第二章 平面解析几何
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一、直线的倾斜角与斜率
1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围0°≤α<180°，熟记斜率公式k＝(x2≠x1)，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x1≠x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线的斜率，当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
2．在分析直线的倾斜角与斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的增区间，当α的取值在此区间内由0增大到时，k由0增大到＋∞；当α∈时，k也是关于α的单调递增函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k由－∞增大到0(α≠0)．当然，解决此类题时，也可利用数形结合思想，借助图形，直观地作出判断．
3．要正确运用直线的方向向量和法向量，首先，一条直线的方向向量与法向量互相垂直，其次由方向向量或法向量可得到直线的斜率，即若a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则u＝0时，斜率不存在；u≠0时，斜率k＝.
二、直线的几种方程及比较
名称 方程 常数的几何意义 适用条件
点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴
斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴
两点式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴
截距式 ＋＝1 a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) A，B，C为系数 任何情况
特殊直线 x＝a(y轴：x＝0) 垂直于x轴且过点(a,0) 斜率不存在
y＝b(x轴：y＝0) 垂直于y轴且过点(0，b) 斜率k＝0
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．
三、两直线的平行与垂直
直线方程 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行的等价条件 l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2 l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0
垂直的等价条件 l1⊥l2 k1·k2＝－1 l1⊥l2 A1A2＋B2B1＝0
由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程．结合方向向量和法向量，与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋C1＝0，与l垂直的直线可设为Bx－Ay＋C2＝0.
四、距离问题
类型 已知条件 公式
两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) d＝
点到直线的距离 P(x0，y0)l：Ax＋By＋C＝0 d＝
两条平行直线间的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0) d＝
学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合．
五、圆的方程
1．圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
2．由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆．
3．求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程．
六、点与圆的位置关系
1．点在圆上
(1)如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上．
(2)如果点到圆心的距离等于圆的半径，那么点在圆上．
2．点不在圆上
(1)若点的坐标满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F>0，则该点在圆外；若满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F<0，则该点在圆内．
(2)点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内．
注意：若点P是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：dmax＝|PC|＋r；最小距离：dmin＝|PC|－r.
七、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断交点的个数)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断)．
(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．
(2)当直线与圆相交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．
(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线．
①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．
(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数．
八、圆与圆的位置关系
两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断，即根据交点的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径r，R的和、差的大小关系来判断)．
(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长．
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
九、求轨迹方程的几种常用方法
1．直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．
2．代入法：利用所求曲线上的动点与某已知曲线上的一动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点坐标满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．
3．定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
4．参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．
用参数求轨迹方程的关键在于选择适当的参数，其选择原则是：
(1)动点的运动是随着参数的变化而变化的，即参数能反映动点的变化特征；
(2)参数与题设的已知量有密切的联系．常用的参数有物理参数(时间、速度、位移)和几何参数(角度、有向线段的数量、斜率、点坐标)等．
十、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
椭圆 双曲线 抛物线
定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹 平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)的距离相等的点的轨迹
标准方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0)
关系式 a2－b2＝c2 a2＋b2＝c2 —
图形 封闭图形 无限延展，有渐近线 无限延展，没有渐近线
对称性 对称中心为原点 无对称中心
两条对称轴 一条对称轴
顶点 四个 两个 一个
离心率 0
1 e＝1
准线方程 — — x＝－
决定形状的因素 e决定扁平程度 e决定开口大小 2p决定开口大小
十一、待定系数法求圆锥曲线的标准方程
1．椭圆、双曲线的标准方程
求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上；双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当A<0时，焦点在y轴上，当B<0时，焦点在x轴上．
另外，在求双曲线的标准方程的过程中，根据不同的已知条件采取相应方法设方程，常常可以简化解题过程，避免出错．如：与已知双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)．
2．抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将焦点在x轴或y轴上的抛物线方程设为一般形式y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值．
十二、求离心率的方法
1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数．这是基本且常用的方法．
2．方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率．这是求离心率的十分重要的思路及方法．
3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
十三、直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有Δ>0 直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0 直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0 直线与圆锥曲线无交点．
2．直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝
或 ，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．
学科思想培优
一、直线方程几种形式的应用
直线方程的几种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用几种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．
[典例1] 直线l过点(2,1)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．
[解] 设直线l的横截距为a，则它的纵截距为6－a，由于直线l在两轴上的截距都不为0，
故直线l的方程为＋＝1.
