5.1 导数的概念及其意义 同步练习（含解析）

《第一节　导数的概念及其意义》同步练习
一、基础巩固
知识点1　变化率问题
1.[2022安徽芜湖一中高二下月考]函数f(x)=从x=到x=3的平均变化率为(　　)
A.2 B. C.3 D.
2.[2022安徽蚌埠高二阶段测试]已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及邻近一点(1+Δx,-2+Δy),则=(　　)
A.4 B.4Δx
C.2Δx+4 D.2(Δx)2+4
3.[2022北京四中高二下期中]某物体的运动方程为s=5-2t2,则该物体在时间段[1,1+d]内的平均速度为(　　)
A.2d+4 B.-2d+4
C.2d-4 D.-2d-4
4.(多选)[2022山西吕梁高二月考]两个学校W1,W2开展节能活动,活动开始后两学校的用电量W1(t),W2(t)与时间t的关系如图所示,则一定有(　　)
A.W1比W2节能效果好
B.W1在[0,t0]上的用电量的平均变化率比W2的小
C.两学校节能效果一样好
D.W1与W2自节能以来用电量总是一样大
5.若一个物体的运动规律如下(位移s的单位:m,时间t的单位:s):s(t)=则此物体在t=1和t=4时的瞬时速度分别为　　　　.
6.枪弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动,其路程(单位:m)与时间(单位:s)的关系为 s(t)=at2,如果枪弹的加速度a=5×105 m/s2,且当 t=1.6×10-3 s时,枪弹从枪口射出,求枪弹射出枪口时的瞬时速度.
知识点2　导数的概念及实际意义
7.若函数f(x)在x=x0处存在导数,则的值(　　)
A.与x0,h都有关 B.与x0有关,与h无关
C.与h有关,与x0无关 D.与x0,h都无关
8.设f(x)在x=x0处可导,则等于(　　)
A.2f '(x0) B.f '(x0)
C.3f '(x0) D.4f '(x0)
9.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,已知关系式为T(t)=+15,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min).
(1)求从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降了多少
(2)从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少 它表示什么实际意义
(3)求T'(5)并解释它的实际意义.
知识点3　导数的几何意义及应用
10.[2022山东济宁高二月考]如图,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线l过点(2,0),且f '(1)=-2,则f(1)的值为 (　　)
A.-1 B.1 C.2 D.3
11.(多选)已知曲线y=x3-x+1在点P处的切线平行于直线y=2x,那么点P的坐标为(　　)
A.(1,0) B.(1,1)
C.(-1,1) D.(0,1)
12.[2022广东广州南洋英文学校高二下期中]已知函数y=f(x)的图象如图所示,f '(x)是函数f(x)的导函数,则(　　)
A.2f '(2)B.2f '(4)<2f '(2)C.2f '(2)<2f '(4)D.f(4)-f(2)<2f '(4)<2f '(2)
13.[2022山东济宁汶上一中高二月考]一名男生在扔铅球,扔出后的铅球距离地面的高度y(单位:m)与扔出的水平距离x(单位:m)之间的关系可近似看作二次函数y=-x2+x+,则铅球落地时,铅球的速度方向与地面所成的角是　　　　.
14.已知曲线y=f(x)=x3-3x上一点P(1,-2),过点P作直线l.
(1)求与曲线y=f(x)相切且以P为切点的直线l的方程;
(2)求与曲线y=f(x)相切且切点异于点P的直线l的方程.
15.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程;
(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.
二、能力提升
1.[2022山东菏泽高二下期中]已知函数f(x)=ax2+b,若=4,则a=(　　)
A.2 B. C.- D.±
2.(多选)[2022北京三十五中高二下期中]为了评估某种治疗肺炎药物的疗效,现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量,甲、乙两人服用该药物后,血管中的药物浓度c(单位:mg/mL)随时间t(单位:h)变化的关系如图所示,则下列四个结论中正确的是(　　)
A.在t1时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B.在t2时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同
C.在[t2,t3]这个时间段内,甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同
D.在[t1,t2],[t2,t3]两个时间段内,甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同
3.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a≠0)在x=0处的导数f '(0)>0,函数f(x)的图象与x轴恰有一个交点,则的最小值为 (　　)
A.2 B. C.3 D.
4.定义在区间[a,b]上的函数f(x),其图象是连续不断的,若 ξ∈[a,b],使得f(b)-f(a)=f '(ξ)(b-a),则称ξ为函数f(x)在区间[a,b]上的“中值点”.则下列函数:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=ln(x+1);④f(x)=(x-)3中,在区间[0,1]上至少有两个“中值点”的函数是(　　)
A.①④ B. ①③ C.②④ D.②③
5.已知直线x+y=b是函数f(x)=ax+的图象在点(1,m)处的切线,则a+b-m=　　　　.
6.设P为曲线C:y=x2+2x+3上一点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为[0,],则点P的横坐标的取值范围为　　　　.
7.[2022山西省名校高一期中联考]已知奇函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设a=,则f '(-2),f '(6),a之间的大小关系为　　　　(用“<”连接).
8.已知曲线f(x)=-x3+2x2-3x+1.
(1)求该曲线的斜率为-3的切线方程;
(2)当曲线的切线斜率最大时,切点为P,过点P作直线l,分别与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值.
参考答案
一、基础巩固
1.B
2.C　因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-4-(-2)=2(Δx)2+4Δx,所以=2Δx+4.
3.D　该物体在时间段[1,1+d]内的平均速度为=-2d-4.
