7.3.2 离散型随机变量的方差 同步练习 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册（含解析）

《第三节　离散型随机变量的数字特征》同步练习
（课时2　离散型随机变量的方差）
一、基础巩固
知识点1　离散型随机变量的方差及其性质
1.[2022江苏连云港高级中学高二下期中]已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
则D(X)等于(　　)
A. B. C. D.
2. [2022江西赣州信丰中学高二月考]已知随机变量X满足E(2X+3)=7,D(2X+3)=16,则下列选项正确的是(　　)
A.E(X)=,D(X)=
B.E(X)=2,D(X)=4
C.E(X)=2,D(X)=8
D.E(X)=,D(X)=8
3.[2022北京八中高二期末]已知随机变量X的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则随机变量X的标准差为(　　)
A. B. C. D.
4.[2022四川雅安高二期中]2021年7月24日印发的“双减”政策指出,要有效减轻学生过重的作业负担.某校在“双减”前学生完成作业的时长为ζ,ζ的期望为4,标准差为3.在“双减”后,该校学生完成作业的时长η=0.5ζ-0.5,η的期望为u,标准差为s,则(　　)
A.u=1.5,s=1.5 B.u=1.5,s=2
C.u=2,s=1.5 D.u=2,s=2
5.(多选)[2022山东济南模考]已知m,n均为正数,随机变量X的分布列如下表:
X 0 1 2
P m n m
则下列结论一定成立的是(　　)
A.P(X=1)B.E(X)=1
C.mn≤
D.D(X+1)<1
6.[2022安徽省六校教育研究会高二下期末]某校教职工围棋比赛的决赛在田老师和李老师之间进行,比赛采用5局3胜制(即先胜3局者获胜,比赛结束),在每局比赛中,田老师获胜的概率为,李老师获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.
(1)求李老师夺冠的概率;
(2)已知前2局中,田老师、李老师各胜1局,设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求X的期望及方差.
知识点2　方差的实际应用
7.有甲、乙两名学生,经统计,他们在参加同一智力竞赛时,各自的成绩为80分、90分、100分的概率如下表所示:
甲
分数X 80 90 100
概率P 0.2 0.6 0.2
乙
分数Y 80 90 100
概率P 0.4 0.2 0.4
则下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙两名学生的成绩不相当,且甲的较稳定
B.甲、乙两名学生的成绩不相当,且乙的较稳定
C.甲、乙两名学生的成绩相当,但甲的较稳定
D.甲、乙两名学生的成绩相当,但乙的较稳定
8.[2022陕西渭南咸林中学高二期中]某公司计划在2023年年初将1 000万元用于投资,现有两个项目供选择.
项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和;
项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,,.
(1)针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由;
(2)若市场预期不变,该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资),问大约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番
(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
9.[2022山东青岛二中高三开学考试]某公司圆满完成年初制订的生产目标,为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力,公司决定召开年终总结联欢晚会.在联欢晚会上准备以抽奖游戏的方式对500位员工进行奖励,规定:每位员工从一个装有4张奖券的箱子中,一次随机摸出2张奖券,奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额.
(1)若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元,其余3张面值均为40元,试比较每位员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小.
(2)公司对奖励总额的预算是6万元,预定箱子中所装的4张奖券有两种方案:方案一,2张面值20元和2张面值100元;方案二,2张面值40元和2张面值80元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡,请问选择哪一种方案比较好 并说明理由.
