5.3.2 函数的极值与最大(小)值 同步练习（含解析）

《第三节　导数在研究函数中的应用》同步练习
（课时2　函数的极值与最大(小)值）
知识点1　函数的极值
1.[2022重庆三峡名校联盟高二下联考]对于定义在R上的可导函数f(x),f '(x)为其导函数,下列说法正确的是(　　)
A.使f '(x)=0的x一定是函数的极值点
B.f(x)在R上单调递增是f '(x)>0在R上恒成立的充要条件
C.若函数f(x)既有极小值又有极大值,则其极小值一定不会比它的极大值大
D.若f(x)在R上存在极值,则它在R一定不单调
2.(多选)如图为函数f(x)的导函数的图象,则下列判断正确的是(　　)
A.f(x)在(-3,1)上单调递增
B.f(x)在(2,4)上单调递减,在(-1,2)上单调递增
C.x=-1是f(x)的极小值点
D.x=2是f(x)的极小值点
3.(多选)设函数f(x)=x(ln x)2+x的导函数为f '(x),则(　　)
A.f '()=0
B.f(x)存在零点
C.x=是f(x)的极值点
D.f(x)在(,+∞)上单调递增
4.求下列函数的极值:
(1)f(x)=-x3+12x+6;
(2)f(x)=-2.
5.已知函数f(x)=-aln x.
(1)若曲线f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,求实数a的值;
(2)求函数f(x)在区间[1,4]上的极值.
知识点2　由函数的极值情况求参
6.[2022重庆万州二中高二下质量检测]若x=1是函数f(x)=axln x-e2x-2的极值点,则实数a的值为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.[2022河南洛阳高二下质检]若函数f(x)=ex+e-x-ax有大于零的极值点,则实数a的取值范围为(　　)
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(e,+∞) D.(-∞,e)
8.若函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,2)∪(2,+∞)
B.(0,2)∪(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.{2}
9.[2022广东珠海一中高二下阶段测试]函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a+b等于(　　)
A.-7 B.0
C.-7或0 D.-15或6
10.若函数f(x)=-x3+x2-(a+3)x+5在定义域内无极值,则实数a的取值范围为　　　　.
11.已知函数f(x)=在区间(a,a+)(a>0)上存在极值,则实数a的取值范围是　　　　.
12.[2022北京东师附中朝阳学校高二月考]已知函数f(x)=当a=1时,函数f(x)的极大值是　　　　;当x<1时,若函数f(x)有且只有一个极值点,则实数a的取值范围是　　　　.
13.[2022山东菏泽一中高二下月考]在“①f(x)在x=1处取得极小值2,②f(x)在x=-1处取得极大值6,③f(x)的极大值为6,极小值为2”这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
问题:已知函数f(x)=x3-3ax+b(a>0),且　　　　,求f(x)的单调区间.
知识点3　函数的最值
14.[2022江西南昌四校高二上期末]设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则(　　)
A.f(x)的极值点一定是最值点
B.f(x)的最值点一定是极值点
C.f(x)在区间[a,b]上可能没有极值点
D.f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点
15.(多选)已知函数y=f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.f(a)B.f(e)C.x=c时,f(x)取得最大值
D.x=d时,f(x)取得最小值
16.函数f(x)=x+2cos x在区间[0,]上的最大值是(　　)
A.+1 B.
C. D.
17.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.f(x)=x+的最小值为1
B.f(x)=(x>0)的最小值为1
C.f(x)=x-ln x(x>0)的最小值为1
D.f(x)=x(x>0)的最小值为1
18.求下列函数的最值:
(1)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1];
(2)f(x)=,x∈[-2,2];
(3)f(x)=+ln x,x∈[,2].
19.已知函数f(x)=(x-k)ex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
知识点4　由函数的最值情况求参
20.[2022陕西西安关山中学高二下质量检测]已知函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,1) B.(0,1)
C.(-1,1) D.(0,)
21.函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是(　　)
A.20 B.18 C.3 D.0
22.若函数f(x)=在[-2,2]上的最大值为2,则实数a的取值范围是(　　)
A.[ln 2,+∞) B.[0,ln 2]
C.(-∞,0] D.(-∞,ln 2]
23.[2022广东珠海二中高三上月考]已知函数f(x)=ln x-ax,x∈(0,e],其中e为自然对数的底数.
(1)若x=1为f(x)的极值点,求f(x)的单调区间和最大值.