因为点(2,1)在该直线上，所以＋＝1，
即a2－7a＋12＝0.所以a＝4或a＝3.
当a＝4时，直线l的方程为＋＝1，
即x＋2y－4＝0，经过一、二、四象限；
当a＝3时，直线l的方程为＋＝1，
即x＋y－3＝0，也经过第一、二、四象限．
综上可知，所求直线l的方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
选择合适的直线方程形式写直线方程可减少运算量，但要注意所选形式的适用条件，注意讨论特殊情况．
二、直线的平行与垂直问题
考查两条直线的平行与垂直关系时，通常有两种方式可以选择：一是直线方程以斜截式给出，此时可通过斜率和直线在y轴上的截距处理；二是直线方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在y轴上的截距处理，也可直接利用系数处理．考查的题目常有求直线方程，直接用平行与垂直求未知系数、对称问题、过定点问题等，题型则以选择题、填空题居多，属容易题．解答此类问题时始终以平行与垂直对方程系数的要求为切入点．
[典例2] 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值：
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
[解] (1)∵l1⊥l2，
∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.
即a2－a－b＝0，①
又点(－3，－1)在l1上，
∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，
∴l1的斜率也存在，且＝1－a，即b＝.
故l1和l2的方程可分别表示为
l1：(a－1)x＋y＋＝0，
l2：(a－1)x＋y＋＝0.
∵原点到l1与l2的距离相等，
∴4||＝||，
解得a＝2或a＝.
因此或
两条直线的平行与垂直一般从斜率入手分析，注意讨论斜率不存在的情况．
三、有关直线的对称问题
在解析几何中，经常遇到对称问题，对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称．
1 中心对称
(1)两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1,2b－y1)，也即P为线段P1P2的中点；特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y)．
(2)两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于P对称的点在另外一条直线上，并且l1∥l2，P到l1，l2的距离相等．
2 轴对称
(1)两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上，解这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程．
(2)两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称．
①当三条直线l1，l2，l共点时，l上任意一点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；
②当l1∥l2∥l时，l1到l的距离等于l2到l的距离．
[典例3] 已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．
[解] (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，
则点P，P′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即解得
∴P′坐标为(－2,7)．
(2)解法一：设直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l1上任一点P1(x1，y1)关于l的对称点P2(x2，y2)一定在l2上，反之也成立．
则
解得
把(x1，y1)代入y＝x－2，
整理得7x2＋y2＋22＝0，
∴直线l2的方程为7x＋y＋22＝0.
解法二：因为直线l：y＝3x＋3与直线y＝x－2相交，且交点为.在直线y＝x－2上取点B(0，－2)，则点B关于直线l：y＝3x＋3的对称点为B′(－3，－1)，所以直线y＝x－2关于l的对称直线经过点及B′(－3，－1)，由两点式得所求直线方程为7x＋y＋22＝0.
(3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l′，
由于l∥l′，故可设l′为y′＝3x′＋b(b≠3)．
由点到直线的距离公式得
＝，
即|b＋7|＝10，解得b＝－17或b＝3(舍去)．
∴直线l′的方程为y′＝3x′－17，
即对称直线的方程为3x－y－17＝0.
解决直线中点、直线对称问题的关键是用好垂直和平分，另外要注意特殊点的运用．
四、圆的几何性质的运用
圆是一种特殊图形，既是中心对称图形又是轴对称图形，圆心是对称中心，任意一条直径所在的直线是对称轴．圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等等．
[典例4] 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．
[解] 易知圆心C(－2,6)，半径R＝4，如图所示，|AB|＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，|AD|＝2，
又|AC|＝4，
所以在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离公式，得
＝2，解得k＝，
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时直线l的方程为x＝0.
