7.4.2超几何分布 同步练习（含解析）

《第四节　二项分布与超几何分布》同步练习
（课时2　超几何分布）
一、基础巩固
知识点1　超几何分布及其概率计算
1.(多选)[2022山东邹平一中高二期中]一个袋中有6个同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的黑球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,以下变量中服从超几何分布的是(　　)
A.X表示取出的最大号码
B.X表示取出的最小号码
C.X表示取出的黑球个数
D.取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,X表示取出的4个球的总得分
2.[2022湖北武汉一中高二期中]校团委决定举办“鉴史知来”读书活动,经过选拔,共10名同学的作品被选为优秀作品,其中高一年级5名同学,高二年级5名同学.现从这10个优秀作品中随机抽7个,则高二年级5名同学的作品全被抽出的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.[2022天津一中滨海学校高二期中]在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列.
知识点2　超几何分布的均值与方差
4.(多选)[2022广东汕头高二下段考]在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球,4个白球.现从中任取4个小球,设取出的4个小球中白球的个数为X,则(　　)
A.P(X=1)=
B.随机变量X服从二项分布
C.随机变量X服从超几何分布
D.E(X)=
5.某12人的兴趣小组中,有5名三好学生.现从中任意选6人参加竞赛,用X表示这6人中三好学生的人数,则E(X)=　　　　,D(X)=　　　　.
6.[2022福建南安高二下联考]2022-2023赛季CBA联赛常规赛第二阶段于2022年12月6日起在浙江省诸暨市举行.运动会组织委员会从4名男志愿者、3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长,用X表示抽取的3人中女志愿者的人数,用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数.
(1)求X的分布列、E(X)和D(X);
(2)求D(Y).
知识点3　二项分布中的概率最值问题
7.[2022山东枣庄高二下期末]某人在11次射击中击中目标的次数记为X,且X~B(11,0.8).若P(X=k)最大,则k=(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
8.某一批产品的合格率为95%,那么在取出其中的20件产品中,最有可能有　　　　件合格产品.(用数字作答)
二、能力提升
1.[2023黑龙江牡丹江二中高三上月考]在10个排球中有6个合格品,4个次品,从中随机抽取4个,则抽取的合格品数比次品数少的概率为(　　)
A. B. C. D.
2.孪生素数(素数即质数)猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一,该问题可以直观描述为:存在无穷多个素数p,使得p+2是素数.素数对(p,p+2)称为孪生素数.从8个数对(3,5),(5,7),(7,9),(9,11),(11,13),(13,15),(15,17),
(17,19)中任取3个,设取出的孪生素数的个数为X,则E(X)=(　　)
A. B. C. D.3
3.(多选)[2022北师大实验中学高二期中]为了增强学生的冬奥会知识,弘扬奥林匹克精神,北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况,在北京市中小学中随机抽取了10 所学校,10所学校中了解这个项目的人数如图所示:
若从这10所学校中随机选取2所学校进行科普活动,记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数,则(　　)
A.X的可能取值为0,1,2,3
B.P(X=0)=
C.P(X=1)=
D.E(X)=
4.[2022山东淄博一中高二下期中]一盒中有8个乒乓球,其中6个未使用过,2个已使用过.现从盒中任取3个球用,用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X,则E(X)=　　　　,D(X)=　　　　.
5.[2022江苏启东市汇龙中学高二期中]某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,对该流水线上的产品进行简单随机抽样,获得数据如下表:
包装质量/g (490,495] (495,500] (500,505] (505,510] (510,515]
产品件数 3 4 7 5 1
包装质量(单位:g)在(495,510]内的产品为一等品,其余为二等品.
(1)估计从该流水线任取1件产品为一等品的概率;
(2)从上述抽取的样本产品中任取2件,设X为一等品的产品数量,求X的分布列和数学期望;
(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为一等品的产品数量,求Y的分布列和数学期望.