(2)是否存在实数a,使得f(x)的最大值是-3 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
参考答案
1.D　
2.BC　当x∈(-3,-1)时,f '(x)<0,当x∈(-1,2)时,f '(x)>0,所以f(x)在(-3,-1)上单调递减,在(-1,2)上单调递增,所以x=-1是f(x)的极小值点,所以A错误,C正确;当x∈(2,4)时,f '(x)<0,f(x)在(2,4)上单调递减,所以x=2是f(x)的极大值点,所以B正确,D错误.故选BC.
3.AD　易知f(x)=x(ln x)2+x的定义域为(0,+∞),f '(x)=(ln x)2+2ln x+1.
4.(1)f '(x)=-3x2+12=-3(x+2)(x-2).
令f '(x)=0,解得x1=-2,x2=2.
当x变化时,f '(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f '(x) - 0 + 0 -
f(x) 单调递减 -10 单调递增 22 单调递减
则当x=-2时,f(x)取得极小值,为f(-2)=-10;
当x=2时,f(x)取得极大值,为f(2)=22.
(2)f '(x)=.
令f '(x)=0,解得x1=-1,x2=1.
当x变化时,f '(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f '(x) - 0 + 0 -
f(x) 单调递减 -3 单调递增 -1 单调递减
则当x=-1时,f(x)取得极小值,为f(-1)=-3;
当x=1时,f(x)取得极大值,为f(1)=-1.
5.(1)因为f(x)=-aln x,
所以f '(x)=,所以f '(1)=-a.
因为曲线f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,
所以-a=,解得a=0.
(2)由(1),知f '(x)=.
①当2a≤1,即a≤时,f '(x)≥0在[1,4]上恒成立,
所以函数f(x)在[1,4]上单调递增,
所以函数f(x)在[1,4]上无极值.
②当2a≥2,即a≥1时,f '(x)≤0在[1,4]上恒成立,
所以函数f(x)在[1,4]上单调递减,
所以函数f(x)在[1,4]上无极值.
③当1<2a<2,即x [1,4a2) 4a2 (4a2,4]
f '(x) - 0 +
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
所以当x=4a2时,f(x)取得极小值,为2a-2aln(2a),无极大值.
综上,当a≤或a≥1时,函数f(x)在[1,4]上无极值;当6.D　f '(x)=a(ln x+1)-2e2x-2.因为x=1是函数f(x)的极值点,所以f '(1)=a-2=0,所以a=2.经检验,当a=2时,x=1是函数f(x)的极值点.故选D.
7.A　由题意得f '(x)=ex-e-x-a有大于零的零点,显然f '(x)在(0,+∞)上单调递增.又当x→+∞时,f '(x)→+∞,所以f '(0)=-a<0,所以a>0.
8.B　因为f(x)既有极大值又有极小值,且f '(x)=2x-a-2+(x>0),所以f '(x)=0有两个不相等的正实数解,所以>0且≠1,解得a>0且a≠2.
9.A　由题意得f '(x)=3x2+2ax+b.因为f(x)在x=1处取得极值10,所以解得或当a=-3,b=3时,f '(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,此时函数f(x)单调递增,无极值点,不符合题意;当a=4,b=-11时,f '(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),若x<-或x>1,则f '(x)>0,f(x)单调递增,若-10.[-2,6]　解析由题意,知f '(x)≥0或f '(x)≤0在定义域内恒成立.又f '(x)=-x2+ax-(a+3),所以Δ=a2-4(a+3)≤0,解得-2≤a≤6.
11.(,1)　解析f '(x)=,令f '(x)=0,得x=1.当x∈(0,1)时,f '(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,f '(x)<0,f(x)单调递减.所以x=1是函数f(x)的极大值点.又函数f(x)在区间(a,a+)(a>0)上存在极值,所以a<112.　(-∞,1)　解析当a=1时,函数f(x)=所以f '(x)=当x<1时,f '(x)>0,即f(x)在(-∞,1)上单调递增;当10,即f(x)在(1,e)上单调递增;当x>e时,f '(x)<0,即f(x)在(e,+∞)上单调递减,故当x=e时函数f(x)取得极大值,为f(e)=.当x<1时,f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,若函数f(x)有且只有一个极值点,则a<1.
13.方案一　选条件①.
易知f'(x)=3x2-3a.
由得所以f'(x)=3x2-3.
令f'(x)>0,得x<-1或x>1;令f'(x)<0,得-1所以f(x)的单调递减区间为(-1,1),单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
方案二　选条件②.
易知f'(x)=3x2-3a.
由得所以f'(x)=3x2-3.
