2022-2023学年高中数学 北师大版（2019）必修第二册 同步试题 第6章 单元测试（含解析）

第六章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021全国甲,文7)在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是(　　)
正视图
2.已知在边长为1的菱形ABCD中,A=,则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为(　　)
A. B.
C. D.
3.(2021全国乙,理5)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A. B. C. D.
4.已知直线l⊥平面α,直线m 平面β,有以下四个命题:
①α∥β l⊥m;②α⊥β l∥m;③l∥m α⊥β;④l⊥m α∥β.
其中正确的命题是(　　)
A.①② B.③④
C.②④ D.①③
5.(2021新高考Ⅰ,3)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为(　　)
A.2 B.2
C.4 D.4
6.《算数书》竹简于20世纪80年代在湖北省张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“禾盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为(　　)
A. B.
C. D.
7.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”,“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命题称为“可换命题”,下列四个命题:
①垂直于同一平面的两直线平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③平行于同一直线的两直线平行;④平行于同一平面的两直线平行.
其中是“可换命题”的是(　　)
A.①③ B.③④ C.①② D.①④
8.已知A,B是球O的球面上的两点,∠AOB=90°,点C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC 体积的最大值为,则球O的表面积为(　　)
A.16π B.36π C.64π D.144π
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题不正确的是(　　)
A.l1⊥l2,l2⊥l3 l1∥l3
B.l1⊥l2,l2∥l3 l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3 l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共点 l1,l2,l3共面
10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是(　　)
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
11.如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,下列结论正确的是(　　)
A.异面直线BD与AC的夹角为90°
B.∠BAC=60°
C.三棱锥D-ABC是正三棱锥
D.平面ADC和平面ABC垂直
12.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则(　　)
A.直线D1D与直线AF垂直
B.直线A1G与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为
D.点C与点G到平面AEF的距离相等
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.如图,已知α∩β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a β,a⊥AB,则直线a与直线l的位置关系是　　　　　　.
14.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,∠BCD=90°,且AB=AD,则AC与平面BCD所成的角是　　　　　.
15.如图,在四面体PABC中,PA=PB=,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC=　　　　　.
16.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为　　　　g.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)在三棱锥A-BCD中,E,H分别是线段AB,AD的中点,F,G分别是线段CB,CD上的点,且.求证:
(1)四边形EFGH是梯形;
(2)AC,EF,GH三条直线相交于同一点.
18.(12分)如图,矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直,MB∥NC,MN⊥MB.
(1)求证:平面AMB∥平面DNC;
(2)若MC⊥CB,求证:BC⊥AC.
19.(12分)《九章算术》是我国古代极为丰富的数学名著,书中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵,将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM-DCP与刍童ABCD-A1B1C1D1的组合体中,∠MAB=90°,AB=AD,A1B1=A1D1.
(1)证明:直线BD⊥平面MAC;
(2)已知AB=1,A1D1=2,MA=,且三棱锥A-A1B1D1的体积V=,求该组合体的体积.
20.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(1)求异面直线AP与BC的夹角的余弦值;
(2)求证:PD⊥平面PBC;
(3)求直线AB与平面PBC所成的角的正弦值.
21.(12分)(2022河南濮阳检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,∠ABC=120°,F为棱BB1上一点,且BF=1,延长线段C1F与CB交于点E,连接AE.
(1)求证:平面AC1E⊥平面CC1E;
(2)求四棱锥C1-AA1B1F的体积.
22.(12分)如图所示,在长方形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点,以AE为折痕,把△DAE折起到△D'AE的位置,且平面D'AE⊥平面ABCE.
(1)求证:AD'⊥BE.
(2)求四棱锥D'-ABCE的体积.
(3)在棱ED'上是否存在一点P,使得D'B∥平面PAC 若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.
答案
1.D　由题意还原该正方体的直观图如图所示,该多面体的三视图中,相应的侧视图为D.
2.D　在菱形ABCD中,AB=1,A=,则菱形的面积为S菱形ABCD=2S△ABD=2××1×1×sin.
所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为S=S菱形ABCD=.
3.D　如图,连接BC1,PC1.
由正方体的性质可得AD1∥BC1,故∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.
设正方体的棱长为1,则BC1=,
C1P=A1C1=.
而BP=,
可得C1P2+BP2=B,故C1P⊥PB.
则在Rt△BPC1中,有sin∠PBC1=,
于是∠PBC1=,
即直线PB与AD1所成的角等于.
4.D　若α∥β,l⊥α,则l⊥β,又m β,所以l⊥m,故①正确;
若α⊥β,l⊥α,m β,则l与m可能平行、相交或异面,所以②不正确;
若l∥m,l⊥α,则m⊥α,又m β,则α⊥β,所以③正确;
若l⊥α,l⊥m,m β,则α与β也可能相交,故④不正确.
