7.4.1 二项分布 同步练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（含解析）

《第四节　二项分布与超几何分布》同步练习
（课时1　二项分布）
一、基础巩固
知识点1　二项分布及其概率计算
1.下列说法正确的个数是(　　)
①某同学投篮的命中率为0.7,他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量,且X~B(10,0.7);
②某福彩中奖概率为p,某人一次买了20张彩票,中奖张数X是一个随机变量,且X~B(20,p);
③从装有大小与质地相同的5个红球、5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,则摸球次数X是随机变量,且X~B(n,).
A.0 B.1 C.2 D.3
2.[2022安徽亳州一中高二期末]已知随机变量X~B(4,),则P(X=2)=(　　)
A. B. C. D.
3.口袋里放有除颜色外其余均相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{an}:an=如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7=3的概率为(　　)
A.()3()4 B.()3()4
C.()5()2 D.()2()5
4.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知沿海某地在某个季节中,每天出现大潮的概率均为,则该地在该季节的任意连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为(　　)
A. B. C. D.
5.[2022山西怀仁一中高二下期中]为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康,有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为,第二轮检测不合格的概率为,两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售,则每件产品获利40元;若产品不能销售,则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品,记一箱产品获利X元,则P(X≥-80)=(　　)
A. B. C. D.
6.福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品,属于福州三宝之一.纸伞的制作工序大致分为三步:第一步削伞架,第二步裱伞面,第三步绘花刷油.已知某工艺师在每个步骤制作合格的概率分别为,,,只有当每个步骤制作都合格才认为制作成功1次.若该工艺师制作4次,其中制作成功的次数为X,求X的分布列.
知识点2　二项分布的均值与方差
7.[2022辽宁大连二十四中高二下期中]接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施.根据实验数据,人在接种某种病毒疫苗后,有80%的可能不会感染这种病毒,若有4人接种了这种疫苗,被感染的人数记为X,则E(X)=(　　)
A. B. C. D.
8.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=,D(X)=,则p=(　　)
A. B. C. D.
9.已知随机变量ζ,η满足2ζ+η=9,且ζ~ B(8,p),E(ζ)=2,则E(η),D(η)分别是(　　)
A.5,3 B.5,6 C.8,3 D.8,6
10.[2022四川省绵阳南山中学高二下期末]某风险投资公司选择了三个投资项目,设每个项目成功的概率都为,且相互之间没有影响,若每个项目成功都获利20万元,失败都亏损5万元,则该公司三个投资项目获利的期望为(　　)
A.30万元 B.22.5万元
C.10万元 D.7.5万元
11.(多选)[2022首都师范大学附属中学高二期末]一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球,现从中有放回地摸取5次,每次随机摸取1个球,设摸得的白球个数为X,黑球个数为Y,则(　　)
A.E(X)>E(Y) B.E(X)=E(Y)
C.D(X)>D(Y) D.D(X)=D(Y)
12.某商场为刺激消费,拟按以下方案进行促销:顾客消费每满500元便得到奖券1张,每张奖券的中奖概率为,且每张奖券是否中奖是相互独立的.若中奖,则商场返回顾客现金100元.某顾客现购买单价为 2 300元的台式电脑一台,得到奖券4张.
(1)设4张奖券中中奖的张数为ξ,求ξ的分布列;
(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位:元),用ξ表示η,并求η的数学期望和方差.
二、能力提升
1.如果X~B(20,),Y~B(20,),那么当X,Y变化时,使P(X=k)=P(Y=r)成立的(k,r)的个数为(　　)
A.21 B.20 C.10 D.0
2.[2022广东云浮高二下期末]已知X~B(n,p),若4P(X=2)=3P(X=3),则p的最大值为(　　)
A. B. C. D.
3.中国古人把宇宙万物划分成金、木、土、水、火五类物质,称为“五行”,并创造了图中外圈顺时针方向相邻的前一物生后一物,内圈五角星线路的前一物克后一物的相生相克理论.依此理论,每次从五行中随机任取两行,重复取10次,若取出的两行为“生”的次数记为X,则E(X)与D(X)的值分别为(　　)
A.1, B.3, C.5, D.7,
4.(多选)某计算机程序每运行一次都会随机出现一个五位二进制数A=(例如10100),其中A的各位数中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,记X=a2+a3+a4+a5,则(　　)
A.X服从二项分布 B.P(X=2)=
C.E(X)= D.D(X)=
5.[2022河南省信阳高级中学高二期中]设随机变量X~B(n,p),记pk=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.在研究pk的最大值时,某兴趣小组的同学发现:若(n+1)p为正整数,则k=(n+1)p时,pk=pk-1,此时这两个概率均为最大值;若(n+1)p为非整数,则k取(n+1)p的整数部分时,pk是唯一的最大值.以此为理论基础,有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时,记录到此时点数1出现5次,若继续再进行80次投掷试验,则当投掷到第100次时,点数1总共出现的次数为　　　　的概率最大.
6.[2022安徽马鞍山一模]某厂生产A,B两种产品,对两种产品的某项指标进行检测.现各抽取100件产品作为样本,其指标值的频率分布直方图如图所示.
以该项指标作为衡量产品质量的标准,该项指标划分等级和收益率(收益率=)如下表,其中等级 一等品 二等品 三等品
指标值m m≥140 120≤m<140 m<120
产品收益率 p 4p2 p2
(1)求a的值.
(2)将频率分布直方图中的频率近似看作概率,用样本估计总体.
