7.1 条件概率与全概率公式同步练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（含解析）

《第一节　条件概率与全概率公式》同步练习
一、基础巩固
知识点1　条件概率
1.[2022山东济宁高二下期末]在8件同一型号的产品中,有3件次品,5件合格品.现不放回地从中依次抽取2件,在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率是(　　)
A. B. C. D.
2.(多选)[2022辽宁瓦房店市高级中学高二期末]下列说法正确的是(　　)
A.P(B|A)≥P(AB)　
B.若A,B是相互独立事件,则P(A|B)=P(A)
C.0D.P(A|A)=0
3.[2022河南南阳六校高二联考]甲、乙两位游客到河南南阳旅游,准备分别从老界岭、南阳知府衙门、卧龙岗和西峡恐龙遗迹园4个著名旅游景点中随机选择1个游玩,记事件A=“甲和乙至少一人选择老界岭”,事件B=“甲和乙选择的景点不同”,则条件概率P(B|A)=(　　)
A. B. C. D.
4.[2022天津市新华中学高二下期中]根据历年气象统计资料,某地四月份某日刮东风的概率为,下雨的概率为,既刮东风又下雨的概率为,则在下雨的条件下刮东风的概率为　　　　.
5.目前国家为进一步优化生育政策, 实施一对夫妻可以生育三个子女的政策.假定生男孩和生女孩的概率相等,现随机选择一个有三个小孩的家庭,如果已经知道这个家庭有女孩,那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是　　　　.
知识点2　乘法公式
6.[2022福建莆田一中高二期末]设A,B为两个事件,已知P(B)=0.4,P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,则P(A|B)= (　　 )
A.0.24 B.0.375 C.0.4 D.0.5
7.[2022湖北武汉一中期中]已知1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球(白球与红球大小、形状、质地均相同),现从1号箱中随机取出一球放入2号箱,再从2号箱中随机取出一球,则两次都取到红球的概率是(　　)
A. 　 B. 　 C.　　 D.
8.(多选)[2022辽宁丹东高三上阶段测试]假设某市场供应的智能手机中,市场占有率和优质率的信息如下:
品牌 甲 乙 其他
市场占有率 50% 30% 20%
优质率 80% 90% 70%
在该市场中任意买一部手机,用A1,A2,A3分别表示买到的智能手机的品牌为甲、乙、其他的事件,B表示买到的手机是优质品的事件,则(　　)
A.P(A1)=0.5 B.P(B|A2)=0.9
C.P(A1B)=0.8 D.P(A3B)=0.7
9. [2022重庆南开中学高三月考]记为事件A的对立事件,且P(A)=,P(|B)=,P(B)=,则P(A∪B)=　　　　.
知识点3　全概率公式
10.[2022山东菏泽高三一模]2022年北京冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B.运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐,如果第一天去A餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.7;如果第一天去B餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.8.运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为(　　)
A.0.75 B.0.7 C.0.56 D.0.38
11.为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习,如果他前一球投进则后一球投进的概率为;如果他前一球没投进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为,则他第2球投进的概率为(　　)
A. B. C. D.
12.[2022山西运城高中联合体高二下期中联考]长时间玩手机可能影响视力,据调查,某校学生大约30%的人近视,而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2 h,且这些学生中近视的概率约为60%.现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生,则他近视的概率为(　　)
A. B. C. D.
13.有三个同样的箱子,甲箱中有2只红球,6只白球,乙箱中有6只红球,4只白球,丙箱中有3只红球,5只白球.
(1)随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球,求取出的球都为红球的概率;
(2) 从甲、乙、丙中随机取一箱,再从该箱中任取一球,求该球为红球的概率.
知识点4　*贝叶斯公式
14.[2022福建福州八中高二下期末]已知可通过验血诊断是否患某种疾病,若事件A=“验血阳性”,B=“受验者患病”,则P(A|)=P(|B)=5%.若受验人群中有0.5%患此病,即P(B)=0.005,则一个验血阳性的人患此病的概率为　　　　.
