
知识点1 正态曲线及其特点
1.(多选)下面给出的关于正态曲线的叙述中,正确的是( )
A.曲线在x轴上方,且与x轴不相交
B.当x>μ时,曲线下降;当x<μ时,曲线上升
C.当μ一定时,σ越小,总体分布越分散;σ越大,总体分布越集中
D.曲线关于直线x=μ对称,且当x=μ时,位于最高点
2.已知随机变量X~N(0.4,), Y~N(0.8,),其正态曲线如图所示,则下列说法错误的是( )
A.P(X≥0.4)=P(Y≥0.8)
B.P(X≥0)=P(Y≥0)
C.X的取值比Y的取值更集中于平均值左右
D.两支密度曲线与x轴之间的面积均为1
知识点2 正态分布的概率计算
3.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),且P(ξ<6)=0.8,则P(0<ξ<3)=( )
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
4.(多选)[2022山东青岛大学附属中学高二下期中]已知正态分布X~N(1,σ2)的正态曲线如图所示,则下列选项中,能表示图中阴影部分面积的是( )
A.-P(X≤0)
B.-P(X≥2)
C.-P(1≤X≤2)
D.P(X≤2)-P(X≤0)
5.已知随机变量X~B(2,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.64,P(0≤Y<2)=p,则P(Y>4)= .
知识点3 正态分布的实际应用
6.[2023广东东莞四中高三上月考]某地组织高中数学竞赛,初赛共有20 000名学生参赛,统计得到考试成绩X(满分150分)服从正态分布N(110,100).考试成绩140分及以上者可以进入决赛,则本次考试可以进入决赛的人数大约为( )
A.27 B.54 C.455 D.13
7.[2022江苏扬州高三调研]山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉中外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径X(单位:mm)服从正态分布N(80,52),则直径X在(70,85]内的概率为( )
A.0.683 2 B.0.83 C.0.818 6 D.0.954 5
8.(多选)[2022湖北高二下联考]已知某高校学生每周阅读时间X(单位:h)服从正态分布N(8,4),则下列说法正确的是( )
A.该校学生每周平均阅读时间为8 h
B.该校学生每周阅读时间的标准差为2
C.若该校有10 000名学生,则每周阅读时间在4~6 h的人数约为2 718
D.该校学生每周阅读时间不低于4 h的人数约占2.28%
二、能力提升
1.设随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点的概率为( )
A. B. C. D.
2.已知某冰上项目组织计划招收一批9~14岁的青少年参加集训,以选拔运动员,共有20 000名青少年报名参加测试,其测试成绩X(满分100分)服从正态分布N(60,σ2),成绩为90分及以上者可以进入集训队.已知80分及以上的人数为455人,推断进入集训队的人数为( )
A.18 B.23 C.27 D.30
3.(多选)设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且X落在(-4,-2)内的概率和落在(2,4)内的概率相等.若P(X>2)=p,则( )
A.μ=0
B.σ=2
C.P(0D.P(X<-2)=p
4.(多选)[2022山东济南高二下期末联考]装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃,而是中性硼硅玻璃,这种玻璃有较好的平均线膨胀系数(简称:膨胀系数).某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线,其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X1~N(4.4,0.09),乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X2~N(4.7,0.01),则下列选项正确的是( )
A.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在(4.1,4.7)的概率约为0.682 7
B.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中
C.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5,则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大
D.乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数小于 4.5 的概率与大于4.8的概率相等
5.[2022江苏省七市高三三模]抽样表明,某地区新生儿体重X近似服从正态分布N(μ,σ2).假设随机抽取r个新生儿进行体检,记ζ表示抽取的r个新生儿体重在(μ-3σ,μ+3σ)以外的个数.若ζ的数学期望E(ζ)<0.05,则r的最大值是 .
6.[2021新高考八省(市)联考]对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn~N(0,),为使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,至少要测量 次.(若X~N(μ,σ),则P(|X-μ|<2σ)=0.954 5)
7.某车间生产一批零件,现从中随机抽取10个零件,测量其内径的数据如下(单位:cm):
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
设这10个数据的平均值为μ,标准差为σ.
(1)求μ与σ.
(2)假设这批零件的内径Z(单位:cm)服从正态分布N(μ,σ2).