综上可知,选D.
5.B　设圆锥底面半径为r1,圆锥侧面展开图半圆所在圆的半径为r2.
图①
图②
由条件得,2πr1=·2πr2,则r2=2r1=2,故该圆锥的母线长为2.
6.D　设圆锥的底面半径为r,则圆锥的底面周长L=2πr,
所以r=,所以V=πr2h=.令L2h,得π=,故选D.
7.A　由垂直于同一直线的两个平面平行知,①是“可换命题”;由垂直于同一平面的两平面未必平行知,②不是“可换命题”;由平行于同一平面的两个平面平行知,③是“可换命题”;由平行于同一平面的两直线未必平行知,④不是“可换命题”.综上所述,故选A.
8.A　如图所示,当点C位于垂直于平面AOB的直径端点时,
三棱锥O-ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO-ABC=VC-AOB=R2×R=R3=,
所以R=2.
因此,球O的表面积为4πR2=16π.
9.ACD　利用常见的图形正方体,从同一个顶点出发的三条棱两两垂直,A错;
因为l1⊥l2,所以l1,l2所成的角是90°,又因为l2∥l3,所以l1,l3所成的角是90°,所以l1⊥l3,B对;
例如三棱柱中的三侧棱平行,但不共面,故C错;
例如三棱锥的三侧棱共点,但不共面,故D错.故选ACD.
10.CD　依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,故A错误;
圆锥的侧面积为πR×R=πR2,故B错误;
球的表面积为4πR2,圆柱的侧面积为4πR2,故C正确;
∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,故D正确.、故选CD.
11.ABC　对于A,由已知条件知BD⊥AD,CD⊥AD,
所以∠BDC即为二面角B-AD-C的平面角,又因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°,即BD⊥CD,因为BD⊥AD,AD∩CD=D,
所以BD⊥平面ACD.因为AC 平面ACD,所以BD⊥AC.
所以异面直线BD与AC的夹角为90°,故选项A正确;
对于B,因为BD⊥AD,CD⊥AD,BD⊥CD,且AD=BD=CD,
所以AB=BC=CA,所以△ABC是等边三角形,可得∠BAC=60°,故选项B正确;
对于C,因为DA=DB=DC,且AB=BC=CA,DA,DB,DC两两垂直,所以D在平面ABC内的投影是△ABC的中心,所以三棱锥D-ABC是正三棱锥,故选项C正确;
对于D,因为三棱锥D-ABC是正三棱锥,所以侧面ADC和底面ABC不垂直,故选项D不正确.
12.BC　因为AD1∥EF,平面AEF即平面AEFD1,易知A1D⊥平面AEFD1,故DD1与AF不垂直,故A错误;
因为A1G∥D1F,A1G 平面AEFD1,D1F 平面AEFD1,所以A1G∥平面AEFD1,故B正确;平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1,易知梯形面积为,故C正确;点G到平面AEF的距离即点A1到面AD1F的距离,显然D错误.故选BC.
13.a∥l　因为EA⊥α,α∩β=l,即l α,
所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB=E,
所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β,a 平面β,所以EB⊥a.
又a⊥AB,EB∩AB=B,
所以a⊥平面EAB,所以a∥l.
14.45°　如图所示,取BD的中点O,连接AO,CO.
因为AB=AD,所以AO⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO 平面ABD,所以AO⊥平面BCD.
因此∠ACO即为AC与平面BCD所成的角.
因为∠BAD=90°=∠BCD,
所以AO=OC=BD.
又AO⊥OC,所以∠ACO=45°.
15.7　取AB的中点E,连接PE,EC.
因为PA=PB,所以PE⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PE 平面PAB,所以PE⊥平面ABC,所以PE⊥CE.因为∠ABC=90°,AC=8,BC=6,所以AB=2,PE=,CE=,PC==7.
16.118.8　由题意得,四棱锥O-EFGH的底面积为4×6-4××2×3=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3 cm,则此四棱锥的体积为V1=×12×3=12(cm3).
又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=4×6×6=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9×132=118.8(g).
17.证明(1)因为E,H分别是边AB,AD的中点,
所以EH∥BD,且EH=BD,
又因为,
即,
所以FG∥BD,且FG=BD,
因此EH∥FG且EH≠FG,
故四边形EFGH是梯形.
(2)由(1)知EF,HG相交,
设EF∩HG=K,
因为K∈EF,EF 平面ABC,
所以K∈平面ABC,
同理K∈平面ACD,
又平面ABC∩平面ACD=AC,
所以K∈AC,
故EF和GH的交点在直线AC上.
