6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步练习（含解析）

《第一节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理》同步练习
一、基础巩固
知识点1　分类加法计数原理
1.[2022福建厦门双十中学高二下期中]从甲地到乙地,一天中有5班火车、12班客车、3班飞机,还有6班轮船.某人某天要从甲地到乙地,则不同走法的种数是(　　)
A.18 B.26 C.60 D.1 080
2.[2022黑龙江牡丹江一中高二下月考]已知集合A={0,3,4},B={1,2,7,8},集合C中有且只有一个元素x,且x∈A或x∈B,则C的情况有(　　)
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
3.[2022江苏省启东中学高二期中]如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现A,B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况的种数为(　　)
A.9 B.11 C.13 D.15
4.若三角形的三边长均为正整数,其中一边长为3,另外两边长分别为b,c,且满足b≤3≤c,则这样的三角形有　 　　　个.(用数字作答)
知识点2　分步乘法计数原理
5.[2022安徽蚌埠三中高二下开学考试]某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤,现要配成一荤一素一汤的套餐,则可以配成不同套餐的种数为(　　)
A.30 B.14 C.33 D.90
6.从6人中选出 4人参加某大学举办的数学、物理、化学、生物比赛,每人只能参加其中一项,且每项比赛都有人参加,其中甲、乙两人都不能参加化学比赛,则不同的参赛方案的种数为(　　)
A.94 B.180 C.240 D.286
7.数学与文学有许多奇妙的联系,如文学中的诗歌有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数,如343,12 521等.则在三位数的回文数中偶数的个数是(　　)
A.40 B.30 C.20 D.10
8.(多选)[2022广东佛山顺德一中高二下期中]现有3名老师、8名男同学和5名女同学,共16人,有一项活动需派人参加,则下列说法正确的是(　　)
A.只需1人参加,有16种不同选法
B.若需老师、男同学、女同学各1人参加,则有120种不同选法
C.若需1名老师和1名同学参加,则有39种不同选法
D.若需3名老师和1名同学参加,则有56种不同选法
9.现要从抗击新冠肺炎疫情的5名志愿者中选3名志愿者分别承担“防疫宣传讲解”“站岗执勤”“发放口罩”三项工作.其中志愿者甲不能承担“防疫宣传讲解”工作,则不同的选法有　　　　种.(用数字作答)
10.[2022河北承德高二下联考]已知集合A={-3,-2,-1,0,1,3},B={-4,-2,-1,1,2,3},从A,B这两个集合中先后各选取一个元素,依次作为平面直角坐标系中点的横、纵坐标.
(1)求位于第二象限的不同点的个数;
(2)求在圆x2+y2=4内部(不含边界)的不同点的个数.
知识点3　两个计数原理的综合应用
11.[2022山东临沂一中高二下教学检测]有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球,若从中任取多面体和旋转体各1个,则不同取法的种数是(　　)
A.14 B.23 C.48 D.120
12.[2022广东佛山罗村高级中学高二下月考]现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马和猴的吉祥物,乙同学喜欢牛、狗和羊的吉祥物,丙同学对所有的吉祥物都喜欢.让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个珍藏,若每个人所选取的吉祥物都是自己喜欢的,则不同的选法共有(　　)
A.50种 B.60种 C.80种 D.90种
13.甲与其四位同事各有一辆汽车,甲的车牌尾号为9,其四位同事的车牌尾号分别是0,2,1,5.为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾号为奇数的车通行,偶数日车牌尾号为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为(　　)
A.64 B.80 C.96 D.120
14.[2022重庆七中高二下月考]古人用天干地支组合来表示年、月、日、时的名称.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配,共可配成　　　　组.(用数字作答)
15.已知一个公园的形状如图所示,现有3种不同的植物要种在此公园的A,B,C,D,E这五个区域内,要求两块相邻区域种不同的植物,则不同的种法共有　　　种.
16.开放题已知某年4月23日,某市未来六天的空气质量预报情况如下表所示.该市的甲、乙、丙三人计划在未来六天(4月24日~4月29日)内选择一天出游,在“①甲只选择空气质量为优的一天出游,②乙不选择4月27日出游,③丙不选择4月24日出游,④甲与乙不选择同一天出游”这四个条件中任选三个,求这三人出游的不同方法种数.
