7.3.1 离散型随机变量的均值同步练习（含解析）

《第三节　离散型随机变量的数字特征》同步练习
（课时1　离散型随机变量的均值）
一、基础巩固
知识点1　离散型随机变量的均值及其性质
1.[2022江苏常州高二下期中]掷一枚质地均匀的正四面体骰子(四面点数分别为1,2,3,4),掷出点数的数学期望为(　　)
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
2.一个口袋中有大小相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,从中任取2个球,用X表示取出球的较大号码,则E(X)等于(　　)
A.4 B.5 C.3 D.4.5
3.[2022重庆合川实验中学高二下期中]已知离散型随机变量X服从两点分布,满足P(X=0)=,且P(X=0)A. B. C. D.
4.[2022北师大实验中学高二期末]某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验,若试验失败,则再重新试验1次.若试验3次均失败,则放弃试验.若此人每次试验成功的概率为,则此人试验次数ξ的均值是(　　)
A. B. C. 　 D.
5.已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a b
若E(X)=1,则E(aX+b)=　　　　.
6.李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表:
ξ 1 2 3
P ! !
现让小王同学计算ξ的数学期望,尽管“ ”处的数值完全无法看清,且两个“!”处字迹模糊,但能断定这两个“!”处的数值相同,则E(ξ)=　　　　.
7.[2022福建泉州五中高二月考]某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X(单位:km)的可能取值是20,22,24,26,28,30,它们出现的概率依次是0.1,0.2,0.3,0.1,t,2t.
(1)求X的分布列,并求X的均值.
(2)若网约车计费细则如下:起步价为5元,即行驶路程不超过3 km时,收费5元,行驶路程超过3 km时,则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费.试计算此人一天中出车一次收入的均值.
知识点2　均值的实际应用
8.利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是(　　)
A.A1 B.A2 C.A3 D.A4
9.某企业计划加大技改力度,需更换一台设备,现有两种品牌的设备可供选择,A品牌设备需投入60万元,B品牌设备需投入90万元.企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查,结果如下:
A品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.4 0.3 0.2 0.1
B品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.1 0.3 0.4 0.2
更换设备技改后,每年估计可增加收益100万元,从年均增加收益的角度分析(　　)
A.不更换设备
B.更换为A品牌设备
C.更换为B品牌设备
D.更换为A品牌或B品牌设备均可
10.某厂销售部以箱为单位销售某种零件,每箱的定价为200元,低于100箱按原价销售,不低于100箱则有以下两种优惠方案:
①以100箱为基准,每多50箱送5箱;
②通过双方议价,买方能以优惠8%成交的概率为0.6,以优惠6%成交的概率为0.4.
(1)甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件,两单位都选择方案②,且各自达成的成交价格相互独立,求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率;
(2)某单位需要这种零件650箱,以购买总价的数学期望为决策依据,试问该单位选择哪种优惠方案更划算
11.[2022山东潍坊高三一模]根据国家部署,2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务,成为长期有人照料的国家级太空实验室,支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识,某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动,它由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是:编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程,全部结束后提交评委进行测试,若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中,甲只能正确完成其中6个,乙正确完成每个程序的概率为,每位选手每次编程都互不影响.
(1)求乙闯关成功的概率;
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望,并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.
二、能力提升
1.在某次射击训练中,每人最多射击3次,击中目标即终止射击,第i(i=1,2,3)次击中目标得(4-i)分,3次均未击中目标得0分.已知甲每次击中目标的概率为0.9,各次射击结果互不影响.若甲的得分记为ξ,则随机变量ξ的数学期望为(　　)
A.2.889 B.2.988 C.2 D.2.96
2.[2022安徽名校高二下期末]数轴的原点处有一个质点,每隔一秒向左或向右移动一个单位,向左移动的概率为,向右移动的概率为.设三秒后质点的坐标为ζ,则E(ζ)=(　　)
A. B. C. D.
3.[2023江苏常州八校高三上联考]甲、乙两人进行乒乓球比赛(没有平局),约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为(　　)
A. B. C. D.
4.[2023江苏南师附中高三模考]某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式,该不等式描述的是:对非负随机变量X和任意的正数a,都有P(X≥a)≤f(E(X),a),其中f(E(X),a)是关于数学期望E(X)和a的表达式.由于记忆模糊,该同学只能确定f(E(X),a)的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据自己的理解,确定该形式为(　　)
A.aE(X) B. C. D.