所以AC,EF,GH三条直线相交于同一点.
18.证明(1)因为MB∥NC,MB 平面DNC,NC 平面DNC,所以MB∥平面DNC.
因为AMND是矩形,
所以MA∥DN.
又MA 平面DNC,DN 平面DNC,
所以MA∥平面DNC.
又MA∩MB=M,且MA,MB 平面AMB,
所以平面AMB∥平面DNC.
(2)因为AMND是矩形,
所以AM⊥MN.
因为平面AMND⊥平面MBCN,且平面AMND∩平面MBCN=MN,
所以AM⊥平面MBCN.
因为BC 平面MBCN,
所以AM⊥BC.
因为MC⊥BC,MC∩AM=M,
所以BC⊥平面AMC,
因为AC 平面AMC,
所以BC⊥AC.
19.(1)证明由题意可知,三棱柱ABM-DCP是底面为直角三角形且侧棱与底面垂直的棱柱,
所以AD⊥平面MAB,则AD⊥MA.
又MA⊥AB,AD∩AB=A,AD,AB 平面ABCD,
所以MA⊥平面ABCD,所以MA⊥BD.
又AB=AD,
所以四边形ABCD为正方形,得BD⊥AC.
又MA∩AC=A,MA,AC 平面MAC,
则BD⊥平面MAC.
(2)解设刍童ABCD-A1B1C1D1的高为h,则三棱锥A-A1B1D1的体积V=×2×2×h=,得h=.
故该组合体的体积V=×1××1+(12+22+)×.
20.(1)解由已知AD∥BC,
故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC的夹角.
∵AD⊥平面PDC,PD 平面PDC,
∴AD⊥PD.
在Rt△PDA中,
由已知得AP=,
故cos∠DAP=,
∴异面直线AP与BC的夹角的余弦值为.
(2)证明∵AD⊥PD,BC∥AD,
∴PD⊥BC.
又PD⊥PB,BC∩PB=B,BC,PB 平面PBC,
∴PD⊥平面PBC.
(3)解过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
∵PD⊥平面PBC,
故PF为DF在平面PBC上的投影,
∴∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD∥BC,DF∥AB,
可得BF=AD=1.
由已知,得CF=BC-BF=2.
又AD⊥DC,
∴BC⊥DC.
在Rt△DCF中,
可得DF==2.
在Rt△DPF中,
可得sin∠DFP=,
∴直线AB与平面PBC所成的角的正弦值为.
21.(1)证明由已知可得B1F=2BF,△B1C1F∽△BEF,
所以BE=.
因为∠ABC=120°,
所以∠ABE=60°.
在△ABE中,由余弦定理,可得AE=,
所以AB2=AE2+BE2,
即AE⊥CE.
因为CC1⊥平面ABC,AE 平面ABC,
所以CC1⊥AE.
因为CE∩CC1=C,
所以AE⊥平面CC1E.
又AE 平面AC1E,
所以平面AC1E⊥平面CC1E.
(2)解因为四边形AA1B1F为直角梯形,
所以×A1B1=.
如图,过C1作C1D⊥A1B1交A1B1的延长线于D.
因为AA1⊥平面A1B1C1,
所以AA1⊥C1D.
因为AA1∩A1B1=A1,
所以C1D⊥平面AA1B1F.
又C1D=B1C1×sin 60°=,
所以四棱锥C1-AA1B1F的体积为×C1D=.
22.(1)证明根据题意可知,在长方形ABCD中,△DAE和△CBE均为等腰直角三角形,
∴∠DEA=∠CEB=45°,
∴∠AEB=90°,即BE⊥AE.
∵平面D'AE⊥平面ABCE,且平面D'AE∩平面ABCE=AE,BE 平面ABCE,
∴BE⊥平面D'AE,
∵AD' 平面D'AE,
∴AD'⊥BE.
(2)解如图所示,取AE的中点F,连接D'F,
则D'F⊥AE,且D'F=.
∵平面D'AE⊥平面ABCE,
且平面D'AE∩平面ABCE=AE,D'F 平面D'AE,
∴D'F⊥平面ABCE,
∴VD'-ABCE=S四边形ABCE×D'F=×(1+2)×1×.
(3)解连接AC交BE于Q,
假设在ED'上存在点P,
使得D'B∥平面PAC,连接PQ.
∵D'B 平面D'BE,平面D'BE∩平面PAC=PQ,
∴D'B∥PQ,
∴在△EBD'中,.
∵△CEQ ∽△ABQ,
∴,∴,
即EP=ED',
∴在棱ED'上存在一点P,且EP=ED',