日期 4月24日 4月25日 4月26日 4月27日 4月28日 4月29日
空气质量 优 优 优 优 良 良
二、能力提升
1.古代五行学说认为物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.将五种不同属性的物质任意排成一列,且排列中属性相克的两种物质不相邻,则不同的排列方法有(　　)
A.5种 B.10种 C.20种 D.120种
2.[2022吉林长春市实验中学高二下月考]从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取2个,其中一个作为底数,另一个作为真数,则可以得到不同的对数值的个数为(　　)
A.64 B.56 C.53 D.51
3.若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)时不产生进位现象,则称n为“开心数”.例如:因为32+33+34不产生进位现象,所以32是“开心数”;因为23+24+25产生进位现象,所以23不是“开心数”.那么小于100的“开心数”的个数为(　　)
A.9 B.10 C.11 D.12
4.[2022豫北名校高二下期中联考]如图所示是一段灌溉用的水渠,上游和下游之间建有A,B,C,D,E五个水闸,若上游有充足水源但下游没有水,则这五个水闸打开或关闭的情况有(　　)
A.7种 B.15种 C.23种 D.26种
5.(多选)[2022广东珠海高二下期末]某校安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是(　　)
A.不同的安排方法有43种
B.若甲工厂必须有同学去,则不同的安排方法有37种
C.若A同学必须去甲工厂,则不同的安排方法有12种
D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种
6.[2022陕西西安中学高二期中]某外语组有5人,每人至少会英语、法语中的一门,其中3人会英语,3人会法语,从中选会英语和法语的各一人去做翻译工作,则不同的选法种数为　　　　.(用数字作答)
7.用n(n≥3,n∈N*)种不同的颜色给如图所示的A,B,C,D四个区域涂色,要求相邻区域不能用同一种颜色.
(1)当n=6时,图①、图②各有多少种不同的涂色方案
(2)若图③有180种不同的涂色方案,求n的值.
参考答案
一、基础巩固
1.B　由分类加法计数原理知不同的走法有 5+12+3+6=26(种).
2.C　当集合C中的元素属于集合A时,有3种情况;当集合C中的元素属于集合B时,有4种情况.又集合A与集合B无公共元素,所以集合C的情况共有3+4=7(种).
3.C　根据焊接点可能脱落的个数分类讨论.
脱落1个 1或4脱落,共有2种情况.
脱落2个 1,2或1,3或1,4或2,3或2,4或3,4脱落,共6种情况.
脱落3个 1,2,3或1,2,4或2,3,4或1,3,4脱落,共4种情况.
脱落4个 1,2,3,4同时脱落,共1种情况.
综上,不同的情况共有2+6+4+1=13(种).故选C.
4.6　解析因为b≤3且b为正整数,所以b=1或2或3.又3≤,所以当b=1时,c=3;当b=2时,c=3,4;当b=3时,c=3,4,5.故这样的三角形共有1+2+3=6(个).
5.D　分三步:第一步,选1种荤菜,有6种选法;第二步,选1种素菜,有5种选法;第三步,选1种汤,有3种选法.根据分步乘法计数原理,可知配成不同套餐的种数为6×5×3=90.
6.C　第一步,因为甲、乙两人都不能参加化学比赛,所以从剩下的4人中选1人参加化学比赛,共有4种选法;第二步,在剩下的5人中任选3人参加数学、物理、生物比赛,共有5×4×3=60种选法.由分步乘法计数原理,得不同的参赛方案的种数为4×60=240,故选C.
7.A　由题意知,若三位数的回文数是偶数,则个位上的数字可能为2,4,6,8中的一个,十位上的数字有10个不同的取值,百位上的数字同个位上的数字,所以三位数的回文数中偶数的个数为4×10=40,故选A.
8.ABC
A √ 从16人中选1人,有16种不同选法.
B √ 不同选法有3×8×5=120(种).
C √ 不同选法有3×13=39(种).
D 不同选法有1×13=13(种).
9.48　解析分3步进行分析:①对于“防疫宣传讲解”,甲不能承担该项工作,有4种选法;②对于“站岗执勤”,在剩下的4人中选择1人即可,有4种选法;③对于“发放口罩”,在剩下的3人中选择1人即可,有3种选法.根据分步乘法计数原理,不同的选法有4×4×3=48(种).
10.(1)位于第二象限的点的横坐标小于0,纵坐标大于0,从集合A={-3,-2,-1,0,1,3}中选取一个元素作为横坐标,有3种选法,再从集合B={-4,-2,-1,1,2,3}中选取一个元素作为纵坐标,也有3种选法.
根据分步乘法计数原理,知位于第二象限的不同点的个数为3×3=9.
(2)设从A,B这两个集合中先后选取的元素为x,y,且点(x,y)在圆x2+y2=4的内部(不含边界),则x2+y2<4.
若x=-1,则y=-1或y=1,共2种情况;
若x=0,则y=-1或y=1,共2种情况;
若x=1,则y=-1或y=1,共2种情况.
根据分类加法计数原理,知满足条件的不同点的个数为2+2+2=6.
