高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第6章 6-3　球的表面积和体积（含解析）

6.3　球的表面积和体积
必备知识基础练
1.如图,该球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,若球O的体积为,则圆柱O1O2的表面积为(　　)
A.4π B.5π
C.6π D.7π
2.已知正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6,则该棱柱外接球的表面积为(　　)
A.21π B.42π C.84π D.84
3.若长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为　　　　　.
4.已知三个球的半径分别为R1,R2,R3,且满足R1+2R2=3R3,则它们相应的表面积S1,S2,S3满足的等量关系是　　　　　,它们相应的体积V1,V2,V3满足的等量关系是　　　　　.
关键能力提升练
5.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上,如果正四棱柱的底面边长为2 cm,那么该棱柱的表面积为(　　)
A.2+4 cm2 B.8+16 cm2
C.4+8 cm2 D.16+32 cm2
6.已知一个几何体的三视图如图,则其外接球的体积为(　　)
A.18π B.27π C.36π D.45π
7.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.意思是:球的体积V乘16,除以9,再开立方,即为球的直径d,由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为(　　)
A.S=d2 B.S=d2
C.S=d2 D.S=d2
学科素养创新练
8.(2022山东淄博期末)已知在圆锥SO中,底面☉O的直径AB=6,△SAB的面积为12.
(1)求圆锥SO的表面积;
(2)若球O1内切于圆锥SO,用一个与圆锥SO的底面平行且与球O1相切(切点O2)的平面截圆锥SO得圆台O2O,求球O1的体积和圆台O2O的体积之比.
答案
1.C　由球O的体积V=πr3=,
可得球的半径r=1,
所以底面圆的半径为1,圆柱的高为2r=2,
所以圆柱O1O2的表面积为2πr2+2πr·2r=6πr2=6π.
2.C　如图,
M,N为上下底面正三角形的中心,O为MN的中点,即外接球球心.因为正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6,AM==2,OM=3,外接球半径R=OA=,该棱柱外接球的表面积为S=4π×()2=84π.
3.14π　球的直径是长方体的体对角线,所以2R=,
所以球O的表面积为S=4πR2=14π.
4.+2=3+2=3　因为S1=4π,所以R1=,同理可得R2=,R3=.由R1+2R2=3R3,得+2=3.
由V1=,得R1=.
同理可得R2=,R3=.
由R1+2R2=3R3,得+2=3.
5.B　设正四棱柱的高为h,则由题意及球的性质可得,=2R=4,所以h=2(cm),所以该棱柱的表面积为2×22+4×2×2=8+16(cm2),故选B.
6.C　根据三视图还原原几何体,如图所示:
由图可知,该几何体为三棱锥A-BCD,且AB⊥平面BCD,
将三棱锥A-BCD补成长方体AEFG-BCDH,
所以,三棱锥A-BCD的外接球直径为2R==6,故R=3,
因此,该几何体的外接球的体积为V=πR3=36π.
7.A　因为=d,所以V=3,
所以π=,所以S=4π2=4×d2.
故选A.
8.解(1)设圆锥SO的母线长为l,底面☉O的直径为2r,
所以2r=6.
因为△SAB的面积为12,
所以S△SAB=·2r×SO=12,
解得SO=4.
由勾股定理得l==5,
由圆锥的表面积公式得S表=S侧+S底=πrl+πr2=15π+9π=24π.
(2)作圆锥的轴截面,如图.
因为球O1内切于圆锥SO,
所以O1H⊥SB,
所以△SO1H∽△SBO,
设球O1的半径为r',
则,
即,解得r'=,
所以球O1的体积为πr'3=,
由题知,△SO2D∽△SOB,
所以,
即,
解得O2D=,
所以圆O2的面积S'=π2=π.
又圆O的面积S=π×32=9π,圆台的高记为h,
所以h=2r'=3.
由圆台的体积公式有(S+S'+)h=9π+π+·3=π,