5.体育课的排球项目考试发球的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发球到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的均值E(X)>1.75,则p的值可以为　　　　.(填一个符合题意的值即可)
6.[2022浙江绍兴模考]从0,1,2,3,4五个数字中任取四个组成没有重复数字的四位数,前三位(千、百、十位)中的偶数个数记为随机变量X,则P(X=3)=　　　,E(X)=　　　.
7. [2022“四省八校”高三开学考试]某校高三(2)班第一小组有男生4人,女生2人.为提高中小学生对劳动教育重要性的认识,现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习.学校提供了除草、翻地、播种、浇水四个项目.规定女生等可能地从中选择1个或者2个项目进行劳动学习,男生等可能地从中选择1个或者2个或者3个项目进行劳动学习,每参加1个劳动项目的学习获得10分,求:
(1)在至少有一名女生参加劳动学习的条件下,恰有一名女生参加劳动学习的概率;
(2)记该小组得分为X,求X的均值.
8.在某次投篮测试中,有两种投篮方案:
方案甲:先在A点投篮一次,以后都在B点投篮;
方案乙:始终在B点投篮.
假设每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为,命中一次得3分,没有命中得0分;在B点命中的概率为,命中一次得2分,没有命中得0分.用随机变量ξ表示该选手一次投篮测试的累计得分,如果ξ的值不低于3分,则认为该选手通过测试并停止投篮,否则继续投篮,且一次测试最多投篮3次.
(1)若该选手选择方案甲,求测试结束后得分ξ的分布列和数学期望.
(2)试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大 请说明理由.
9.[2022福建永春二中高二月考]某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,如图.
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用Y(单位:元)的均值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个
参考答案
一、基础巩固
1.B　掷一枚质地均匀的正四面体骰子,掷出点数的可能取值为1,2,3,4,且掷出每种点数的概率均为,则掷出点数的数学期望为(1+2+3+4)×=2.5.
2.A　分析知X的可能取值为2,3,4,5,且P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,所以 X的分布列为
X 2 3 4 5
P
故E(X)=2×+3×+4×+5×=4.
3.C　因为随机变量X服从两点分布,所以P(X=0)+P(X=1)=1,则P(X=1)+=1,解得P(X=1)=或.又P(X=0)4.B　试验次数ξ的可能取值为1,2,3,则P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以E(ξ)=1×+2×+3×.
5.　解析由题意知+a+b=1,即a+b=,所以E(aX+b)=aE(X)+b=a+b=.
6.2　解析设“!”处的数值为x,“ ”处的数值为y,则2x+y=1,E(ξ)=x+2y+3x=4x+2y=2(2x+y)=2.
7.(1)由题意,得0.1+0.2+0.3+0.1+t+2t=1,所以t=0.1,
所以X的分布列为
X 20 22 24 26 28 30
P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
所以E(X)=20×0.1+22×0.2+24×0.3+26×0.1+28×0.1+30×0.2=25.
(2)设此人一天中出车一次的收入为Y元,
则Y=3(X-3)+5=3X-4(X>3,X∈N),
所以E(Y)=E(3X-4)=3E(X)-4=3×25-4=71.
故此人一天中出车一次收入的均值为71元.
8.C　由题意可得A1的平均盈利为50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7(万元),A2的平均盈利为70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5(万元),A3的平均盈利为-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7(万元),A4的平均盈利为98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6(万元).因为A3的平均盈利最大,所以选方案A3.
9.B　设更换为A品牌设备的使用年限为X,则E(X)=2×0.4+3×0.3+4×0.2+5×0.1=3,更换为A品牌设备后的年均增加收益为×(3×100-60)=80(万元).设更换为B品牌设备的使用年限为Y,则E(Y)=2×0.1+3×0.3+4×0.4+5×0.2=3.7,更换为B品牌设备后的年均增加收益为×(3.7×100-90)≈70.3(万元).所以更换为A品牌设备.
10.(1)设事件A=“甲单位的优惠比例低于乙单位的优惠比例”,则P(A)=0.4×0.6=0.24,
=“甲单位的优惠比例不低于乙单位的优惠比例”,所以P()=1-0.24=0.76,
即甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率为0.76.
(2)若选择方案①,由于购买600箱能获赠50箱,所以该单位只需要购买600箱,从而购买总价为200×600=120 000(元).
若选择方案②,设每箱零件的成交价为X元,
则X的可能取值为184,188,X的分布列为
X 184 188
P 0.6 0.4
则E(X)=184×0.6+188×0.4=185.6,
则购买总价的数学期望为185.6×650=120 640(元).
因为120 640>120 000,所以选择方案①更划算.
11.(1)记事件A=“乙闯关成功”,
则P(A)=()2×+()3=.