15.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三个厂的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三个厂供应的产品数之比为2∶3∶5,将三个厂的产品混合在一起.现取到一件产品为正品,问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大
二、能力提升
1. [2022河南驻马店高二期末]端午节吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒等习俗已成为国人的普遍行为.现有9个粽子,其中2个为蜜枣馅,3个为腊肉馅,4个为豆沙馅,小明随机取2个,设事件A=“取到的2个为同一种馅”,事件B=“取到的2个均为豆沙馅”,则P(A)=(　　 )
A. B. C. D.
2.(多选)[2022山东滨州高二联考]某单位组织开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛,某支部在5道党史题(3道选择题和2道填空题)中,不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,则(　　)
A.P(A)= B.P(AB)=
C.P(B|A)= D.P(B|)=
3.(多选)[2022山东省名校联盟高二下质检]现有来自两个社区的核酸检验报告表,分装2袋,第一袋中有5名男士和5名女士的报告表,第二袋中有6名男士和4名女士的报告表.随机选一袋,然后从中随机抽取2份,则(　　)
A.在选第一袋的条件下,2份都是男士的报告表的概率为
B.2份都是男士的报告表的概率为
C.在选第二袋的条件下,2份恰好男士的报告表和女士的报告表各1份的概率为
D.2份恰好男士的报告表和女士的报告表各1份的概率为
4.某班级的学生中,寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如下表所示.
男生 女生
有参加滑雪运动打算 8 10
无参加滑雪运动打算 10 12
从这个班级中随机抽取一名学生,则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为　　　　　;若已知抽到的人是女生,则她有参加滑雪运动打算的概率为　　　　　.
5.某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为;第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为;若前两次未打破,第三次落下时打破的概率为.则透镜落下三次未打破的概率为　　　　.
6.[2022江西鹰潭高二月考]现有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取出的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为　　　　.
7.某技术部门招工有四项考核,已知每个应聘者能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6,0.8,0.9,0.65,各项考核是相互独立的.每个应聘者都要经过这四项考核,只要有一项考核不通过即被淘汰.
(1)求应聘者被淘汰的概率;
(2)求应聘者通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率.
参考答案
一、基础巩固
1.D　第一次抽到次品后,还剩余2件次品,5件合格品,所以第二次抽到次品的概率为.
2.AB
3.B
4.　解析记事件A=“某地四月份某日刮东风”,事件B=“某地四月份某日下雨”,则所求概率为P(A|B)=.
5.　解析记事件A=“这个家庭有女孩”,事件B=“这个家庭有男孩”,则P(A)=1-()3=,P(AB)=1-()3-()3=,所以P(B|A)=.
6.B　由P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,得P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.15,所以P(A|B)==0.375.
7.C　记事件A=“从1号箱中取到红球放入2号箱”,事件B=“从2号箱中取到红球”.由题意,知P(A)=,P(B|A)=,所以P(AB)=P(B|A)P(A)=,所以两次都取到红球的概率为.故选C.
8.AB　依题意可得P(A1)=0.5,P(B|A1)=0.8,P(B|A2)=0.9,P(B|A3)=0.7,P(A3)=0.2,则P(A1B)=P(B|A1)P(A1)=0.8×0.5=0.4,P(A3B)=P(B|A3)P(A3)=0.7×0.2=0.14.故选AB.
9. 　解析因为P(|B)=,P(B)=,所以P(B)=P(|B)P(B)=,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(B)P(A|B)=P(A)+P(B)[1-P(A|B)]=P(A)+P(B)P(|B)=P(A)+P(B)=.
10.A　设事件A1=“第一天去A餐厅用餐”,B1=“第一天去B餐厅用餐”,A2=“第二天去A餐厅用餐”,则P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.7,P(A2|B1)=0.8,则P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.7+0.5×0.8=0.75.
11.B　记事件A=“第1球投进”,事件B=“第2球投进”,则P(B|A)= ,P(B|)=,P(A)=,由全概率公式可得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=()2+()2=.故选B.