参考答案
一、基础巩固
1.CD　A,B不符合超几何分布的定义.对于C,D,将黑球视作次品,白球视作正品,则C,D选项中的变量X均服从超几何分布.
2.A　从10个作品中抽7个,用X表示抽到高二年级同学的作品数,则P(X=5)=.
3.(1)样本空间中样本点的总数n==252.
设事件M=“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”,则M包含的样本点的个数m==70.
所以接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率P(M)=.
(2)X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,则X的可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
P(X=4)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
4.ACD　方法一　由题意知随机变量X服从超几何分布,故B错误,C正确;X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×,故A,D正确.故选ACD.
方法二　由题意知随机变量X~h(10,4,4),故B错误,C正确;P(X=1)=,A正确;E(X)=,D正确.故选ACD.
5.　　解析由题意可知X~h(12,5,6),所以E(X)=,D(X)=.
6.(1)由题意知X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×(或E(X)=),
D(X)=(0-)2×+(1-)2×+(2-)2×+(3-)2×.([另解]E(X2)=0×.)
(2)方法一(直接用公式)　由题可知Y的可能取值为0,1,2,3,
则P(Y=0)=P(X=3)=,P(Y=1)=P(X=2)=,
P(Y=2)=P(X=1)=,P(Y=3)=P(X=0)=,
所以E(Y2)=0×+1×+4×+9×,
E(Y)=0×+1×+2×+3×,
所以D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=-()2=.
方法二(变量间的关系)　因为Y=3-X,
所以D(Y)=(-1)2D(X)=D(X)=.
7.C　方法一　因为P(X=k)=pk(1-p)n-k,所以若P(X=k)最大,则化简得np+p-1≤k≤np+p,k∈N.代入已知数值得8.6≤k≤9.6,所以P(X=9)最大.
方法二　因为(11+1)×0.8=9.6,不是整数,所以P(X=9)最大.
8.19　解析方法一　设在取出的20件产品中,合格产品有ξ件,则ξ~B(20,0.95),则恰好有k件产品合格的概率为P(ξ=k)=×0.95k×0.0520-k(0≤k≤20,k∈N).又(1≤k≤20,k∈N),于是当k<19.95时,P(ξ=k-1)19.95时,P(ξ=k-1)>P(ξ=k).综上,在取出的20件产品中,最有可能有19件合格产品.
方法二　设在取出的20件产品中,合格产品有ξ件,则ξ~B(20,0.95),因为(20+1)×0.95=19.95为非整数,所以当ξ取19.95的整数部分,即19时,概率最大,所以最有可能有19件合格产品.
二、能力提升
1.A　抽取的合格品数比次品数少,有两种情况:抽取到0个合格品和4个次品;抽取到1个合格品和3个次品.抽取到0个合格品和4个次品的概率P1=,抽取到1个合格品和3个次品的概率P2=,所以抽取的合格品数比次品数少的概率为 P1+P2=.
2.C　由题意可知,这8个数对中只有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)是孪生素数,则X的可能取值为0,1,2,3,故P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以E(X)=0×+1×+2×+3×.([另解]分析知X~h(8,3,4),则E(X)=.)
3.BC　X 的可能取值为0,1,2.这10所学校中,了解冰壶的人数在30以上的学校有4所,所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以E(X)=0×+1×+2×.故选BC.
4.　　解析X 的可能取值为3,4,5,且P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,所以E(X)=3×+4×+5×),D(X)=(3-)2×+(4-)2×+(5-)2×).
5.(1)样本容量为3+4+7+5+1=20,包装质量在(495,510]内的产品有4+7+5=16(件),故估计从该流水线任取1件产品为一等品的概率P=.
(2)依题意X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,故X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×.
(3)依题意知Y~B(2,),则Y的可能取值为0,1,2,
P(Y=0)=(1-)2=,P(Y=1)=×(1-)=,P(Y=2)=()2=,
故Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以E(Y)=0×+1×+2×).