北师大版（2019）必修第二册 同步试题 第6章 6-1 柱、锥、台的侧面展开与面积（含解析）

6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积
必备知识基础练
1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,当底面边长为a时,该三棱锥的表面积是(　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
2.若圆台的高为3,一个底面半径是另一个底面半径的2倍,其轴截面的一个底角为45°,则这个圆台的侧面积是(　　)
A.27π B.27π
C.9π D.36π
3.(多选)等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为(　　)
A.π B.(1+)π
C.2π D.2+π
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(　　)
A.1∶1 B.1∶ C.1∶ D.1∶2
5.如图,底面为菱形的直棱柱ABCD-A1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积分别为6和8,则棱柱的侧面积为　　　　　.
6.一个圆台的母线长为12 cm,两底面积分别为4π cm2和25π cm2,则圆台的高为　　　　　cm;截得此圆台的圆锥的母线长为　　　　　 cm.
关键能力提升练
7.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开,得到一个圆心角为的扇形,则该圆锥的轴截面的面积为(　　)
A.18 B.18 C.12 D.24
8.鲁班锁(也称孔明锁、难人木)起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装,如图①,这是一种常见的鲁班锁玩具,图②是该鲁班锁玩具的直观图.已知该鲁班锁玩具每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为(　　)
图①
图②
A.8(6+6) B.6+8
C.8(6+6) D.6(8+8)
9.在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40 cm,母线最长为80 cm,最短为50 cm,则斜截圆柱的侧面积S=　　　　　cm2.
10.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,D,E是CC1,BC的中点,AE=DE.求:
(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长;
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.
学科素养创新练
11.如图,AB是圆柱的底面直径,PA是圆柱的母线,且AB=PA=2,点C是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积;
(2)若AC=1,D是PB的中点,点E在线段PA上,求CE+ED的最小值.
答案
1.A　因为正三棱锥的侧面为等腰直角三角形,所以斜高h'=,所以S侧面积=a××3=a2,S底面积=a×a×a2,所以S表面积=a2+a2=a2.
2.B　设圆台上底半径为r1,下底半径为r2,母线长为l,如图所示,
2r2=2r1+6=4r1,所以r1=3,r2=6.S圆台侧=π(r1+r2)l=π(3+6)×3=27π.
3.AB　若绕一条直角边旋转一周时,则圆锥的底面半径为1,高为1,所以母线长l=,
这时表面积为π×1×l+π×12=(1+)π;
若绕斜边旋转一周时旋转体由两个圆锥组合而成,且由题意底面半径为,圆锥的母线长为1,所以表面积S=2π××1=π.
故选AB.
4.C　设正方体棱长为a,由题意知,三棱锥的各面都是正三角形,
所以该正三角形的边长为a,则表面积为4=4××(a)2×=2a2.
因为正方体的表面积为6a2,
所以三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为2a2∶6a2=1∶.
5.20　设底面边长为x,高为h,则有AC=,BD=.
∵底面ABCD为菱形,∴AC与BD互相垂直平分,
∴x2=,∴x=,∴S侧=4xh=4××h=20.
6.3　20　圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,如图所示.
由已知可得上底半径O1A=2 cm,下底半径OB=5 cm,
又腰长为母线长是AB=12 cm,
所以高AM==
3(cm).
设截得此圆台的圆锥的母线长为l,
则由△SAO1∽△SBO,可得,解得l=20(cm).
7.B　设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,则πr2+πrl=36π,化为r2+rl=36,2πr=l·,可得l=3r,解得r=3,l=9,h==6.该圆锥轴截面的面积为×2r×h=rh=3×6=18.
8.A　由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2 的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则该几何体的表面积为S=6×(2+2)2-4×+8××2×2=8(6+6).故选A.
9.2 600π　如图,假设还有一个同样的斜截圆柱,
拼在其上面,则构成了一个圆柱,于是S=S圆柱侧=×40π×(80+50)=2 600π(cm2).
10.解(1)由题意可得,BE=EC=1,DE=AE=2×sin 60°=,根据正三棱柱的定义可得CC1⊥平面ABC.
又BC 平面ABC,
所以CC1⊥BC,
故在Rt△ECD中,CD=.
所以正三棱柱的侧棱长为2.
(2)S底面积=2S△ABC=2××2×=2,S侧面积=3=3×2×2=12.
所以S表面积=S侧面积+S底面积=12+2.
11.解(1)由题意得,圆柱的底面半径为1,高为2,所以圆柱的侧面积为2π×1×2=4π.
(2)
将△PAC绕PA所在直线旋转到△PAC'的位置,使其与平面PAB共面,且C'在AB的反向延长线上.此时C'D与PA的交点即为使CE+ED取得最小值的点E的位置.
∵PA=AB=2,
∴∠PBA=,BD=BP=.
又BC'=BA+AC'=2+1=3,
∴在△C'BD中,由余弦定理得
C'D=,