5.3.3 导数在实际问题中的应用 同步练习（含解析）

《第三节　导数在研究函数中的应用》同步练习
（课时3　导数在实际问题中的应用）
一、基础巩固
知识点　　导数在实际问题中的应用
1.[2022广东珠海高二下期中]一窗户的上部是半圆,下部是矩形,大致图形如图所示,如果窗户的面积为S,为使窗户的周长最小,用料最省,则半圆的半径应为(　　)
A. B.
C. D.2
2.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元,每年最大规模的种植量是10万千克,每种植1万千克莲藕,成本增加1万元.销售额y(单位:万元)与莲藕种植量x(单位:万千克)满足y=-x3+ax2+x(a为常数),若种植3万千克,销售利润是万元,则要使销售利润最大,每年需种植莲藕(　　)
A.6万千克 B.8万千克
C.7万千克 D.9万千克
3.某校为弘扬中华传统中医药文化,在一块边长为30 m的正方形空地中开辟出如图所示的总面积为750 m2的矩形中药园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路,中间三个矩形区域将分别种植益母草、板蓝根、苦参(其中两个小矩形区域形状、大小相同).若中药种植的总面积为S m2,当S取得最大值时,x的值为(　　)
A.15 B.20 C.25 D.30
4.某海轮每小时的燃料费与它的航速的立方成正比,已知该海轮的最大航速为30 n mile/h,当航速为10 n mile/h时,每小时的燃料费是25元,其余费用(无论速度如何)为每小时400元.如果甲、乙两地相距800 n mile,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为　　　 n mile/h.
5.某中学开展劳动实习,学习加工制作模具,有一个模具的毛坯直观图如图所示,是由一个圆柱与两个半球对接而成的组合体,其中圆柱的底面半径为1,高为2,半球的半径为1,现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间,该中空的圆柱形空间的上、下底面与毛坯的圆柱底面平行,挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成,则该模具体积的最小值为　　　　.
6.某物流公司购买了一块长AM=30 m,宽AN=20 m的矩形地块AMPN,规划建设占地如图中矩形ABCD所示的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,B,D分别在边AM,AN上.假设AB=x m,若规划建设的仓库是高度与AB的长相等的长方体建筑,问AB的长为多少时仓库的库容最大(墙体及楼板所占空间忽略不计)
二、能力提升
1.(多选)[2022安徽宿州高二月考]如图所示的几何体的外层类似于“甜筒冰淇淋”,上部分是体积为10π的半球,下部分是高度为6的圆锥,在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥,小圆锥底面平行于外层圆锥的底面,且小圆锥的顶点与外层圆锥顶点重合,则该小圆锥的体积可以为(　　)
A.10π B.18π C.30π D.40π
2.请你设计一个包装盒.如图1所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图2中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=BF=x(单位:cm).
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(单位:cm2)最大,试问x应取何值
(2)某厂商要求包装盒的容积V(单位:cm3)最大,试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
3.[2022江苏无锡一中高三上段考]为响应国家提出的“大众创业　万众创新”的号召,小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业,生产某小型电子产品.经过市场调研,生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本W(x)万元.已知在年产量不足4万件时,W(x)=x3+2x,在年产量不小于4万件时,W(x)=7x+-27.每件产品售价6元.通过市场分析,小王生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式.(年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.)
(2)年产量为多少万件时,小王在这一产品的生产中所获年利润最大 最大年利润是多少
4.某市注重生态环境建设,每年用于改造生态环境的总费用为x亿元,其中用于风景区改造的费用为y亿元.该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①每年用于风景区改造的费用随每年改造生态环境总费用的增加而增加;②每年改造生态环境的总费用至少为a亿元,至多为b亿元;③每年用于风景区改造的费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%,但不得高于每年改造生态环境总费用的22%.
(1)若a=2,b=2.5,请分析能否采用函数模型y=(x3+4x+16)作为生态环境改造投资方案;
(2)若a,b取正整数,并用函数模型y=(x3+4x+16)作为生态环境改造投资方案,请求出a,b的值.
5.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体.“刍甍”字面意思为茅草屋顶,图1是一栋农村别墅,为全新的混凝土结构,它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图2,屋顶五面体为“刍甍”,其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形,点F在平面ABCD和BC上射影分别为H,M,已知HM=5 m,BC=10 m,梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍.设∠FMH=θ(0<θ<).
(1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式.
(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k>0),下部主体造价与其高度成正比,比例系数为16 k.现欲造一栋总高度为6 m的别墅,试问:当θ为何值时,总造价最低
参考答案
一、基础巩固
1.C　设窗户的周长为L,半圆的半径为x,矩形的高为h,则窗户的面积S=x2+2hx,所以h=x(x>0),所以窗户的周长L=πx+2x+2h=+2x+x,所以L'=2+.令L'=0,得x=,所以当x∈(0,)时,L'<0;当x∈(,+∞)时,L'>0.所以当x=时,L取得最小值.