所以所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(1)充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．
(2)对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路．
五、数形结合思想的运用
数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考查的思想，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究，简而言之，就是“数形相互取长补短”．
[典例5] 已知在矩形ABCD中，A(－4,4)，D(5,7)，其对角线的交点E在第一象限内且与y轴的距离为一个单位，动点P(x，y)沿矩形一边BC运动，则的取值范围是( )
A.
B.
C.∪
D．无法确定
[解析] 如图，由题意设E(1，y0)(y0>0)，
则由|AE|＝|DE|得
＝，解得y0＝4.
由中点坐标公式得B(－3,1)，C(6,4)，
∵点P(x，y)在BC上运动，∴＝kOP.
由图知kOP≥kOC或kOP≤kOB，
∵kOC＝，kOB＝－，
∴≥或≤－，点P在直线BC与y轴的交点时，不存在，∴∈∪.
[答案] C
(1)利用类比、联想、化归的思想是解决此题的突破口，即将代数式恒等变换为，联想斜率的坐标公式，问题就转化为求过原点且与线段BC相交的直线斜率问题，此法直观简捷，充分体现了“数形结合”思想的优越性．
(2)结合直线方程也可以用解方程组求解，也可以用函数的思想求解．
六、圆锥曲线的定义、方程及性质
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如：
(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．
[典例6] (1)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，如果在椭圆上有一点Q，使∠F1QF2＝60°，试求椭圆的离心率的取值范围；
(2) 如图所示，直线l1与l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
[解] (1)解法一：设|QF1|＝m，|QF2|＝n，
则由椭圆的定义知m＋n＝2a.
在△F1QF2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝|QF1|2＋|QF2|2－2·|QF1|·|QF2|·cos60°.
∴4c2＝m2＋n2－mn.①
由m＋n＝2a两边平方得
4a2＝m2＋n2＋2mn，②
由②－①得4a2－4c2＝3mn，
∵m>0，n>0，且m＋n＝2a，
∴mn≤2＝a2(当且仅当m＝n时等号成立)．
∴4a2－4c2＝3mn≤3a2.
∴a2≤4c2，≥.
∴e2≥.
∵0故椭圆的离心率的取值范围为e∈.
解法二：设椭圆与y轴相交的上顶点为B，坐标原点为O，则不难看出∠F1BF2≥∠F1QF2＝60°，
∴∠F1BO≥30°.
∴∠BF1O≤60°.
故e＝＝＝cos∠BF1O≥.
∵0(2)以M为坐标原点，l1为x轴，l2为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E，D，F.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，N(xN，0)．依题意有xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，yA＝|DM|＝＝2.
∵△AMN是锐角三角形，
∴xN＝|ME|＋|EN|
＝|ME|＋＝4，
xB＝|BF|＝|BN|＝6.
设P(x，y)是曲线段C上任一点，
则P∈{(x，y)|(x－xN)2＋y2＝x2，xA≤x≤xB，y>0}．∴曲线段C的方程为y2＝8(x－2)(3≤x≤6，y>0)．
(1)求离心率的范围问题是圆锥曲线中求范围问题的重点内容之一，其主要解题思路是：利用圆锥曲线的几何性质以及定义构造出含a，b，c或e的不等式或数量关系式，再利用函数或不等式的知识求结果．
(2)①解决轨迹问题要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化情况的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，注意将动点的几何特性用数学语言表述．
②要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．
七、直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系综合题，往往因综合性强，难度偏大，从而使很多同学遇到圆锥曲线题后感到无从下手，因此有些同学选择对其置之不理，先将其他题目完成后再做圆锥曲线题(考试过程中)，这样一由于时间紧张，二由于无从下手，三由于运算量大，有些同学不得不放弃，从而造成遗憾．实际上直线与圆锥曲线综合题的求解是有一定的规律可循的，如下规律不妨试一试，共分六步，每步都有一定的步骤得分，因此要求步骤要全且规范，争取做到能得分且得分．
(1)引参，设直线或圆锥曲线的方程，并设出直线与圆锥曲线的交点坐标，如A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(2)将直线的方程与圆锥曲线的方程联立得方程组，消去y(或x)得到关于x(或y)的方程f(x)＝0(或f(y)＝0)．此方程可能是一元二次方程，也可能是二次项系数含参的一元二次方程(这种情况应注意对二次项系数的讨论)，然后列出Δ>0及根与系数的关系．
(3)试用A(x1，y1)与B(x2，y2)的坐标x1，y1，x2，y2表示题中条件，得条件式(*)．
(4)利用点A，B在直线上，将条件式(*)中坐标进行统一，都转化为关于x1，x2(或y1，y2)的条件式(*)′.
