7.2 离散型随机变量及其分布列 同步练习（含解析）

《第二节　离散型随机变量及其分布列》同步练习
一、基础巩固
知识点1　离散型随机变量
1.[2022北京十二中高二下期末]下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是(　　)
①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X1;
②一个沿直线y=2x进行随机运动的质点离坐标原点的距离X2;
③某同学射击3次,命中的次数X3;
④某电子元件的寿命X4.
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
2.袋中有大小相同的红球6个、白球5个,从袋中每次任意取出1个球且不放回,直到取出的球是白球为止,记所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为　　　　　　.
3.[2022广东深圳德琳学校高二期中]甲、乙两班进行足球对抗赛,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共进行三场.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示　　　　　.
知识点2　求离散型随机变量的分布列
4.设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(1)求3X+2的分布列;
(2)求|X-1|的分布列.
5.[2022河南省实验中学高二期中]某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.若η表示经销一件该商品的利润,求η的分布列.
6.为了解城市的空气质量,某市环保局随机抽取了该市一年内100天的空气质量指数(AQI)的相关数据如下表所示:
AQI [0,50] [51,100] [101,150] [151,200] [201,300] 大于300
空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
天数 6 14 18 27 25 10
(1)从空气质量指数属于[0,50],[51,100]的天数中任取3天,求这3天中空气质量等级至少有2天为优的概率;
(2)已知某企业一天的经济损失Y(单位:元)与空气质量指数X的关系式为Y=请写出Y的分布列.
7.唐代饼茶的制作一直延续至今,它的制作由“炙”“碾”“罗”三道工序组成.根据分析,甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是0.5,0.6,0.5;通过“碾”这道工序的概率分别是0.8,0.5,0.4.由于他们平时学习刻苦,都能通过“罗”这道工序.这三道工序通过与否相互没有影响.
(1)求甲、乙、丙三位学徒中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率;
(2)假设只要通过这三道工序就可以制成饼茶,求甲、乙、丙三位学徒中能制成饼茶的人数X的分布列.
知识点3　分布列的性质及其应用
8.[2022江苏徐州睢宁高二下期中]某一随机变量ζ的概率分布如下表,且m+2n=1.2,则n-的值为(　　)
ζ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.2
A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1
9.[2022安徽亳州高二期末]若离散型随机变量ξ的可能取值为1,2,3,…,n,且ξ取每一个值的概率均相同,若P(2<ξ<5)=0.2,则n的值为(　　)
A.4 B.6 C.9 D.10
10.(多选)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=)=ak(k=1,2,3,4,5),则 (　　)
A.a= B.P(<ξ<)=
C.P(<ξ<)= D.P(ξ=1)=
知识点4　两点分布
11.下列选项中的随机变量X不服从两点分布的是(　　)
A.抛掷一枚骰子,所得点数X
B.某射击手射击一次,击中目标的次数X
C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球,3个白球的袋中任取1个球,设X=
D.某医生做一次手术,手术成功的次数X
12.[2022河南省商开大联考高二下期中]设某项试验的成功率是失败率的3倍,若用X表示1次试验成功的次数,则P(X=1)=(　　)
A.0 B. C. D.
13.若离散型随机变量X的分布列如下表,则常数c的值为(　　)
X 0 1
P 9c2-c 3-8c
A. B. C.或 D.以上都不对
二、能力提升
1.[2022黑龙江海伦市第一中学高二下期中]随机变量X的分布列如表,其中a,b,c成等差数列,且ab=c,则P(X≤2)=(　　)
X 1 2 3
P a b c
A. B. C. D.
2.(多选)已知ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取2条,当2条棱相交时,ξ=0;当2条棱平行时,ξ的值为2条棱之间的距离;当2条棱异面时,ξ=1.则(　　)
A.该正方体共有24对相交棱 B.P(ξ=0)=
C.P(ξ=)= D.P(ξ=1)=
3.[2022辽宁省六校协作体高二下联考]设随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4),若P(1≤X4.[2022广东中山高二期末]在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇,只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇数量,则P(ξ≥2)=　　　　.
