5.3.2 函数的极值与最大(小)值 同步练习（含解析）

《第三节　导数在研究函数中的应用》同步练习
（课时2　函数的极值与最大(小)值）
一、选择题
1.已知函数f(x)=(x2+a)ex有最小值,则函数y=f '(x)的零点个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.不确定
2.如图是函数y=f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则=(　　)
A. B. C. D.
3.已知函数f(x)=xln x-x+2a+2,若函数y=f(x)与y=f(f(x))有相同的值域,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.[0,) D.(-,0]
4.(多选)[2022山东临沂高二下检测]已知函数f(x)=|ln(x-1)|+,其中e是自然对数的底数,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的图象恒在x轴上方
B.f '(1+)=e-e3
C.x=e+1是f(x)的极小值点
D.f(x)的最小值为2
5.[2022河南焦作高二上期末]已知函数f(x),g(x)的导函数f '(x),g'(x)的图象如图所示,则F(x)=g(x)-f(x)的极值情况为(　　)
A.2个极大值,1个极小值
B.1个极大值,1个极小值
C.1个极大值,2个极小值
D.1个极大值,无极小值
6.已知函数f(x)=ln(x-1),g(x)=,若 f(x1)=g(x2),则x1-x2的取值范围是(　　)
A.[,+∞) B. [1,+∞)
C.[2,+∞) D. [e,+∞)
二、非选择题
7.若函数f(x)=有极值,则实数a的取值范围是　　　　.
8.[2022河南南阳一中高二下月考]若函数y=e2x+(2a+x)ex+a2的最小值为g(a),则函数g(a)的最小值为　　　　.
9.若函数g(x)在区间D上,对任意a,b,c∈D,g(a),g(b),g(c)为一个三角形的三边长,则称函数g(x)为“稳定函数”.已知函数f(x)=+m在区间[,e2]上是“稳定函数”,则实数m的取值范围为　　　　.
10.设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).
(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.
11.已知函数f(x)=ax+1-xln x的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-y=0平行.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若 x1,x2∈(0,+∞),>m(x1+x2),求实数m的取值范围.
12.[2022河南郑州市第十一中学高二月考]已知函数f(x)=,g(x)=,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+n=0.
(1)求实数m,n的值;
(2)证明:f(x)>2g(x)-1.
13.函数f(x)=exsin x,g(x)=(x+1)cos x-ex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若 x1∈[0,], x2∈[0,],使得f(x1)+g(x2)≥m成立,求实数m的取值范围.
14.已知函数f(x)=ln(x+1)+mx2,m>0.
(1)若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为,求函数f(x)的单调区间;
(2)若g(x)=f(x)-sin x,x=0是g(x)的极大值点,求实数m的取值范围.
参考答案
一、选择题
1.C　由题意,知f '(x)=(x2+2x+a)ex.因为函数f(x)有最小值,所以函数f(x)存在单调递减区间,即f '(x)<0有解.又ex>0恒成立,所以x2+2x+a<0有解,所以x2+2x+a=0有两个不相等的实根,所以函数y=f '(x)的零点个数为2.故选C.
2.C　由图象可得f(x)=x(x+1)(x-2)=x3-x2-2x,且x1,x2是函数f(x)的两个极值点,所以x1,x2是f '(x)=3x2-2x-2=0的两根,所以x1+x2=,x1x2=-,故=(x1+x2)2-2x1x2=()2+2×.
3.D　由题意,知f '(x)=ln x.当x>1时,f '(x)>0,当00,所以2a+1>0,即a>-,所以-4.ACD　
5.B　由F(x)=g(x)-f(x),得F'(x)=g'(x)-f '(x).由题图可知F'(x)有三个零点,分别为x1,x2,x3,当x∈(-∞,x2)时,g'(x)≥f '(x),即F'(x)≥0,当x∈(x2,x3)时,g'(x)f '(x),即F'(x)>0,所以x=x2为F(x)的极大值点,x=x3为F(x)的极小值点,即F(x)有1个极大值和1个极小值.
6.B　令f(x1)=g(x2)=t,则ln(x1-1)==t,所以x1=et+1,x2=et,所以x1-x2=et+1-et.令h(t)=et+1-et,则h'(t)=et-e,则h(t)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故h(t)min=h(1)=1,故x1-x2的取值范围是[1,+∞).
二、非选择题
7.(-,)　解析f '(x)=.因为函数f(x)有极值,所以f '(x)=有零点,所以cos x-sin x+a=0有解,即a=sin x-cos x=sin(x-)有解.又函数y=sin(x-)的值域为[-,],所以a∈[-,].当a=时,f '(x)≥0恒成立,
当a=-时,f '(x)≤0恒成立,此时f(x)均无极值.故实数a的取值范围为(-,).
8.-　解析令f(x)=e2x+(2a+x)ex+a2,则f '(x)=2e2x+(x+2a+1)ex=ex(2ex+x+2a+1).令h(x)=2ex+x+2a+1,则h'(x)=2ex+1>0,所以h(x)在R上单调递增.因为f(x)有最小值,所以h(x)有唯一零点x0,即h(x0)=2+x0+2a+1=0　①,所以f(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以f(x)的最小值为f(x0)=+(2a+x0)+a2,即g(a)=+(x0+2a)+a2=a2+2·a++x0,所以当a=-时,g(a)取得最小值,为g(-)=(-)2+2·(-)++x0=x0.当a=-时,由①得2+x0-2+1=0,解得x0=-1,所以g(a)的最小值为-.
9.(4e2+,+∞)　解析易得f '(x)=.当≤x0,此时函数f(x)单调递增;当e4e2+.
10.(1)当k=1时, f(x)=x3-x2+x,f '(x)=3x2-2x+1.