二、能力提升
1.设a>0,若随机变量ζ的分布列如下表:
ζ -1 0 2
P a 2a 3a
则下列方差中最大的是(　　)
A.D(ζ) B.D(|ζ|)
C.D(2ζ-1) D.D(2|ζ|-1)
2.(多选)[2022江苏苏州中学高二期末]设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=(k=1,2,5),a∈R,E(ξ),D(ξ)分别为随机变量ξ的数学期望与方差,则(　　)
A.P(0<ξ<3.5)= B.E(3ξ+1)=7
C.D(ξ)=2 D.D(3ξ+1)=6
3.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为,得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.设X为该毕业生得到面试机会的公司个数.若P(X=0)=,则D(X)=(　　)
A. B. C. D.
4.[2022广东佛山高三上期末]某财经杂志发起一项调查,旨在预测经济前景,随机访问了100位业内人士,根据被访问者的问卷得分(满分10分)将经济前景预期划分为三个等级(悲观、尚可、乐观).分级标准及这100位被访问者得分频数分布情况如表:
经济前景等级 悲观 尚可 乐观
问卷得分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 2 3 5 10 19 24 17 9 7 4
假设被访问的每个人独立完成问卷(互不影响),这100位人士的意见即可代表业内人士的意见,且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.
(1)该杂志记者又随机访问了2位业内人士,试估计至少有1人预测经济前景为“乐观”的概率;
(2)某人有一笔资金,现有两个备选的投资意向:物联网项目或人工智能项目,两个投资项目的年回报率都与经济前景等级有关,根据经验,大致关系如下(正数表示盈利,负数表示亏损):
经济前景等级 乐观 尚可 悲观
物联网项目的年回报率/% 12 4 -4
人工智能项目的年回报率/% 7 5 -2
根据以上信息,请分别计算这两个投资项目的年回报率的数学期望与方差,并用统计学知识给出投资建议.
参考答案
一、基础巩固
1.C　方法一　E(X)=0×+1×+2×=1,所以D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×.
方法二　E(X)=0×+1×+2×=1,E(X2)=0×+12×+22×,所以D(X)=E(X2)-[E(X)]2=.
2.B　由E(2X+3)=2E(X)+3=7,得E(X)=2.由D(2X+3)=4D(X)=16,得D(X)=4.
3.C　设P(X=1)=p,则P(X=2)=-p.由E(X)=p+2(-p)=1,解得p=,所以D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×),则标准差为.
4.A　由题意得u=E(η)=E(0.5ζ-0.5)=0.5E(ζ)-0.5=0.5×4-0.5=1.5,s2=D(η)=D(0.5ζ-0.5)=0.25D(ζ)=0.25×32=2.25,所以s=1.5.故选A.
5.BCD
6.(1)记事件C=“李老师夺冠”.
因为各局比赛结果相互独立,所以李老师夺冠可分三种情况:
①记事件C1=“李老师以3∶0夺冠”,则P(C1)=()3=;
②记事件C2=“李老师以3∶1夺冠”,则P(C2)=()2×;
③记事件C3=“李老师以3∶2夺冠”,则P(C3)=()2×()2×.
所以P(C)=P(C1)+P(C2)+P(C3)=.
(2)记事件Ai=“第i局田老师获胜”,i=3,4,5,事件Bj=“第j局李老师获胜”,j=3,4,5.
因为前2局中,田老师、李老师各胜1局,所以X的可能取值是2,3.
又各局比赛结果相互独立,所以P(X=2)=P(A3A4+B3B4)=()2+()2=,
P(X=3)=1-P(X=2)=1-,
故X的分布列为
X 2 3
P
所以E(X)=2×+3×,
所以D(X)=(2-)2×+(3-)2×.
7.C　因为E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,D(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40,E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80,所以E(X)=E(Y),D(X)8.(1)若投资项目一,设获利为ξ1万元,
则ξ1的分布列为
ξ1 300 -150
P
所以E(ξ1)=300×+(-150)×=200.
若投资项目二,设获利为ξ2万元,
则ξ2的分布列为
ξ2 500 0 -300
P
所以E(ξ2)=500×+0×+(-300)×=200,
所以E(ξ1)=E(ξ2).
D(ξ1)=(300-200)2×+(-150-200)2×=35 000,
D(ξ2)=(500-200)2×+(0-200)2×+(-300-200)2×=140 000,
所以D(ξ1)这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等,但项目一更稳妥.
综上,建议该投资公司选择项目一进行投资.