令f'(x)>0,得x<-1或x>1;令f'(x)<0,得-1所以f(x)的单调递减区间为(-1,1),单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
14.C　根据函数的极值与最值的概念,知f(x)的极值点不一定是最值点,f(x)的最值点不一定是极值点,可能是区间的端点,连续可导函数在闭区间上一定有最值,所以A,B,D错误.若函数 f(x)在区间[a,b]上单调,则函数 f(x)在区间[a,b]上没有极值点,所以C正确.故选C.
15.AB　由f '(x)的图象,可知当x∈(-∞,c)∪(e,+∞)时,f '(x)>0,当x∈(c,e)时,f '(x)<0,所以f(x)在(-∞,c)和(e,+∞)上单调递增,在(c,e)上单调递减.对于A,因为ae时,使得f(x0)>f(c),C错误;对于D,由单调性知f(e)16.C　f'(x)=1-2sin x.当00,f(x)单调递增;当17.AC　对于A,因为f(x)=x+,所以f '(x)=1-,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(0)=1,A正确;对于B,因为f(x)=(x>0),所以f '(x)=(x>0),所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(1)=e,B错误;对于C,因为f(x)=x-ln x(x>0),所以f '(x)=1-,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(1)=1,C正确;对于D,因为f(x)=x(x>0),所以f '(x)=+x·(-)=,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(1)=e,D错误.故选AC.
18.(1)由题意,知f '(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3,x∈[-1,1].
因为f '(x)在[-1,1]上恒大于0,
所以f(x)在[-1,1]上单调递增,
所以当x=-1时,f(x)取得最小值,为-12,
当x=1时,f(x)取得最大值,为2.
所以f(x)的最小值为-12,最大值为2.
(2)f '(x)=,
令f '(x)=0,得x=1或-1.
又f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-,所以f(x)的最大值为2,最小值为-2.
(3)因为f(x)=+ln x=-1+ln x,
所以f '(x)=.
令f '(x)=0,得x=1.
所以在[,2]上,当x=1时,f(x)取得极小值,也是最小值,为f(1)=0.
又f()=1+ln=1-ln 2,f(2)=-+ln 2,
所以f()-f(2)=-2ln 2=(3-4ln 2)=ln>0,
所以f()>f(2),
所以f(x)在[,2]上的最大值为f()=1-ln 2.
19. (1)f '(x)=(x-k+1)ex.
令f '(x)=0,得x=k-1.
当x变化时,f(x)与f '(x)的变化情况如表所示:
x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞)
f '(x) - 0 +
f(x) 单调递减 单调递增
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),单调递增区间是(k-1,+∞).
(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k.
当0所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-.
当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.
综上,当k≤1时,f(x)min=-k;当120.B　f '(x)=3x2-3a=3(x2-a).当a≤0时,f '(x)>0在(0,1)上恒成立,所以f(x)在(0,1)上单调递增,无最小值.当a>0时,f '(x)=3(x-)(x+),只讨论x>0时的情况.当x>时,f '(x)>0,f(x)单调递增,当021.A　由题意,知f '(x)=3x2-3,令f '(x)=0,得x=1或-1.又f(-3)=-19,f(2)=1,f(-1)=1,f(1)=-3,所以f(x)max=1,f(x)min=-19,故|f(x1)-f(x2)|max=f(x)max-f(x)min=20,故t≥20.
22.D　当x≤0时,f '(x)=6x2+6x.易知函数f(x)在(-∞,0]上的最大值点是x=-1,且f(-1)=2,故只需在x∈(0,2]上,eax≤2恒成立,即ax≤ln 2在x∈(0,2]上恒成立,即a≤在x∈(0,2]上恒成立,故a≤ln 2.
23.(1)f '(x)=-a=.
由f '(1)=0,得a=1,所以f '(x)=,
所以当x∈(0,1)时,f '(x)>0,当x∈(1,e]时,f '(x)<0,
所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e],
f(x)的最大值为f(1)=-1.
(2)由(1)知f '(x)=.
①当a≤0时,f '(x)>0,f(x)在(0,e]上单调递增,
所以f(x)的最大值是f(e)=1-ae=-3,
解得a=>0,舍去.
②当a>0时,由f '(x)=0,得x=.
(a)当0<时,若x∈(0,),则f '(x)>0,若x∈(,e],则f '(x)<0,
所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,e]上单调递减,
所以f(x)max=f()=-1-ln a=-3,解得a=e2.
(b)当e≤,即0所以f(x)max=f(e)=1-ae=-3,解得a=,舍去.
综上,存在实数a符合题意,此时a=e2.