①从这批零件中随机抽取10个,设这10个零件中内径大于107 cm的个数为X,求D(2X+1);
②若该车间又新购一台设备,安装调试后,试生产了5个零件,测量其内径分别为76,85,93,99,108(单位:cm),以原设备生产性能为标准,试问这台设备是否需要进一步调试,说明你的理由.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X<μ+2σ)=0.955,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.997,取0.9974=0.99.
参考答案
一、基础巩固
1.ABD 只有C错误,因为当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散.
2.B 因为P(X≥0.4)=,P(Y≥0.8)=,所以P(X≥0.4)=P(Y≥0.8),故A说法正确;由图可得P(X≥0)>P(Y≥0),故B说法错误;由图可得X的正态曲线在均值0.4附近的图象比Y的正态曲线在均值0.8附近的图象更“瘦高”,所以X的取值比Y的取值更集中于平均值左右,故C说法正确;两支密度曲线与x轴之间的面积都等于所有概率和,即均为1,故D说法正确.故选B.
3.C 因为随机变量X服从正态分布N(3,σ2),所以μ=3.因为P(ξ<6)=0.8,所以P(ξ≥6)=P(ξ≤0)=0.2,所以P(0<ξ<6)=1-P(ξ≥6)-P(ξ≤0)=0.6,所以P(0<ξ<3)=0.3.
4.ABD 易知X~N(1,σ2)的正态曲线关于直线x=1对称,题图中阴影部分为P(0≤X≤1).对于A,由对称性可得P(0≤X≤1)=P(X≤1)-P(X≤0)=-P(X≤0);对于B,由对称性可得P(X≤0)=P(X≥2),所以P(0≤X≤1)=-P(X≥2);对于C,由对称性可得-P(1≤X≤2)=P(X≤0)=P(X≥2);对于D,由对称性可得P(0≤X≤1)=P(1≤X≤2),所以P(0≤X≤1)=[P(X≤2)-P(X≤0)]=P(X≤2)-P(X≤0).故选ABD.
5.0.1 解析因为随机变量X~B(2,p),所以P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=0.64,所以p=0.4.又Y~N(2,σ2),所以P(Y>4)=P(Y<0)=0.5-P(0≤Y<2)=0.1.
6.A 因为考试成绩X服从正态分布N(110,100),所以μ=110,σ2=100,则σ=10,P(X≥140)==0.001 35,所以可进入决赛的人数大约为20 000×0.001 35=27.
7.C 由题意,得μ=80,σ=5,故P(708.AB 因为X~N(8,4),所以该校学生每周平均阅读时间为8 h,每周阅读时间的标准差为2,所以A,B正确;因为P(6≤X≤10)≈0.682 7,P(4≤X≤12)≈0.954 5,每周阅读时间在4~6 h的人数约为×10 000=1 359,所以C错误;该校学生每周阅读时间低于4 h的人数约占≈≈2.28%,所以不低于4 h的人数约占1-2.28%=97.72%,D错误.
二、能力提升
1.C 函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点,则4-4ξ<0,即ξ>1.因为ξ~N(1,σ2),所以μ=1,P(ξ>1)=.
2.C 由题知P(X≥80)==0.022 75,由正态曲线的对称性可得P(403.ACD 由X落在(-4,-2)内的概率和落在(2,4)内的概率相等,知μ=0, 故A正确;由正态曲线的对称性,可知P(X>0)=,则P(00)-P(X>2)=-p,故C正确;P(X<-2)=P(X>2)=p,故D正确;σ不确定,故B错误.故选ACD.
4.AC 由X1~N(4.4,0.09),知μ1=4.4,σ1=0.3,由X2~N(4.7,0.01),知μ2=4.7,σ2=0.1.
5.18 解析根据正态分布的3σ原则,可知E(ζ)=0.002 7r<0.05,得r<,又r为正整数,故r的最大值为18.
6.32 解析根据正态曲线的对称性,知要使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,则(μ-2σ,μ+2σ) (-0.5,0.5).又μ=0,σ=,所以0.5≥2,得n≥32,所以至少要测量32次.
7.(1)利用题中数据,可得μ=×(87+87+88+92+95+97+98+99+103+104)=95,
σ2=×(64+64+49+9+0+4+9+16+64+81)=36,则σ=6.
(2)①因为Z服从正态分布N(95,36),
所以P(Z>107)=P(Z>μ+2σ)=0.5-=0.022 5,
则X~B(10,0.022 5),所以D(X)=10×0.022 5×(1-0.022 5)=0.219 937 5,
所以D(2X+1)=4D(X)=0.879 75.