5.[2022湖南岳阳县一中高三上入学考试]甲、乙两人决定各购置一辆纯电动汽车.经了解,目前市场上销售的主流纯电动汽车按行驶里程数R (单位:km)可分为三类车型.A类:80≤R<150,B类:150≤R<250,C类:R≥250.甲从A,B,C三类车型中挑选,乙从B,C两类车型中挑选,甲,乙二人选择各类车型的概率如下表:
A B C
甲 p q
乙 0
若甲、乙都选C类车型的概率为.
(1)求p,q的值;
(2)求甲、乙选择不同车型的概率;
(3)某市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如下表:
车型 A B C
补贴金额/(万元/辆) 3 4 5
记甲、乙两人购车所获得的补贴和为X万元,求X的分布列.
6.[2022广东广州天河外国语学校高二下期中]已知2件次品和3件正品混放在一起, 现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品, 检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示检测结束时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列.
7.[2022福建三明高二下质检]2022年北京冬奥会设7个大项,15个分项,109个小项,是设项和产生金牌最多的一届冬奥会.某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛,其中初赛有两轮,只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为;乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和;丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别是p和-p,其中p<.
(1)甲、乙、丙三人中,谁进入决赛的可能性最大
(2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为,设进入决赛的人数为ζ,求ζ的分布列.
8.流行性感冒多由病毒引起,科学测定,当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时,有利于病毒存活和传播.下表记录了某年甲、乙两地12个月的空气月平均相对湿度.
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
甲地 54% 39% 46% 54% 56% 67% 64% 66% 78% 72% 72% 59%
乙地 38% 34% 31% 42% 54% 66% 69% 65% 62% 70% a% b%
(1)从上表12个月中,随机取出1个月,求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒存活和传播的概率;
(2)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月,记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒存活和传播的月份的个数为X,求X的分布列;
(3)若a+b=108,设上表中乙地12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M,求M的最大值和最小值.
参考答案
一、基础巩固
1.C
① 半小时内经过的车辆数可以一一列举出来,故①是离散型随机变量.
② 沿直线y=2x进行随机运动的质点在直线上的位置不能一一列举出来,故②不是离散型随机变量.
③ 某同学射击3次,命中的次数可以列举出来,故③是离散型随机变量.
④ 某电子元件的寿命有无限个,且不能一一列举出来,故④不是离散型随机变量.
2.1,2,3,4,5,6,7　解析由于取到白球时停止,所以最少取球次数为1,即第一次就取到了白球;最多次数是7,即把所有的红球取完之后才取到白球.所以取球次数可以是1,2,3,4,5,6,7..
3.甲赢一场输两场或甲、乙平局三场　解析{ξ=3}有两种情况:甲赢一场输两场或甲、乙平局三场.
4.解析(1)由题意,知3X+2=2,5,8,11,14,
则3X+2的分布列为
3X+2 2 5 8 11 14
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)由题意,知|X-1|=0,1,2,3,
则|X-1|的分布列为
|X-1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
5.解析η的可能取值为200,250,300.
P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,
P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,
P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2.
故η的分布列为
η 200 250 300
P 0.4 0.4 0.2
6.(1)设ξ为选取的3天中空气质量等级为优的天数,
则P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=.
(2)由题意可知Y的可能取值为0,220,1 480.
P(Y=0)=P(0≤X≤100)=,
P(Y=220)=P(101≤X≤300)=,
P(Y=1 480)=P(X>300)=,
因此Y的分布列为
Y 0 220 1 480
P
7.(1)设事件A=“甲通过‘炙’这道工序”,B=“乙通过‘炙’这道工序”,C=“丙通过‘炙’这道工序”,
则所求概率P=P(A)+P(B)+P(C)=0.5×(1-0.6)×(1-0.5)+(1-0.5)×0.6×(1-0.5)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.5=0.35.
(2)用R1,R2,R3分别表示甲、乙、丙能制成饼茶,则P(R1)=0.5×0.8=0.4,P(R2)=0.6×0.5=0.3,P(R3)=0.5×0.4=0.2.