(5)应用根与系数的关系整体代入条件(*)′，求出参数或其他．
(6)与Δ>0联系验证求解结果或其他．
[典例7] 圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形的面积最小时，切点为P(如图)．
(1)求点P的坐标；
(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y＝x＋交于A，B两点．若△PAB的面积为2，求椭圆C的标准方程．
[解] (1)设切点坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形的面积为S＝··＝.
由x＋y＝4≥2x0y0知当且仅当x0＝y0＝时x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)．
(2)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由点P在椭圆C上知＋＝1，并由得b2x2＋4x＋6－2b2＝0，又x1，x2是该方程的根，因此由y1＝x1＋，y2＝x2＋，得|AB|＝|x1－x2|＝·.
由点P到直线l的距离为及S△PAB＝××|AB|＝2得b4－9b2＋18＝0，解得b2＝6或b2＝3，因此b2＝6，a2＝3(舍去)或b2＝3，a2＝6.从而所求椭圆C的方程为＋＝1.
求解二元最值问题的基本方法之一是基本不等式法，此时需要知道变量满足的关系式(本题中为x＋y＝4)；求解圆锥曲线方程的基本方法之一是待定系数法，即得出圆锥曲线方程中的系数满足的方程或者方程组，求解即可．
八、圆锥曲线中的定点与定值问题
解决定点与定值问题应灵活应用已知条件巧设变量，在变形过程中要注意各变量之间的关系，善于捕捉题目信息，注意消元思想的应用．
[典例8] 已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．
(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．
[解] (1)因为焦距为1，所以2a2－1＝，
解得a2＝.
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)证明：设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝.
由题意知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝，
直线F2P的斜率kF2P＝.
故直线F2P的方程为y＝(x－c)．
当x＝0时，y＝，即点Q的坐标为.
因此直线F1Q的斜率kF1Q＝.
由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝·＝－1.
化简得y＝x－(2a2－1)． ①
因为点P在椭圆E上，所以＋＝1. ②
联立①②，因为点P(x0，y0)在第一象限，
解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上．
定点与定值问题是高考的热点之一，考生在做题时应灵活应用已知条件，善于寻找题目中的隐含信息．
九、圆锥曲线中的最值(或范围)问题
1 最值问题的求解方法
(1)建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．
(2)建立不等式模型，利用基本不等式求最值．
(3)数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．
2 求参数范围的常用方法
[典例9] 已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
[解] (1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，
其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，
解得t＝－.
又x＋2y＝4，所以
|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2
＝2＋(y0－2)2
＝x＋y＋＋4
＝x＋＋＋4
＝＋＋4(0因为＋≥4(0故线段AB长度的最小值为2.
解析几何中求解最值问题的基本方法之一是函数方法，即建立求解目标的函数关系(自变量可以是直线的斜率、点的横坐标等)，然后通过研究函数的性质得出函数的最值．
十、圆锥曲线中的存在性问题
1 解决存在性问题的关注点
求解存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设结论成立，再推出条件．
2 存在性问题的解题步骤
[典例10] 如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)由P在椭圆上，得
＋＝1，①
依题意知a＝2c，则b2＝3c2，②
②代入①，解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)解法一：由题意可设AB的斜率为k，
则直线AB的方程为y＝k(x－1)，③
代入椭圆方程3x2＋4y2＝12，并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
x1＋x2＝，x1x2＝，④
在方程③中令x＝4，得M的坐标为(4,3k)．
从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.