12.A　设A1=“玩手机时间超过2 h”,A2=“玩手机时间不超过2 h”,B=“任意调查一人,此人近视”,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,P(A1)=0.4,P(A2)=0.6,P(B|A1)=0.6,又P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.6+0.6×P(B|A2)=0.3,所以P(B|A2)=0.1,所以所求的概率为.
13.(1)设A1=“从甲箱中取一球为红球”,A2=“从乙箱中取一球为红球”,A3=“从丙箱中取一球为红球”,B=“取出的球都为红球”,且事件A1,A2,A3相互独立,
所以P(B)= P(A1)P(A2)P(A3)=,
(2)设C=“从甲、乙、丙中随机取一箱,再从该箱中任取一球,该球为红球”,D1,D2,D3分别表示取到甲、乙、丙箱,则P(C|D1)=,P(C|D2)=,P(C|D3)=,
所以P(C)=P(D1)P(C|D1)+P(D2)P(C|D2)+P(D3)·P(C|D3)=.
14.　解析由P(|B)==0.05,得P(B)=P(B)P(|B)=0.005×0.05=0.000 25,则P(AB)=P(B)-P(B)=0.005-0.000 25=0.004 75.由P(A|)==0.05,得P(A)=P()P(A|)=0.995×0.05=0.049 75,所以P(A)=P(AB)+P(A)=0.004 75+0.049 75=0.054 5,所以验血阳性的人患此病的概率为P(B|A)=.
15.设A=“取到的产品为正品”,B1,B2,B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产,
由已知P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8.
由全概率公式得P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86.
由贝叶斯公式得
P(B1|A)=≈0.220 9,
P(B2|A)=≈0.314 0,
P(B3|A)=≈0.465 1.
所以这件产品由丙厂生产的可能性最大.
二、能力提升
1.C　2个蜜枣馅粽子分别记为A,B,3个腊肉馅粽子分别记为a,b,c,4个豆沙馅粽子分别记为1,2,3,4,则A={AB,ab,ac,bc,12,13,14,23,24,34},所以n(A)=10.事件AB=“取到的两个为同一种馅,均为豆沙馅”,则AB={12,13,14,23,24,34},所以n(AB)=6,所以P(B|A)=.
2.ABC　P(A)=,故A正确;P(AB)=,故B正确;P(B|A)=
),故C正确;P()=1-P(A)=1-,P(B)=,P(B|)=),故D错误.故选ABC.
3.BC
4.　　解析总人数为8+10+10+12=40,是男生且有参加滑雪运动打算的有8人,则事件“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为.因为男生共18人,其中有参加滑雪运动打算的男生有8人,所以若抽到的是男生,则他有参加滑雪运动打算的概率为.
5.　解析记事件Ai(i=1,2,3)=“透镜落下第i次时打破”,事件B=“透镜落下三次未打破”.因为B=, 所以P(B)=P()=P()P()P()=(1-)(1-)(1-)=.
6.　解析设事件A=“取出的两瓶中有一瓶是蓝色”,事件B=“取出的两瓶中另一瓶是红色”,事件C=“取出的两瓶中另一瓶是黑色”,事件D=“取出的两瓶中另一瓶是红色或黑色”,则D=B∪C,且B与C互斥.又P(A)=,P(AB)=,P(AC)=,故P(D|A)=P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=,即若取出的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为.
7.(1)记事件B=“应聘者最终通过考核”,Ai(i=1,2,3,4)分别表示应聘者通过第一、二、三、四项考核,则P(A1)=0.6,P(A2)=0.8,P(A3)=0.9,P(A4)=0.65.
因为各项考核是相互独立的,所以P(B)=P(A1)P(A2)P(A3)·P(A4)=0.6×0.8×0.9×0.65=0.280 8,
因此应聘者被淘汰的概率为1-P(B)=1-0.280 8=0.719 2.
(2)在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为P(B|A1A3)==0.52.
所以通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为1-P(B|A1A3)=1-0.52=0.48.