(2)由题意知随机变量X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
故X的分布列为
所以E(X)=0×+1×+2×+3×.
甲闯关成功的概率为,
因为,所以甲比乙闯关成功的可能性大.
二、能力提升
1.A　ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=0.13=0.001,P(ξ=1)=0.12×0.9=0.009,P(ξ=2)=0.1×0.9=0.09,P(ξ=3)=0.9,故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 0.001 0.009 0.09 0.9
故E(ξ)=0×0.001+1×0.009+2×0.09+3×0.9=2.889.
2.A　ζ的可能取值为-3,-1,1,3.ζ=-3,即质点向左平移3次,则P(ζ=-3)=()3=;ζ=-1,即质点向左平移2次,向右平移1次,则P(ζ=-1)=()2×;ζ=1,即质点向左平移1次,向右平移2次,则P(ζ=1)=×()2=;ζ=3,即质点向右平移3次,则P(ζ=3)=()3=.所以E(ζ)=-3×-1×+1×+3×.故选A.
3.B　由题意知随机变量X的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮,则一轮比赛停止的概率为()2+()2=.若一轮比赛结束时比赛还要继续,则甲、乙在该轮中必是各得1分,此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响,所以P(X=2)=,P(X=4)=,P(X=6)=()2=,所以期望E(X)=2×+4×+6×.故选B.
4.D　设非负随机变量X的可能取值按从小到大依次为x1,x2,…,xi(xi≥0,i∈N*),…,对应的概率分别为p1,p2,…,pi(pi>0),…,设是xi中大于等于a的最小的数,满足xi≥a的为xm,则ka≤m≤n(m∈N*,ka∈N*),P(X≥a)=pi,.因为xm≥a,所以≥1,则()pi≥pi=+P(X≥a)≥P(X≥a).
5.0.25(答案不唯一)　解析由题意知随机变量X的可能取值为1,2,3,且P(X=1)=p,P(X=2)=p(1-p),P(X=3)=(1-p)2,则E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3.因为E(X)>1.75,即p2-3p+3>1.75,解得p>或p<.又06.　 　解析从0,1,2,3,4五个数字中任取四个组成没有重复数字的四位数共有4=96(个).X的可能取值为1,2,3.当X=1时,可将1和3排在千、百、十位中的两个上,再从0,2,4中选两个数字排在剩下的两个数位上,但需排除千位是0的情况,故四位数共有=36-4=32(个).当X=3时,千位只能排2或4,有种排法,百位和十位只能排剩下的两个偶数,有种排法,个位排1或3,有种排法,则四位数共有=8(个).故当X=2时,四位数共有96-32-8=56(个),所以P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以E(X)=1×+2×+3×.
7.(1)设事件A=“至少有一名女生参加劳动学习”,事件B=“恰有一名女生参加劳动学习”,
则P(AB)=,P(A)=.
由条件概率的计算公式得P(B|A)=,
所以在至少有一名女生参加劳动学习的条件下,恰有一名女生参加劳动学习的概率为.
(2)根据题意知一名女生参加劳动学习可获得×10+×20=15(分);一名男生参加劳动学习可获得×10+×20+×30=20(分).
设恰有Y名女生参加劳动学习,则有(2-Y)名男生参加劳动学习.
Y的可能取值为0,1,2,
则P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
则E(Y)=0×+1×+2×.
又X=15Y+20(2-Y)=40-5Y,
所以E(X)=40-5×.
8.(1)设事件M=“在A点投篮命中”,N=“在B点投篮命中”,则=“在A点投篮没有命中”,=“在B点投篮没有命中”,则
P(M)=,P()=1-,P(N)=,P()=1-.
ξ的可能取值为0,2,3,4,则
P(ξ=0)=P( 　 　)=,
P(ξ=2)=P(　N)+P(N)=,
P(ξ=3)=P(M)=,
P(ξ=4)=P(NN)=.
ξ的分布列为
ξ 0 2 3 4
P
所以E(ξ)=0×+2×+3×+4×=3.05.
(2)由(1),知该选手选择方案甲通过测试的概率P1=P(ξ≥3)==0.91,
该选手选择方案乙通过测试的概率P2=2×=0.896,
因为P29.(1)由题意可得,1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,且X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,则
P(X=16)=0.2×0.2=0.04,
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16,
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24,
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24,
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2,
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08,
P(X=22)=0.2×0.2=0.04.
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,
故n的最小值为19.
(3)当n=19时,
E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.
当n=20时,
E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.
可知当n=19时所需费用的均值小于当n=20时所需费用的均值,故应选n=19.