2.B　设当莲藕种植量为x万千克时,销售利润为g(x)万元,则g(x)=-x3+ax2+x-2-x=-x3+ax2-2(00,当x∈(8,10)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,8)上单调递增,在(8,10)上单调递减,所以当x=8时,g(x)取得最大值,故要使销售利润最大,每年需种植莲藕8万千克.故选B.
3.C　由题意知00,S单调递增,当254.20　解析设航速为v n mile/h时,每小时的燃料费y=av3(0≤v≤30).因为25=a·103,所以a=.设海轮从甲地航行到乙地的总费用为w 元,则w=av3××400=20v2+,由w'=40v-=0,得v=20.易知当v=20时,w取得最小值,所以当航速为20 n mile/h时,总费用最低.
5.　解析设中空圆柱的底面半径为r,高为2+h(00,当h∈(,2)时,V'<0,则当h=时,V取得最大值,为.又毛坯的体积为π×12×2+π×13=,所以该模具体积的最小值为.
6.因为,且AM=30,AN=20,DC=AB,
所以ND=·AN=,则AD=AN-ND=20-.
仓库的库容V(x)=(20-)·x·x=-+20x2(0令V'(x)=-2x2+40x=-2x(x-20)=0,得x=20或x=0(舍去),
所以当x∈(0,20)时,V'(x)>0,
当x∈(20,30)时,V'(x)<0,
所以当x=20时,V(x)有极大值也是最大值,
即AB的长为20 m时仓库的库容最大.
二、能力提升
1.ABC　设上部分的半球的半径为R,可得πR3=10π,解得R=.当小圆锥的底面在半球内时,设小圆锥的底面半径为r,小圆锥底面中心到半球球心的距离为h(02.(1)设包装盒的高为h cm,底面边长为a cm.由已知得a=x,h=(30-x),0S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,0(2)V=a2h=2(-x3+30x2),
V'=6x(20-x),
令V'=0,得x=0(舍去)或x=20.
当x∈(0,20)时,V'>0;当x∈(20,30)时,V'<0.
所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值,
此时,即包装盒的高与底面边长的比值为.
3.(1)由题意,当x<4时,P(x)=6x-2-(x3+2x)=-x3+4x-2;
当x≥4时,P(x)=6x-2-(7x+-27)=25-x-.
所以P(x)=
(2)当0令P'(x)=0,解得x=2.
易得P(x)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,
所以当0当x≥4时,P(x)=25-(x+)≤25-2=9,
当且仅当x=,即x=8时取等号.
综上,当年产量为8万件时,所获年利润最大,为9万元.
4.(1)因为y'=(3x2+4)>0,
故函数y=(x3+4x+16)是增函数,满足条件①.
设g(x)=(x2+4+),
则g'(x)=(x-2)(x2+2x+4),
令g'(x)=0,得x=2.
所以当x<2时,g'(x)<0,g(x)在(-∞,2)上单调递减;
当x>2时,g'(x)>0,g(x)在(2,+∞)上单调递增.
又a=2,b=2.5,即x∈[2,2.5],
所以g(x)在[2,2.5]上单调递增,
故当x=2时,g(x)有最小值0.16=16%>15%,
当x=2.5时,g(x)有最大值0.166 5=16.65%<22%,满足条件③.
故能采用函数模型y=(x3+4x+16)作为生态环境改造投资方案.
(2)由(1)知g(x)=(x2+4+),
依题意,知当x∈[a,b],a,b∈N*时,15%≤g(x)≤22%恒成立.
由(1)知g(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,且当x>0时,g(x)min=g(2)=16%∈[15%,22%],
故x=2符合条件,经计算得g(1),g(3)∈[15%,22%],
而g(4) [15%,22%],可得x=1或x=2或x=3,
所以a=1,b=2或a=1,b=3或a=2,b=3.
5.(1)由题意,知FH⊥平面ABCD,
因为HM 平面ABCD,所以FH⊥HM.
在Rt△FHM中,HM=5,∠FMH=θ,所以FM=.
所以△FBC的面积为×10×.
所以屋顶面积S=2S△FBC+2S梯形ABFE=2×+2××2.2=.
所以S关于θ的函数关系式为S=(0<θ<).
(2)在Rt△FHM中,FH=5tan θ,所以下部主体高度为h=6-5tan θ.
所以别墅总造价为y=S·k+h·16k=·k+(6-5tan θ)·16k=k-k+96k=80k·+96k.
设f(θ)=,0<θ<,则f '(θ)=,
令f '(θ)=0,得sin θ=,又0<θ<,所以θ=.
f '(θ)与f(θ)随θ的变化情况如下表:
所以当θ=时,f(θ)在(0,)上有最小值.
所以当θ为时,该别墅总造价最低.