因为(-2)2-4×3×1<0,所以f '(x)>0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增,
所以f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间.
(2) f '(x)=3x2-2kx+1,(-2k)2-4×3×1=4(k2-3).
①当4(k2-3)≤0,即-≤k<0时,f '(x)≥0 在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增,
所以f(x)在[k,-k]上的最小值m=f(k)=k,最大值M=f(-k)=-2k3-k.
②当4(k2-3)>0,即k<-时,
令f '(x)=0,得x1=,x2=.
因为f '(x)=3x2-2kx+1的图象的对称轴为直线x=,且恒过点(0,1),
作出f '(x)的大致图象如图所示,
可知k当x变化时,f '(x),f(x)的变化情况如下表:
x k (k,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,-k) -k
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) k 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 -2k3-k
由表可知m=min{f(k),f(x2)},M=max{f(-k),f(x1)}.
因为f(x2)-f(k)=-k+x2-k=(x2-k)(+1)>0,
所以m=f(k)=k.
因为f(x1)-f(-k)=-k+x1-(-2k3-k)=(x1+k)[(x1-k)2+k2+1]<0,
所以M=f(-k)=-2k3-k.
综上所述,当k<0时,函数f(x)在[k,-k]上的最小值m=k,最大值M=-2k3-k.
11.(1)易得f '(x)=a-1-ln x,
则f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为a-1.
由切线与直线x-y=0平行,得a-1=1,即a=2,
所以f(x)=2x+1-xln x,f '(x)=1-ln x.
由f '(x)>0,得0e,则f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
所以函数f(x)在x=e处取得极大值e+1,无极小值.
(2)不妨设x1>x2.
若 x1,x2∈(0,+∞),>m(x1+x2),
则f(x1)-f(x2)>m-m,即f(x1)-m>f(x2)-m.
设g(x)=f(x)-mx2,则g(x)在(0,+∞)上为增函数,
所以g'(x)=1-ln x-2mx≥0对任意x>0恒成立,
即2m≤对任意x>0恒成立.
设h(x)=,则h'(x)=.
当0e2时,h'(x)>0,
所以h(x)在(0,e2)上单调递减,在(e2,+∞)上单调递增,
所以h(x)在x=e2处取得最小值,为h(e2)=-,
从而2m≤-,解得m≤-,
所以实数m的取值范围是(-∞,-].
12. (1)易得f(1)=0,
所以1-0+n=0,解得n=-1.
因为f'(x)=(x>0),曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为,
所以f'(1)=,解得m=1.
(2)设h(x)=ex-x-1,则h'(x)=ex-1,
当x>0时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以当x>0时,h(x)>h(0)=0,即ex>x+1>1,
所以当x>0时,.
要证f(x)>2g(x)-1,即证-1,
只需证≥-1=,即证xln x≥x-1.
令m(x)=xln x-x+1,则m'(x)=ln x,
所以当x∈(0,1)时,m'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,m'(x)>0,
所以m(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以m(x)min=m(1)=0,即m(x)≥0,
所以xln x≥x-1,所以f(x)>2g(x)-1得证.
13.(1)f '(x)=exsin x+excos x=ex(sin x+cos x)=exsin(x+).
当2kπ≤x+≤π+2kπ(k∈Z),即-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z)时,f '(x)≥0,f(x)单调递增;
当π+2kπ≤x+≤2π+2kπ(k∈Z),即+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z)时,f '(x)≤0,f(x)单调递减.
综上,f(x)的单调递增区间为[-+2kπ,+2kπ](k∈Z),单调递减区间为[+2kπ,+2kπ](k∈Z).
(2)f(x1)+g(x2)≥m,即f(x1)≥m-g(x2).
令t(x)=m-g(x),则由题意,可得f(x)min≥t(x)min,x∈[0,].
由(1)可知,f(x)在[0,]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0.
因为t(x)=m-(x+1)cos x+ex,
所以t'(x)=-cos x+(x+1)sin x+ex.
因为x∈[0,],所以-cos x∈[-1,0],ex≥,
所以-cos x+ex>0.
又(x+1)sin x≥0,所以当x∈[0,]时,t'(x)>0,
所以t(x)在[0,]单调递增,故t(x)min=t(0)=m-1+.
所以m-1+≤0,即m≤1-,
故实数m的取值范围是(-∞,1-].
14.(1)易知f(x)的定义域为(-1,+∞).
f '(x)=+2mx,所以f '(1)=+2m=,得m=3,所以f '(x)=+6x=.
令f '(x)=0,得x1=>-1,x2=.
令f '(x)>0,得-1x2;
令f '(x)<0,得x1所以f(x)在(-1,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,即f(x)的单调递增区间为(-1,),(,+∞),单调递减区间为(,).
(2)由题意知g(x)=ln(x+1)+mx2-sin x,
则g(0)=0,g'(x)=+2mx-cos x,g'(0)=0.
令h(x)=g'(x),则h'(x)=2m-+sin x,h'(0)=2m-1.
①若0又h'(0)=2m-1<0,h'()=2m+1->0,
所以存在x0∈(0,),使得h'(x0)=0.
所以当x∈(-1,x0)时,h'(x)<0,
所以g'(x)在(-1,x0)上单调递减.
又g'(0)=0,所以当x∈(-1,0)时,g'(x)>0,当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,
所以g(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,x0)上单调递减,此时x=0是g(x)的极大值点.
②若m≥,当x∈(0,)时,h'(x)=2m-+sin x≥1-+sin x>0,所以h(x)在(0,)上单调递增,
所以g'(x)>g'(0)=0,所以g(x)在(0,)上单调递增,
因此x=0不可能是g(x)的极大值点.
综上,实数m的取值范围为(0,).