6.2.1 排列6.2.2排列数 同步练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（含解析）

《第二节　排列与组合》同步练习
（课时1　排列与排列数）
一、基础巩固
知识点1　排列与排列数公式
1.下列问题是排列问题的是(　　)
A.10个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次
B.平面上有2 022个不同的点,且任意三点不共线,连接任意两点可以构成多少条线段
C.集合{a1,a2,a3,…,an}的含有三个元素的子集有多少个
D.从高三(9)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目,有多少种选法
2.[2022江苏省通州高级中学高二期中]从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为(　　)
A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲
B.甲乙丙,乙丙甲
C.甲乙,甲丙,乙丙,乙甲,丙甲,丙乙
D.甲乙,甲丙,乙丙
3.[2022天津市耀华中学高二期中]设n∈N*,且n<22,则(22-n)(23-n)…(2 022-n)等于(　　)
A. B.
C. D.
4.[2022北京市十一学校高二上期末]若=10,则n=(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
5.若S=+…+,则S的个位上的数字是(　　)
A.8 B.5 C.3 D.0
6.(多选)下列各式中与排列数一定相等的是(　　)
A. B.n(n-1)(n-2)…(n-m)
C. D.
7. 计算:=　　　　(用数字作答).
8.[2022山东潍坊高二月考](1)解不等式:3+12≤11;
(2)证明:=n2.
知识点2　排列数的应用
9.[2022江西上饶横峰中学高二上期中]现从6名学生干部中选出3名分别参加资源、生态和环保3个夏令营活动,则不同的选派方案的种数是(　　)
A.20 B.90 C.120 D.240
10.[2022山东菏泽一中高二下月考]有5名同学站两排合影留念,前排2人,后排3人,则不同的排法种数为(　　)
A.60 B.90 C.120 D.240
11.[2022北京昌平区高二期中]甲、乙、丙3人相约一起去做核酸检测.到达检测点后,发现有A,B两支正在等待检测的队伍,则甲、乙、丙3人不同的排队方案共有(　　)
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
12.“八音”是中国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法,最早见于《周礼》,分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”八类.某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六类乐器的学习,每类乐器安排一节课,连排六节,并要求“土”与“匏”相邻排课,但均不与“竹”相邻排课,则不同的排课方式有　　　　种.(用数字作答)
13.有7名同学,其中3名男生、4名女生,求在下列不同条件下的排法种数.
(1)选5人排成一排;
(2)全体站成一排,男生互不相邻;
(3)全体站成一排,其中甲不站在最左边,也不站在最右边;
(4)全体站成一排,其中甲不站在最左边,乙不站在最右边;
(5)男生顺序已定,女生顺序不定;
(6)站成三排,前排2名同学,中间排3名同学,后排2名同学,其中甲站在中间排的中间位置;
(7)7名同学坐圆桌吃饭,其中甲、乙相邻.
二、能力提升
1.某同学有7本不同的书,其中语文书2本、英语书2本、数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排成一排,要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻,则不同的排法种数为(　　)
A.12 B.24 C.48 D.720
2.现有m位同学,若站成一排,且甲同学在乙同学左边的站法共有60种,那么这m位同学围成一个圆时,不同的站法种数为(　　)
A.120 B.24 C.48 D.60
3.[2022安徽临泉一中高二下月考]英文单词“sentence”由8个字母构成,将这8个字母进行排列,且2个“n”不相邻,则可得到的英文单词(假设每个排列都是一个有意义的单词)的个数为(　　)
A.2 520 B.3 360 C.25 200 D.4 530
4.[2022湖南五市十校教研教改共同体高二下期中]将a,b,c,d,e五个字母排成一排,下列说法正确的是(　　)
A.不同的排法有30种
B.a,b相邻的排法有种
C.a,b不相邻的排法有种
D.a不排在两端的排法有种
5.(多选)对任意正整数n,定义n的双阶乘n!!:当n为偶数时,n!!=n×(n-2)×(n-4)×…×6×4×2;当n为奇数时,n!!=n×(n-2)×(n-4)×…×5×3×1.下列命题为真命题的是(　　)
A.209!!×208!!=209! B.208!!=2×104!