①从产品B中随机抽取3件,求其中一等品件数X的分布列及数学期望;
②在总投资额相同的情况下,若全部投资产品A或产品B,试分析投资哪种产品收益更大.
参考答案
一、基础巩固
1.C　由二项分布的概念知①②正确.对于③,X的可能取值为1,2,3,…,n,…,且P(X=1)=,P(X=2)=()2,P(X=3)=()3,…,P(X=n)=()n,…,所以X不服从二项分布,③不正确.故选C.
2.D　因为X~B(4,),所以P(X=2)=()2×(1-)2=.
3.D　由S7=3知,在7次摸球中有2次摸到红球,5次摸到白球.又由题意知,每次摸到红球的概率为,摸到白球的概率为,故S7=3的概率为()2()5.
4.A　记该地在该季节的任意连续三天内出现大潮的天数为X,则X~B(3,),所以至少有两天出现大潮的概率P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=()2×()3=.
5.B　由题意得该产品可以销售的概率为(1-)(1-)=,分析知X的可能取值为-320,-200,-80,40,160,设ξ表示一箱产品中可以销售的件数,则ξ~B(4,),所以P(X=-80)=P(ξ=2)=()2()2=,P(X=40)=P(ξ=3)=()3()1=,P(X=160)=P(ξ=4)=()4()0=,故P(X≥-80)=P(X=-80)+P(X=40)+P(X=160)=.
6.由题意可知,1次制作成功的概率为.
分析知X的可能取值为0,1,2,3,4,X~B(4,),
所以P(X=0)=×()4=,
P(X=1)=×()3=,
P(X=2)=×()2×()2=,
P(X=3)=×()3×,
P(X=4)=×()4=.
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
7.C　人在接种某种病毒疫苗后,有80%的可能不会感染这种病毒,则感染这种病毒的概率为,则X~B(4,),所以E(X)=4×.
8.A　由题意,得解得
9.B　由题意知E(ζ)=8p=2,得p=,所以D(ζ)=8××(1-)=.由2ζ+η=9,得η=-2ζ+9,所以E(η)=-2E(ζ)+9=-2×2+9=5,D(η)=(-2)2D(ζ)=4×=6.
10.B　设该公司投资成功的项目个数为X,则X ~B(3,),所以E(X)=3×,所以公司三个投资项目获利的期望为×(20-5)= 22.5(万元).
11.AD　 有放回地摸取,每次摸取1个球,摸到白球的概率是,摸到黑球的概率是,因此X~B(5,),Y~B(5,),所以E(X)=5×,E(Y)=5×,D(X)=5×,D(Y)=5×.故选AD.
12.(1)因为每张奖券是否中奖是相互独立的,
所以ξ~B(4,),
所以P(ξ=i)=()4(i=0,1,2,3,4),
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
(2)因为ξ~B(4,),
所以E(ξ)=4×=2,D(ξ)=4×=1.
又由题意可知η=2 300-100ξ,
所以E(η)=E(2 300-100ξ)=2 300-100E(ξ)=2 300-100×2=2 100,D(η)=1002D(ξ)=10 000.
二、能力提升
1.A　由题意知P(X=k)=()k()20-k,P(Y=r)=()r()20-r.若P(X=k)=P(Y=r)成立,则20-k=r,即k+r=20,所以(k,r)分别为(0,20),(1,19),(2,18),…,(20,0),共21个,故选A.
2.B　由题意可知n≥3.因为4P(X=2)=3P(X=3),所以4p2(1-p)n-2=3p3(1-p)n-3,整理得4(1-p)=(n-2)p,即p=.又n∈N*,且n≥3,所以p≤.故选B.
3.C　设事件A=“从五行中随机任取两行为‘生’”,则P(A)=.依题意,随机变量X服从二项分布,即X~B(10,),故E(X)=10×=5,D(X)=10×.
4.AC　由二进制数A的特点,知后4位上的数字的填法有5类:①后4位上的数字均为0,则X=0,P(X=0)=()4=;②后4位上的数字中只出现1个1,则X=1,P(X=1)=()1()3=;③后4位上的数字中出现2个1,则X=2,P(X=2)=()2()2=;④后4位上的数字中出现3个1,则X=3,P(X=3)=()3·()1=;⑤后4位上的数字均为1,则X=4,P(X=4)=()4=.由上述可知X~B(4,),故A正确;由③的分析知B错误;E(X)=4×,故C正确;D(X)=4×,故D错误.故选AC.
5.18　解析继续再进行80次投掷试验,出现点数为1的次数X~B(80,),由(n+1)p=81×=13.5,结合题中结论可,k=13时概率最大,即后面80次中出现13次点数1的概率最大.又前面20次中,点数1出现5次,所以当投掷到第100次时,点数1总共出现的次数为18的概率最大.
6.(1)由题可得(0.005+0.010+0.015+0.040+a)×10=1,解得a=0.030.
(2)①由题图知,产品B为一等品的概率是,为二等品的概率是,为三等品的概率是.
由题知X的可能取值是0,1,2,3,且X~B(3,),所以
P(X=0)=()0()3=,
P(X=1)=()1()2=,
P(X=2)=()2()1=,
P(X=3)=()3()0=,
则X的分布列为
所以E(X)=0×+1×+2×+3×.
②由题图可得,产品A为一等品的概率为,为二等品的概率为,为三等品的概率为,
所以产品A的收益E1=p+×4p2+p2=p2+p.
又产品B的收益E2=p+×4p2+p2=p2+p,
所以E2-E1=p2-p=p(5p-2),
因为故投资产品A的收益更大.