4.AB　由题图知,即W1在[0,t0]上的用电量的平均变化率比W2的小,B正确;又||>||,所以W1比W2节能效果好,A正确,C错误;由于曲线W=W1(t)和曲线W=W2(t)不重合,D错误.故选AB.
5.6 m/s,6 m/s　解析因为物体在t=1附近的平均速度为=6+3Δt,所以当Δt趋近于0时,趋近于6,所以物体在t=1时的瞬时速度为6 m/s.因为物体在t=4附近的平均速度为=3Δt+6,所以当Δt趋近于0时,趋近于6,所以物体在t=4时的瞬时速度为6 m/s.
6.因为s(t)=at2,
所以Δs=a(t+Δt)2-at2=atΔt+a(Δt)2,
所以=at+aΔt.
当Δt趋于0时,趋于at.
由题意,知a=5×105 m/s2,t=1.6×10-3 s,
所以at=8×102=800(m/s),
即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
7.B　由导数的定义,知函数f(x)在x=x0处的导数与x0有关,与h无关.
8.D　由导数的定义可得=4=4f '(x0).故选D.
9.(1)T(10)-T(0)=+15-(+15)=-16,
即从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降了16 ℃.
(2)蜥蜴的体温下降的平均变化率为
=-1.6(℃/min),
它表示从t=0到t=10这段时间内,蜥蜴的体温平均每分钟下降 1.6 ℃.
(3)因为=-,
所以当Δt趋于0时,趋于-1.2,
即T'(5)=-1.2 ℃/min,
它表示太阳落山后5 min时,蜥蜴的体温下降的速度为1.2 ℃/min.
10.C　曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线l过点(2,0),且f '(1)=-2,所以切线方程为y=-2(x-2).因为切点在曲线上也在切线上,所以f(1)=-2×(1-2)=2.
11.BC
12.A　由图可知,经过点(2,f(2))和点(4,f(4))的割线的斜率大于曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率,且小于曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线斜率,即f '(2)<13.　解析当-x2+x+=0时,x=10或x=-2(舍去),所以铅球落地时,铅球的速度方向与地面所成的角,即曲线y=-x2+x+在x=10处的切线与地面所成的角.因为y'==-x+,所以曲线y=-x2+x+在x=10处的切线的斜率k=y'∣x=10=-1,所以铅球的速度方向与地面所成的角是.
14.(1)=3xΔx+3x2+(Δx)2-3,
当Δx→0时,→3x2-3,所以f '(x)=3x2-3.
则与曲线y=f(x)相切且以P(1,-2)为切点的直线l的斜率k1=f '(1)=0,
所以所求直线l的方程为y=-2.
(2)设切点坐标为(x0,-3x0)(x0≠1),
则由(1)知直线l的斜率k2=f '(x0)=3-3,
所以直线l的方程为y-(-3x0)=(3-3)(x-x0).
又直线l过点P(1,-2),
所以-2-(-3x0)=(3-3)(1-x0),
解得x0=1(舍去)或x0=- .
故所求直线的斜率k2=3-3=-,
所以所求直线l的方程为y-(-2)=-(x-1),
即9x+4y-1=0.
15.(1)因为
y'=
=
=(2x+Δx+1)=2x+1,
所以y'∣x=1=2×1+1=3,
所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.
设直线l2与曲线y=x2+x-2相切于点B(b,b2+b-2),
则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.
因为l1⊥l2,所以2b+1=-,解得b=-,
所以直线l2的方程为y=-x-.
(2)由得
所以直线l1和l2的交点坐标为(,-).
又l1,l2与x轴的交点坐标分别为(1,0),(-,0),
所以所求三角形的面积S=×(1+)×|-|=.
二、能力提升
1.D　根据导数定义可得f '(a)==4.又根据求导公式可得f '(x)=2ax,所以f '(a)=2a2=4,所以a=±.
2.ACD
3.A　f '(0)=(aΔx+b)=b>0.因为函数f(x)的图象与x轴恰有一个交点,所以b2-4a=0,所以+1≥2+1=2,当且仅当,即b=2时,等号成立.故的最小值为2.
4.A　由题意,知=f '(ξ),即函数f(x)在区间[a,b]上存在一点[ξ,f(ξ)],使得函数f(x)在此处的切线的斜率等于(a,f(a)),(b,f(b))两点所在直线的斜率. 画出各个函数的图象观察可知在区间[0,1]上至少有两个“中值点”的函数是①④.故选A.
5.2　解析由题意,知m=a+2,1+m=b.因为f '(1)=(a-)=a-2,所以曲线f(x)在点(1,m)处的切线斜率为a-2.由a-2=-1,得a=1,m=3,b=4,所以a+b-m=2.
6.[-1,-]　解析可设点P的横坐标为x0,则(Δx+2x0+2)=2x0+2,所以曲线C在点P处的切线斜率为2x0+2.由题意,得0≤2x0+2≤1,所以-1≤x0≤-,所以点P的横坐标的取值范围为[-1,-].
7. f '(-2)8.(1)f '(x)==-x2+4x-3.
由-x2+4x-3=-3,解得x=0或x=4.
又f(0)=1,f(4)=-.
所以所求切线方程为y-1=-3x或y+=-3(x-4),
即3x+y-1=0或9x+3y-35=0.
(2)因为f '(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1≤1,
所以当x=2时,切线的斜率取得最大值1,
此时点P的坐标为(2,).
由题意,设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),
则直线l的方程为=1(a>0,b>0),所以=1.
S△OAB=ab=ab()2=≥2,当且仅当,即a=6b时取“=”.
将a=6b代入=1,解得a=4,b=.
所以△AOB面积的最小值为.