C.208!!的个位为0 D.209!!的个位为0
6.(多选)[2022重庆万州二中高二下质检]A,B,C,D,E,F六名同学参加一项比赛,决出第一到第六的名次.A,B,C三人去询问比赛结果,裁判对A说“你和B都不是第一名”,对C说“你比A,B的成绩都好”.据此分析,下列说法正确的是(　　)
A.若B为第二名,则比赛结果有24种
B.若B为第三名,则比赛结果有42种
C.若B为第四名,则比赛结果有54种
D.若B为第五名,则比赛结果有78种
7.化简:
(1)+…+=　　　　;
(2)1!+2×2!+3×3!+…+n×n!=　　　　.
8.[2022浙江温州环大罗山联盟高二下期中联考]如图,有两堆集装箱,一堆4个,另一堆3个,要把这7个集装箱搬离原来的位置,每次只能搬动1个集装箱.若按照从上到下的顺序搬离,则A箱子在第4次被搬离的概率是　　　　.
9.[2022山东济南外国语学校高二期中]如图,用四种不同的颜色给三棱柱ABC-A'B'C'的六个顶点涂色,要求每个顶点涂一种颜色.若每个底面的顶点涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有　　 　　种;若每条棱的两个端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有　　　　种.(用数字作答)
10.把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排成一个数列.
(1)45 312是这个数列的第几项
(2)这个数列的第71项是多少
(3)求这个数列的所有项之和.
11.规定=x(x-1)…(x-m+1),其中x∈R,m为正整数,且=1,这是排列数(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广.
(1)求的值.
(2)排列数的两个性质①=n,②+m(n,m是正整数,且m≤n)是否都能推广到(x∈R,m是正整数)的情形 若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,请说明理由.
参考答案
一、基础巩固
1.D　A中握手次数的计算与次序无关,B中线段条数的计算与点的次序无关,C中子集的个数与该集合中元素的次序无关,故这三个问题都不是排列问题.D中,选出的2名学生,如甲、乙,其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法,因此是排列问题.故选D.
2.C　从甲、乙、丙中选两人并排列,所有情况为甲乙,乙甲,甲丙,丙甲,乙丙,丙乙.
3.A　先确定最大的数,即2 022-n,再确定因式的个数,即(2 022-n)-(22-n)+1=2 001,所以原式=.
4.B　由题意,得2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),整理可得4n-2=5n-10,解得n=8.
5.C　当n≥5时,的个位上的数字是0,故S的个位上的数字取决于前四个排列数.又=33,所以S的个位上的数字是3.
6.AD　
7.30　解析方法一　=30.
方法二　=30.
8.解析(1)由题意得3(x+2)(x+1)+12x(x-1)≤11(x+1)x,化简得2x2-7x+3≤0,即(2x-1)(x-3)≤0,解得≤x≤3.
,所以原不等式的解集为{2,3}.
(2)方法一　=(n+1)=n=n2.
方法二　因为左边==n,
右边=n2·=n·=n,
所以左边=右边,即原式得证.
9.C　不同的选派方案共有=120(种).
10.C　方法一(直接法)　先安排前排2人,有种排法,再安排后排3人,有种排法,故不同的排法共有=20×6=120(种).
方法二(多排化直排)　5名同学站成两排,前排2人,后排3人,等价于5名同学站成一排,故不同的排法共有=120(种).
11.C　按排在A队的人数分4类:
人数 方案种数
第1类 3
第2类 2
第3类 1
第4类 0
综上,甲、乙、丙3人不同的排队方案共有6+6+6+6=24(种).
12.1 440　解析先从除“土”“匏”“竹”外的五类乐器中任选三类全排列,再将“土”“匏”捆绑与“竹”插入4个空中,排课方式共有=1 440(种).
13.(1)从7人中选5人排列,排法有=2 520(种).
(2)先排女生,有种排法,再在女生之间及两端的5个空位中任选3个空位排男生,有种排法.
故排法共有=1 440(种).
(3)方法一(特殊元素优先法)　先排甲,有5种排法,再排其余6人,有种排法,故排法共有5×=3 600(种).
方法二(特殊位置优先法)　左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人,有种排法,其他位置有种排法,故排法共有=3 600(种).
(4)方法一　分两类:第一类,甲在最右边,有种排法;第二类,甲不在最右边,甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选一个,有5种排法,而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个,有5种排法,其余人全排列,有种排法.
