4.2.1等差数列的概念 小题训练（含解析）

4.2.1等差数列的概念小题训练--人教版（2019）选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
2．已知数列是等差数列，且，则（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
3．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文
C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文
4．已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项
5．记为数列的前n项积，已知，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．在等差数列中，，则（ ）
A．16 B．8 C．10 D．14
7．已知数列为等差数列且，数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列满足，，则值为（ ）
A．1024 B． C．256 D．
二、多选题
9．数列的前项和为，已知，则（ ）
A．是递增数列 B．是等差数列
C．当时， D．当或4时，取得最大值
10．已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（ ）
A．公差d的取值范围是 B．
C． D．的最小值为1
11．已知数列的通项公式为，则（ ）
A． B．是该数列中的项
C．该数列是递增数列 D．该数列是等差数列
12．若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（ ）
A．
B．
C．(为常数)
D．
三、填空题
13．已知数列满足，若，则__________．
14．已知数列对任意正整数n都有，且是方程的两个实根，则___________.
15．已知数列为等差数列，.若数列也为等差数列，则___________.
16．已知数列中，，（为正整数），则的最小可能值为______．
17．等差数列首项为，公差为；等差数列首项为，公差为；如果，且，，则______.
18．若正项等差数列满足：，则的最小值为______.
19．数列，，，，，和，，，，，均为等差数列，且，则______.
20．已知，成等差数列，则______.
参考答案：
1．D
【分析】由，，变形得到的通项公式，从而得到不等式组，求出此数列的项数.
【详解】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……，
故，，
被5除余3的数为3，8，13……，故，，
被7除余1的数为1，8，15……，故，，
由，，，
故，，
令，解得：，
因为，所以，故此数列的项数为20.
故选：D
2．B
【分析】设等差数列的首项为，公差为d，可得，解方程即可得出答案.
【详解】设等差数列的首项为，公差为d，
∵．∴．
解得:，∴.
故选：B．
3．A
【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，再根据题意列方程组可解得结果.
【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，
则，解得，
所以乙分得（文），丁分得（文），
故选：A.
4．B
【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可.
【详解】数列，即数列，
由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，
所以通项公式，
令，解得.
故选：B.
5．D
【分析】当时，有，当时，有，结合题目条件，即可求得本题答案.
【详解】1.当时，，，；
2.当时，有，代入，得，
化简得：，则，.
故选：D
6．A
【分析】计算，再根据计算得到答案.
【详解】设等差数列的公差为，，所以，
所以.
故选：A
7．C
【分析】由题意可得，求出与公差，根据等差数列的通项公式即可求解.
【详解】由数列的前项和为，
得，即，
设公差为，则，解方程得（负值舍去），.
.
故选:C.
8．B
【分析】由对数运算，得出，再计算公差，由等差数列性质求出结果.
【详解】由已知，
因为数列是等差数列，设公差为，由，又，解得.
故有，，
.
故选：B.
9．CD
【分析】利用求出可判断ABC，对配方后，利用二次函数的性质可判断D.
【详解】当时，，
当时，，
不满足上式，
所以，
对于A，由于，，所以不是递增数列，所以A错误，
对于B，由于，，，所以，
所以不是等差数列，所以B错误，
对于C，由，得，所以当时，，所以C正确，
对于D，，因为，
所以当或4时，取得最大值，所以D正确，
故选：CD.
10．AB
【分析】由,,且，可判断A，由等差数列的性质可判断B，由作差法可判断C，由基本不等式可判断D.
【详解】由题意得,,而，
，解得，∴，故A正确；
由，故B正确；
由，
可知，故C错误；
由，所以
有，
当且仅当时取到等号，但，故不能取“=”，所以D错.
故选：AB
11．AB
【分析】对于A，取值即可判断；
对于B，分类讨论是奇数项与是偶数项两种情况即可判断；
对于CD，列出的前3项即可判断.
【详解】因为，
对于A，当时，，故A正确；
对于B，若是奇数项，则，解得，不满足，舍去；
若是偶数项，则，解得，满足题意，故是中的第二项，故B正确；
对于C，当时，，故的前三项为，显然不是递增数列，故C错误；
对于D，由C易知，，故不是等差数列，故D错误.
故选：AB.
12．BCD
【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.
【详解】对于选项A，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，故选项A不符合题意；
对于选项B，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故为等差数列，故选项B符合题意；
对于选项C，若为等差数列，设其公差为，则为常数列，
故为等差数列，故选项C符合题意；
对于选项D，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故为等差数列，故选项D符合题意，
故选：BCD.
13．
【分析】法一：由递推式，结合依次求出即可；法二：构造数列，证明其为等差数列，即可求出.
【详解】法一：由，可得：，
由,可得:,
又，可得：.
法二：由题得，则等式两边同取倒数得，
则，，则数列为公差为2的等差数列，
则，当，则，则，
故答案为：.
14．12
【分析】先由已知数列递推式，结合等差中项公式判断得是等差数列，再利用韦达定理结合条件得到，从而利用等差数列的性质即可得解.
【详解】因为数列对任意正整数n都有，
所以数列是等差数列，
因为是方程的两个实根，由根与系数的关系可得，
所以.
故答案为：12.
15．3
【分析】根据等差数列的通项公式与中项公式即可求解.
【详解】依题意，
由数列为等差数列，设其公差为，且，
得，，
又数列也为等差数列，
则，即，
解得：.
.
故答案为：3.
16．
【分析】由已知可得或，分析可知当取最小值时，数列、、、、成公差为的等差数列，且，即可求得对应的的值.
【详解】由可得或，
故当取最小值时，数列、、、、成公差为的等差数列，且，
此时.
故答案为：.
17．
【分析】根据等差数列定义可判断为等差数列，然后由等差数列通项公式可得.
【详解】因为，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
因为，，所以，
所以.
故答案为：.
18．
【分析】利用基本不等式和等差数列性质可构造不等式求得结果.
【详解】，（当且仅当时取等号），
即，解得：，即的最小值为.
故答案为：.
19．
【分析】根据等差数列通项公式得到，，即可表示出，，从而得解.
【详解】解：因为数列，，，，，和，，，，，均为等差数列，且，
所以，，
即，
所以.
故答案为：
20．2
【分析】先利用对数的定义求出的范围，再利用等差数列的性质建立方程解出即可.
【详解】由对数定义有：，
由成等差数列，
所以，即
，
化简得：，
解得：或，由，
所以：，
故答案为：2.