5.1.2 弧度制 同步练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）

5.1.2弧度制--人教A版（2019）必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设圆心角为的扇形的弧长为，面积为，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知为圆外一点（为圆心），线段交圆于点，过点作圆的切线，切点为，若劣弧等分的面积，且弧度，则（ ）.
A． B．
C． D．
3．水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段和圆的优弧围成，其中恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．在东方设计中，存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作而成（如图）.设制作折扇时剪下小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，原扇形半径与剪下小扇形半径之比为（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各角中，与终边相同的角是（ ）
A． B．140° C．40° D．320°
6．若一扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形的周长是（ ）
A． B． C． D．
7．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中正确的是（ ）．
A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角；
B．5弧度的角是第三象限角；
C．是第一象限角，则也是第一象限角；
D．－1弧度角是锐角．
二、多选题
9．下列转化结果正确的是（ ）
A．60°化成弧度是 B．化成度是－600°
C．－150°化成弧度是 D．化成度是15°
10．下列命题正确的是（ ）
A．终边落在轴的非负半轴的角的集合为
B．终边落在轴上的角的集合为
C．在范围内所有与角终边相同的角为和
D．第三象限角的集合为
11．下列说法正确的是（ ）
A．角为第一象限或第三象限角的充要条件是
B．终边在轴上的角的集合为
C．若是第三象限角，则是第二象限或第三象限角
D．用角度制和弧度制度量角，与所取圆的半径大小有关
12．已知与是终边相同的角，且，那么可能是第（ ）象限角.
A．一 B．二 C．三 D．四
三、填空题
13．因疫情影响，延时4年的世界大学生运动会于2023年7月28日在中国西部的美丽城市成都举行.某公司为宣传中国文化，设计了一款扇形的纪念品，扇形圆心角为3，弧长为，则扇形的面积为______．
14．已知一扇形的圆心角为（），扇形的周长是一定值（），当为______弧度时，该扇形面积取得最大值.
15．扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的面积为___________．
16．如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置为（0，1），此时圆上一点的位置为（0，0），该圆沿轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点的坐标为______.
四、解答题
17．已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
18．若扇形的周长是一定值C厘米（）．求证：该扇形面积有最大值，并求出面积最大时圆心角的弧度数．
参考答案：
1．D
【分析】根据扇形弧长、面积公式求解即可.
【详解】解：设扇形的半径为，则，所以
又.
故选：D.
2．B
【分析】根据已知得出，列式化简得出，即.
【详解】劣弧等分的面积，
，
则，
则，
则，
故选：B.
3．A
【分析】根据题意，由直角三角形的面积及扇形的面积即可得解.
【详解】如图，
设圆弧所在圆的圆心为，连接，依题意得，
且，则，
所以，
所以该封闭图形的面积为.
故选：A.
4．B
【分析】设原扇形半径为x，剪下小扇形半径为y，，由已知利用扇形的面积公式即可求解原扇形半径与剪下小扇形半径之比．
【详解】由题意，如图所示，设原扇形半径为x，剪下小扇形半径为y，，
则小扇形纸面面积,折扇纸面面积，
由于 ，
所以，
即得，
解得，即原扇形半径与剪下小扇形半径之比为，
故选：B．
5．D
【分析】由终边相同的角的定义表示出与终边相同的角，求解即可.
【详解】与终边相同的角一定可以写成的形式，，
令可得，与320°终边相同，其他选项均不合题意.
故选：D.
6．A
【分析】设扇形的半径为，面积为，弧长为，由扇形的面积和弧长公式代入即可求出，即可求出答案.
【详解】设扇形的半径为，面积为，弧长为，
则，解得：，
，则扇形的周长是：.
故选：A.
7．B
【分析】利用分针转一周为分钟，转过的角度为，得到分针是一周的六分之一，进而可得答案．
【详解】∵分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨快是顺时针旋转，
∴分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为.