故排法共有+5×5×=3 720(种).
方法二　7名学生全排列,有种排法,其中甲在最左边时,有种排法,乙在最右边时,有种排法,甲在最左边且乙在最右边时,有种排法,故排法共有-2=3 720(种).
(5)7名学生站成一排,有种排法,其中3名男生的排法有种,由于男生顺序已定,女生顺序不定,故排法共有=840(种).
(6)把甲放在中间排的中间位置,则问题可以看作剩余6人的全排列,故排法共有=720(种).
(7)将甲、乙看作一个整体,相当于6名同学坐圆桌吃饭,有种排法,甲、乙两人可交换位置,故排法共有=240(种).
二、能力提升
1.C　先将2本语文书看成一个元素,2本英语书看成一个元素,然后排成一排,有种不同的排法,再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中,不同的排法有种,再排2本语文书,不同的排法有种,最后排2本英语书,不同的排法有种.根据分步乘法计数原理,得不同的排法共有=48(种).故选C.
2.B　因为站成一排时甲在乙左边与甲在乙右边的站法数相同,而m位同学站成一排有种站法,所以=60,解得m=5,所以5位同学围成一个圆的站法种数为=24.
3.A　英文单词“sentence”中字母e有3个,字母n有2个,字母s,t,c各有1个.优先考虑无限制的字母,排法共有=120(种),再插入2个字母n,排法有=21(种).所以英文单词的个数为120×21=2 520.
4.C
5.AC
6.ABC
7.(1)1-;(2)(n+1)!-1　解析 (1)因为,所以+…+=()+()+…+[]=1-.
(2)因为n×n!=[(n+1)-1]×n!=(n+1)×n!-n!=(n+1)!-n!,所以原式=(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+…+[(n+1)!-n!]=(n+1)!-1.
8.　解析由题意得,7个集装箱按照从上到下的顺序被搬离的不同情况共有=35(种).若A箱子在第4次被搬离,则前3次搬动有3种情况,后3次搬动有3种情况,共有3×3=9(种),故所求概率为.
9.576　264　解析若每个底面的顶点涂的颜色不相同,则不同的涂色方法共有=576(种).
若每条棱的两个端点涂不同的颜色,则当B',A',A,C涂四种颜色时,不同的涂色方法有=24(种);当B',A',A,C涂三种颜色时,不同的涂色方法有×(2+2×2+2)=192(种);当B',A',A,C涂两种颜色时,不同的涂色方法有×2×2=48(种).所以不同的涂色方法共有24+192+48=264(种).
10.(1)先考虑大于45 312的数,分为两类:第一类,5开头的五位数,有个;
第二类,4开头的五位数,有45 321,只有1个.
所以不大于45 312的五位数的个数为-1=120-24-1=95,即45 312是该数列的第95项.
(2)因为1开头的五位数有=24(个),
2开头的五位数有=24(个),
3开头的五位数有=24(个),
共有24×3=72(个),
所以第71项是3开头的五位数中第二大的数,即35 412.
(3)因为1,2,3,4,5分别在万位上时,五位数都有=24(个),
所以万位上的数字之和为(1+2+3+4+5).
同理,它们在千位、百位、十位、个位上的五位数也都有=24(个),
所以这个数列的所有项之和为(1+2+3+4+5)××(104+103+102+101+100)=15×24×11 111=3 999 960.
11.(1)=(-5)×(-6)×(-7)=-210.
(2)性质①②均可推广,推广的形式分别是:
①=x,②+m(x∈R,m是正整数).
证明如下:
对于性质①,当m=1时,左边==x,右边=x=x,等式成立;
当m≥2时,左边=x(x-1)…(x-m+1)=x{(x-1)(x-2)…[(x-1)-(m-1)+1]}=x=右边,
因此=x(x∈R,m是正整数)成立.
对于性质②,当m=1时,左边==x+1==右边,等式成立;
当m≥2时,左边=x(x-1)…(x-m+1)+mx(x-1)…(x-m+2)=x(x-1)…(x-m+2)[(x-m+1)+m]=(x+1)x(x-1)(x-2)…[(x+1)-m+1]==右边,因此+m(x∈R,m是正整数)成立.