11.C　分两步:第1步,取多面体,从棱柱或棱锥中取1个,不同的取法有5+3=8(种);第2步,取旋转体,从圆台或球中取1个,不同的取法有4+2=6(种).根据分步乘法计数原理知,不同取法的种数是8×6=48.
12.C　根据题意,按甲的选择分两类讨论:第一类,若甲选择牛的吉祥物,则乙的选法有2种,丙的选法有10种,此时不同的选法有2×10=20(种);第二类,若甲选择马或猴的吉祥物,则甲的选法有2种,乙的选法有3种,丙的选法有10种,此时不同的选法有2×3×10=60(种).所以不同的选法共有20+60=80(种).故选C.
13.B　5日至9日,有3个奇数日,2个偶数日.第一步,安排偶数日出行,每天都有2种选择,不同的用车方案共有2×2=4(种).第二步,安排奇数日出行,分两类讨论:第一类,选1天安排甲的车,不同的用车方案共有3×2×2=12(种);第二类,不安排甲的车,每天都有2种选择,不同的用车方案共有2×2×2=8(种).综上,不同的用车方案种数为 4×(12+8)=80,故选B.
14.60　解析分两类:第一类,由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,不同的结果有5×6=30(组);第二类,用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配,不同的结果有5×6=30(组).综上,不同的结果共有30+30=60(组).
15.18　解析先在A,B,C三个区域种植3种不同的植物,种法共有3×2×1=6(种).若E与A种植的植物相同,则D有1种种法;若E与C种植的植物相同,则D有2种种法.根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理,知不同的种法共有6×(1+2)=18(种).
16.方案一　选择①②③.
这三人出游的不同方法种数为4×5×5=100.
方案二　选择①②④.
分两类:第一类,甲选择4月27日出游,则三人出游的不同方法种数为N1=5×6=30;
第二类,甲不选择4月27日出游,则三人出游的不同方法种数为N2=3×4×6=72.
故这三人出游的不同方法种数为N=N1+N2=102.
方案三　选择①③④.
三人出游的不同方法种数为4×5×5=100.
方案四　选择②③④.
三人出游的不同方法种数为5×5×5=125.
二、能力提升
1.B　由题意,可看作五个位置排列五种不同属性的物质,第一个位置有5种选法,不妨假设选的是金,则第二个位置只能从土与水中选一种,故有2种选法,不妨假设选的是水,则第三个位置只能选木,第四个位置只能选火,第五个位置只能选土,故不同的排列方法种数为5×2×1×1×1=10.
2.C　由于1不能作为底数,故从其余各数中任取1个作为底数,1作为真数,对数值均为0.从除1外的其余各数中任取2个分别作为对数的底数和真数,共能组成对数式8×7=56(个).又log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,对数值重复了4个,故不同的对数值的个数为1+56-4=53.
3.D　经分析,一位数中,“开心数”为0,1,2;两位数中,“开心数”个位上的数字可取0,1,2,十位上的数字可取1,2,3,所以小于100的“开心数”的个数为3+3×3=12.
4.C　每个水闸有打开或关闭两种情况,五个水闸的打开或关闭的不同情况有25种.若下游有水,则水闸A必打开,水闸B,C至少打开一个,情况有(22-1)种,水闸D,E至少打开一个,情况有(22-1)种.由分步乘法计数原理得下游有水的不同情况有1×(22-1)×(22-1)=9(种),所以下游没有水时五个水闸打开或关闭的情况有=23(种).
5.ABD
6.8　解析由集合知识,可知既会英语又会法语的有3+3-5=1(人),仅会英语的有3-1=2(人),仅会法语的有3-1=2(人).
7.(1)题图①:第一步,涂A,有6种不同的涂法;
第二步,涂B,与A的颜色不相同,有5种不同的涂法;
第三步,涂C,与A,B的颜色都不相同,有4种不同的涂法;
第四步,涂D,只需与C的颜色不相同,有5种不同的涂法.
所以不同的涂色方案共有6×5×4×5=600(种).
题图②:第一步,涂A,有6种不同的涂法;
第二步,涂B,与A的颜色不相同,有5种不同的涂法;
第三步,涂D,与A,B的颜色都不相同,有4种不同的涂法;
第四步,涂C,与B,D的颜色都不相同,有4种不同的涂法.
所以不同的涂色方案共有6×5×4×4=480(种).
(2)前三步与题图①的涂法类似,分别有n,(n-1),(n-2)种不同的涂法;
第四步,涂D,与C,A的颜色都不相同,有(n-2)种不同的涂法.
所以不同的涂色方案共有n(n-1)(n-2)(n-2)种,
所以n(n-1)(n-2)2=180,n∈N*,所以n=5.