由题意,知随机变量X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=(1-0.4)×(1-0.3)×(1-0.2)=0.336,
P(X=1)=0.4×(1-0.3)×(1-0.2)+(1-0.4)×0.3×(1-0.2)+(1-0.4)×(1-0.3)×0.2=0.452,
P(X=2)=0.4×0.3×(1-0.2)+0.4×(1-0.3)×0.2+(1-0.4)×0.3×0.2=0.188,
P(X=3)=0.4×0.3×0.2=0.024.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.336 0.452 0.188 0.024
8.A　依题意解得n=0.5,m=0.2,所以n-=0.4.
9.D　因为P(2<ξ<5)=P(ξ=3)+P(ξ=4)==0.2,所以n=10.
10.AB
11.A　由题意可知B,C,D中的随机变量均服从两点分布,而抛掷一枚骰子,所得点数X的可能取值为1,2,3,4,5,6,所以A中的随机变量不服从两点分布.故选A.
12.D　由已知得X的可能取值为0,1,且P(X=1)=3P(X=0),又P(X=1)+P(X=0)=1,得P(X=1)+P(X=1)=1,所以P(X=1)=.
13.B
二、能力提升
1.A　由已知得解得a=,b=,c=,所以P(X≤2)=a+b=.
2.AC
3.(3,4]　解析因为P(X=i)=(i=1,2,3,4),所以P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.又P(1≤X≤3)=,P(1≤X4.　解析记“笼中还剩下k只果蝇”为事件Ak(k=0,1,2,3,…,6),当事件Ak发生时,共飞走(8-k)只蝇子,第8-k只飞出的是苍蝇,且在前7-k只飞出的蝇子中有1只是苍蝇,所以P(Ak)=,故P(ξ≥2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)=1-P(A0)-P(A1)=1-.
5.(1)由题表中数据及题意,得q=,所以q=.又+p+q=1,所以p=.
(2)设事件M=“甲、乙选择不同车型”,
则P(M)=×1+.
(3)根据题意,X的可能取值为7,8,9,10,
则P(X=7)=,
P(X=8)=,
P(X=9)=,
P(X=10)=,
所以X的分布列为
X 7 8 9 10
P
6.(1)记事件A=“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”, 则P(A)=.
(2)由题意知,随机变量X的可能取值为200,300,400,
则P(X=200)=,P(X=300)=,
则P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-.
故X的分布列为
X 200 300 400
P
7.(1)甲在初赛的两轮中均获胜的概率为P1=;乙在初赛的两轮中均获胜的概率为P2=;丙在初赛的两轮中均获胜的概率为P3=p·(-p)=-p2+p.
因为所以≤p<,
所以P3=-(p-)2+.
所以甲进入决赛的可能性最大.
(2)甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为P1P2P3=×(-p2+p)=,整理得18p2-27p+10=0,解得p=或p=.
又≤p<,所以p=,
所以丙在初赛的两轮中均获胜的概率为P3=.
进入决赛的人数ζ的可能取值为0,1,2,3,
P(ζ=0)=,
P(ζ=1)=,
P(ζ=2)=,
P(ζ=3)=,
ζ的分布列为
ζ 0 1 2 3
P
8.(1)设事件A=“从上表12个月中,随机取出1个月,该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒存活和传播”,Ai(i=1,2,…,12)=“抽取的月份为i月”,
则A=A2∪A6∪A8∪A9∪A10∪A11,P(Ai)=,
所以P(A)=.
(2)在第一季度和第二季度的6个月中,甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒存活和传播的月份只有2月和6月,故X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)由题中表格数据可知乙地前10个月的空气月平均相对湿度从小到大为31%,34%,38%,42%,54%,62%,65%,66%,69%,70%.
不妨假设a≤b,因为a+b=108,当a=b=54时,M=54%.
当a<54,b>54时,若54若b≥62,则M==58%.
所以M的最大值为58%,最小值为54%.