故选：B
8．C
【分析】根据弧度制的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，1弧度的角就是弧长为半径的弧所对的圆心角，A选项错误.
B选项，，所以弧度是第四象限角，B选项错误.
C选项，是第一象限角，即，
所以，
所以也是第一象限角，C选项正确.
D选项，－1弧度角是负角，所以不是锐角，D选项错误.
故选：C
9．ABD
【分析】根据弧度制和角度制的转化公式依次计算即可.
【详解】对选项A：60°化成弧度是，正确；
对选项B：化成度是－600°，正确；
对选项C：－150°化成弧度是，错误；
对选项D：化成度是15°，正确.
故选：ABD
10．AC
【分析】由终边相同角的表示即可判断A；由角度制和弧度制不能混用即可判断B；写出与角终边相同角的集合即可判断C；写出第三象限角的集合即可判断D．
【详解】终边落在x轴的非负半轴的角的集合为，故A正确；
由于角度制和弧度制不能混用，故B错误；
所有与角终边相同的角可以表示为，则在范围内，取，得，，故C正确；
第三象限角的集合为，故D错误．
故选：AC．
11．AB
【分析】对于A，根据充要条件的概念说明角为第一象限或第三象限角与可以互相推出即可判断；对于B，写出终边在轴上的角的集合，化简可得，即可判断；对于C，根据是第三象限角，可推出，讨论k的奇偶性，即可判断；对于D，根据角度值和弧度制的概念即可判断.
【详解】对于，当角为第一象限角时，，则；
当角为第三象限角时，，则，
所以若角为第一象限或第三象限角，则.
因为，即且，或且，
当且时，角为第一象限角；当且时，角为第三象限角，
所以若，则角为第一或第三象限角,
所以角为第一或第三象限角的充要条件是，故正确；
对于B,终边在轴上的角的集合为,
即，即，正确；
对于，若是第三象限角，即，
则，
当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角，
则是第二象限或第四象限角，故C错误；
对于D，不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，故D不正确，
故选：
12．BD
【分析】确定，考虑的奇偶两种情况，分别计算得到答案.
【详解】与是终边相同的角，且，故，
故，
当时，，是第四象限角；
当时，，是第二象限角.
综上所述：可能是第二或四象限角.
故选：BD
13．
【分析】首先求出扇形的半径，再根据扇形面积公式计算可得.
【详解】设扇形的半径为，因为圆心角，则，所以，
所以扇形的面积.
故答案为：
14．2
【分析】设扇形半径为，由题有，
据此表示出扇形面积，后由基本不等式可得答案.
【详解】设扇形半径为，由题有，
则扇形面积为：.
则，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：2
15．
【分析】利用扇形面积公式即可得解.
【详解】因为扇形的圆心角为，转化为弧度为，
所以该扇形的面积为.
故答案为：.
16．
【分析】根据点坐标的几何意义，利用三角函数以及几何关系，可得答案.
【详解】如图，作轴，，为垂足.
根据题意得劣弧，则，于是在中，，，，
可得点的横坐标为，点的纵坐标为，
所以点的坐标为.
故答案为：.
17．当扇形的半径为，圆心角为2弧度时，扇形的面积最大，最大面积是.
【分析】设扇形的半径是，扇形的弧长为，根据扇形的周长为30 cm，则有，然后利用扇形面积公式表示扇形面积求其最值，根据弧长公式求圆心角.
【详解】设扇形的半径是，扇形的弧长为，圆心角的弧度数是，
则，.
扇形的面积，
可得当时，，
又，所以.
所以，当扇形的半径为，圆心角为2弧度时，扇形的面积最大，最大面积是.
18．证明见解析，
【分析】先设出扇形得弧长和半径，利用扇形的弧长、半径与周长的关系以及弧长、半径与面积的关系建立等式求解即可.
【详解】设该扇形的弧长为，半径为，则有，得，
所以扇形面积，
所以当时此时面积有最大值，此时，
所以圆心角