②因为Z服从正态分布N(95,36),
所以P(77≤Z≤113)=P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)=0.997,
所以5个零件的内径中恰有一个不在[μ-3σ,μ+3σ]内的概率为×0.9974×(1-0.997)=0.014 85.
又试生产的5个零件的内径出现了1个不在[μ-3σ,μ+3σ]内,
所以根据3σ原则,需要进一步调试.
一、基础巩固
知识点1 正态曲线及其特点
1.(多选)下面给出的关于正态曲线的叙述中,正确的是( )
A.曲线在x轴上方,且与x轴不相交
B.当x>μ时,曲线下降;当x<μ时,曲线上升
C.当μ一定时,σ越小,总体分布越分散;σ越大,总体分布越集中
D.曲线关于直线x=μ对称,且当x=μ时,位于最高点
2.已知随机变量X~N(0.4,), Y~N(0.8,),其正态曲线如图所示,则下列说法错误的是( )
A.P(X≥0.4)=P(Y≥0.8)
B.P(X≥0)=P(Y≥0)
C.X的取值比Y的取值更集中于平均值左右
D.两支密度曲线与x轴之间的面积均为1
知识点2 正态分布的概率计算
3.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),且P(ξ<6)=0.8,则P(0<ξ<3)=( )
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
4.(多选)[2022山东青岛大学附属中学高二下期中]已知正态分布X~N(1,σ2)的正态曲线如图所示,则下列选项中,能表示图中阴影部分面积的是( )
A.-P(X≤0)
B.-P(X≥2)
C.-P(1≤X≤2)
D.P(X≤2)-P(X≤0)
5.已知随机变量X~B(2,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.64,P(0≤Y<2)=p,则P(Y>4)= .
知识点3 正态分布的实际应用
6.[2023广东东莞四中高三上月考]某地组织高中数学竞赛,初赛共有20 000名学生参赛,统计得到考试成绩X(满分150分)服从正态分布N(110,100).考试成绩140分及以上者可以进入决赛,则本次考试可以进入决赛的人数大约为( )
A.27 B.54 C.455 D.13
7.[2022江苏扬州高三调研]山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉中外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径X(单位:mm)服从正态分布N(80,52),则直径X在(70,85]内的概率为( )
A.0.683 2 B.0.83 C.0.818 6 D.0.954 5
8.(多选)[2022湖北高二下联考]已知某高校学生每周阅读时间X(单位:h)服从正态分布N(8,4),则下列说法正确的是( )
A.该校学生每周平均阅读时间为8 h
B.该校学生每周阅读时间的标准差为2
C.若该校有10 000名学生,则每周阅读时间在4~6 h的人数约为2 718
D.该校学生每周阅读时间不低于4 h的人数约占2.28%
二、能力提升
1.设随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点的概率为( )
A. B. C. D.
2.已知某冰上项目组织计划招收一批9~14岁的青少年参加集训,以选拔运动员,共有20 000名青少年报名参加测试,其测试成绩X(满分100分)服从正态分布N(60,σ2),成绩为90分及以上者可以进入集训队.已知80分及以上的人数为455人,推断进入集训队的人数为( )
A.18 B.23 C.27 D.30
3.(多选)设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且X落在(-4,-2)内的概率和落在(2,4)内的概率相等.若P(X>2)=p,则( )
A.μ=0
B.σ=2
C.P(0
4.(多选)[2022山东济南高二下期末联考]装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃,而是中性硼硅玻璃,这种玻璃有较好的平均线膨胀系数(简称:膨胀系数).某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线,其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X1~N(4.4,0.09),乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X2~N(4.7,0.01),则下列选项正确的是( )
A.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在(4.1,4.7)的概率约为0.682 7
B.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中
C.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5,则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大
D.乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数小于 4.5 的概率与大于4.8的概率相等
5.[2022江苏省七市高三三模]抽样表明,某地区新生儿体重X近似服从正态分布N(μ,σ2).假设随机抽取r个新生儿进行体检,记ζ表示抽取的r个新生儿体重在(μ-3σ,μ+3σ)以外的个数.若ζ的数学期望E(ζ)<0.05,则r的最大值是 .
6.[2021新高考八省(市)联考]对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn~N(0,),为使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,至少要测量 次.(若X~N(μ,σ),则P(|X-μ|<2σ)=0.954 5)
7.某车间生产一批零件,现从中随机抽取10个零件,测量其内径的数据如下(单位:cm):
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
设这10个数据的平均值为μ,标准差为σ.