(2)假设n年后总资产可以翻一番,
依题意,1 000×(1+)n=2 000,即1.2n=2,
两边取对数,得n·lg 1.2=lg 2,
n=≈3.805 3,
所以大约在2026年年底总资产可以翻一番.
9.(1)设每位员工所获得的奖励额为X元.
从4张奖券中一次随机摸出2张,不同的情况有=6(种),
摸出的2张面值和为80元的情况有=3(种),
面值和为120元的情况有=3(种),
所以P(X=80)=,P(X=120)=,
所以P(X=80)=P(X=120),
故每位员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等.
(2)若选择方案一,设每位员工所获得的奖励额为X1元,则X1的可能取值为40,120,200.
因为奖励额为40元、200元的情况各有1种,奖励额为120元的情况有=4(种),
所以P(X1=40)=,P(X1=120)=,P(X1=200)=,
即X1的分布列为
X1 40 120 200
P
所以E(X1)=40×+120×+200×=120,
D(X1)=(40-120)2×+(120-120)2×+(200-120)2×.
若选择方案二,设每位员工所获得的奖励额为X2元,则X2的可能取值为80,120,160,易得X2的分布列为
X2 80 120 160
P
所以E(X2)=80×+120×+160×=120,
D(X2)=(80-120)2×+(120-120)2×+(160-120)2×.
又500E(X1)=500E(X2)=60 000,
所以两种方案都符合公司要求,但方案二的方差比方案一的小,故选择方案二.
二、能力提升
1.C　由题意,得a+2a+3a=1,则a=,所以E(ζ)=-1×+0×+2×,E(|ζ|)=1×+0×+2×,所以D(ζ)=×(-1-)2+×(0-)2+×(2-)2=,D(|ζ|)=×(1-)2+×(0-)2+×(2-)2=,所以D(2ζ-1)=4D(ζ)=4×,D(2|ζ|-1)=4D(|ζ|)=,所以D(2ζ-1)最大.
2.ABC　因为P(ξ=k)=(k=1,2,5),a∈R,所以P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=5)=,所以=1,解得a=1.
A √ P(0<ξ<3.5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=.
B √ 因为E(ξ)=1×+2×+5×=2,所以E(3ξ+1)=3E(ξ)+1=3×2+1=7.
C √ D(ξ)=×(1-2)2+×(2-2)2+×(5-2)2=2.
D D(3ξ+1)=32D(ξ)=9×2=18.
3.D　由题意,知×(1-p)2=,得p=.分析知X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=1)=×(1-)2+×(1-)+×(1-)×,P(X=2)=×(1-)+×(1-)×,P(X=3)=×()2=,所以E(X)=0×+1×+2×+3×,所以D(X)=×(0-)2+×(1-)2+×(2-)2+×(3-)2=.
4.(1)由题意可知这100位被访问者中,预测经济前景为“乐观”的人数为9+7+4=20,所以预测经济前景为“乐观”的概率为=0.2,
所以又随机访问2名业内人士,至少有1人预测经济前景为“乐观”的概率为P=1-(1-0.2)2=0.36.
(2)由题意可知,预测经济前景为“尚可”的概率为=0.7,预测经济前景为“悲观”的概率为=0.1.
设投资物联网项目和人工智能项目的年回报率的数学期望分别为E(X1),E(X2),方差分别为D(X1),D(X2),
则E(X1)=0.2×12%+0.7×4%+0.1×(-4%)=4.8%,
E(X2)=0.2×7%+0.7×5%+0.1×(-2%)=4.7%,
D(X1)=0.2×(12%-4.8%)2+0.7×(4%-4.8%)2+0.1×(-4%-4.8%)2=0.001 856,
D(X2)=0.2×(7%-4.7%)2+0.7×(5%-4.7%)2+0.1×(-2%-4.7%)2=0.000 561.
因为E(X1)>E(X2),
所以投资物联网项目比投资人工智能项目的平均年回报率要高,但二者相差不大.
而D(X1)>D(X2),
所以投资人工智能项目比投资物联网项目的年回报率的稳定性更高,风险更小,所以建议投资人工智能项目.