(1)求μ与σ.
(2)假设这批零件的内径Z(单位:cm)服从正态分布N(μ,σ2).
①从这批零件中随机抽取10个,设这10个零件中内径大于107 cm的个数为X,求D(2X+1);
②若该车间又新购一台设备,安装调试后,试生产了5个零件,测量其内径分别为76,85,93,99,108(单位:cm),以原设备生产性能为标准,试问这台设备是否需要进一步调试,说明你的理由.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X<μ+2σ)=0.955,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.997,取0.9974=0.99.
参考答案
一、基础巩固
1.ABD 只有C错误,因为当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散.
2.B 因为P(X≥0.4)=,P(Y≥0.8)=,所以P(X≥0.4)=P(Y≥0.8),故A说法正确;由图可得P(X≥0)>P(Y≥0),故B说法错误;由图可得X的正态曲线在均值0.4附近的图象比Y的正态曲线在均值0.8附近的图象更“瘦高”,所以X的取值比Y的取值更集中于平均值左右,故C说法正确;两支密度曲线与x轴之间的面积都等于所有概率和,即均为1,故D说法正确.故选B.
3.C 因为随机变量X服从正态分布N(3,σ2),所以μ=3.因为P(ξ<6)=0.8,所以P(ξ≥6)=P(ξ≤0)=0.2,所以P(0<ξ<6)=1-P(ξ≥6)-P(ξ≤0)=0.6,所以P(0<ξ<3)=0.3.
4.ABD 易知X~N(1,σ2)的正态曲线关于直线x=1对称,题图中阴影部分为P(0≤X≤1).对于A,由对称性可得P(0≤X≤1)=P(X≤1)-P(X≤0)=-P(X≤0);对于B,由对称性可得P(X≤0)=P(X≥2),所以P(0≤X≤1)=-P(X≥2);对于C,由对称性可得-P(1≤X≤2)=P(X≤0)=P(X≥2);对于D,由对称性可得P(0≤X≤1)=P(1≤X≤2),所以P(0≤X≤1)=[P(X≤2)-P(X≤0)]=P(X≤2)-P(X≤0).故选ABD.
5.0.1 解析因为随机变量X~B(2,p),所以P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=0.64,所以p=0.4.又Y~N(2,σ2),所以P(Y>4)=P(Y<0)=0.5-P(0≤Y<2)=0.1.
6.A 因为考试成绩X服从正态分布N(110,100),所以μ=110,σ2=100,则σ=10,P(X≥140)==0.001 35,所以可进入决赛的人数大约为20 000×0.001 35=27.
7.C 由题意,得μ=80,σ=5,故P(70
二、能力提升
1.C 函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点,则4-4ξ<0,即ξ>1.因为ξ~N(1,σ2),所以μ=1,P(ξ>1)=.
2.C 由题知P(X≥80)==0.022 75,由正态曲线的对称性可得P(40
4.AC 由X1~N(4.4,0.09),知μ1=4.4,σ1=0.3,由X2~N(4.7,0.01),知μ2=4.7,σ2=0.1.
5.18 解析根据正态分布的3σ原则,可知E(ζ)=0.002 7r<0.05,得r<,又r为正整数,故r的最大值为18.
6.32 解析根据正态曲线的对称性,知要使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,则(μ-2σ,μ+2σ) (-0.5,0.5).又μ=0,σ=,所以0.5≥2,得n≥32,所以至少要测量32次.
7.(1)利用题中数据,可得μ=×(87+87+88+92+95+97+98+99+103+104)=95,
σ2=×(64+64+49+9+0+4+9+16+64+81)=36,则σ=6.
(2)①因为Z服从正态分布N(95,36),
所以P(Z>107)=P(Z>μ+2σ)=0.5-=0.022 5,
则X~B(10,0.022 5),所以D(X)=10×0.022 5×(1-0.022 5)=0.219 937 5,
所以D(2X+1)=4D(X)=0.879 75.
②因为Z服从正态分布N(95,36),
所以P(77≤Z≤113)=P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)=0.997,
所以5个零件的内径中恰有一个不在[μ-3σ,μ+3σ]内的概率为×0.9974×(1-0.997)=0.014 85.
又试生产的5个零件的内径出现了1个不在[μ-3σ,μ+3σ]内,
所以根据3σ原则,需要进一步调试.