因为A，F，B共线，所以有k＝kAF＝kBF，
即＝＝k.
所以k1＋k2＝＋
＝＋－
＝2k－·，⑤
④代入⑤，得
k1＋k2＝2k－·＝2k－1，
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3.
故存在常数λ＝2符合题意．
解法二：设B(x0，y0)(x0≠1)，
则直线FB的方程为y＝(x－1)，
令x＝4，得M，
从而直线PM的斜率为k3＝，
联立得A，
则直线PA的斜率为k1＝，直线PB的斜率为k2＝，
所以k1＋k2＝＋
＝＝2k3，
故存在常数λ＝2符合题意．
本题(1)中仔细审题，找到a，b，c的关系即可求解．(2)中两种思路各有千秋，由于引入的参变量不同，导致解题思路不同，这就要求考生在解题时要学会恰当地引入参变量以简化解题过程．
12.8 直线与圆锥曲线的位置关系
(教师独具内容)
课程标准：1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系，并掌握判断方法.2.掌握直线与圆锥曲线相交时弦长的计算，弦的中点以及与之相关的问题等．
学法指导：通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，能用坐标法解决直线与圆锥曲线有关的问题，体会数形结合思想．
教学重点：直线与圆锥曲线的位置关系及直线与圆锥曲线相交时弦长、弦中点等问题．
教学难点：直线与圆锥曲线的综合问题.
我们知道，通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的问题．那么，在平面直角坐标系中我们可以通过方程组的解的问题来探讨直线与圆锥曲线的位置关系吗？
知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系
(1)判断方法
①代数法：将问题转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数问题，进而转化为一元二次(或一次)方程解的情况去研究．
ax2＋bx＋c＝0.
方程特征 交点个数 位置关系
直线与椭圆 a≠0，Δ>0 2 相交
a≠0，Δ＝0 1 相切
a≠0，Δ<0 0 相离
直线与双曲线 a＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行且两者相交
a≠0，Δ>0 2 相交
a≠0，Δ＝0 1 相切
a≠0，Δ<0 0 相离
直线与抛物线 a＝0 1 直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交
a≠0，Δ>0 2 相交
a≠0，Δ＝0 1 相切
a≠0，Δ<0 0 相离
②几何法：这种用数形结合的方法可以迅速判断某些直线与圆锥曲线的位置关系．尤其是在解决有关直线与双曲线的位置关系问题时，灵活利用直线与渐近线的位置关系可以快速解题．
(2)直线与圆锥曲线相切：一般地，给定直线l与圆锥曲线C(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解(即有两个相等的实数解)，则称直线与圆锥曲线相切.
(3)直线与椭圆只有一个公共点是直线与该椭圆相切的充要条件；但直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点不是直线与它们相切的充分条件．
知识点二 直线与圆锥曲线相交的弦长问题
(1)一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段.
(2)设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝ |x1－x2|
＝
＝ |y1－y2|
＝ .
1．通径：过焦点且垂直于对称轴的弦．
圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线
通径长度 2p
2．圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表：
圆锥方程 直线斜率
椭圆：＋＝1(a>b>0) k＝－
双曲线：－＝1(a>0，b>0) k＝
抛物线：y2＝2px(p>0) k＝
其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．
3．与圆锥曲线的切线有关的直线方程
椭圆 双曲线 抛物线
圆锥曲线的方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0)
曲线上一点P(x0，y0)处的切线方程 ＋＝1 －＝1 y0y＝p(x＋x0)
从曲线外一点P(x0，y0)所引的两条切线的切点弦方程 ＋＝1 －＝1 y0y＝p(x＋x0)
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切．( )
(2)直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立所得方程组的解的个数．( )
(3)直线y＝x与双曲线x2－y2＝1有一个公共点．( )
(4)直线y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1相交．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为________.
(2)若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是________.
(3)已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________.
答案 (1)1或0 (2) (3)
题型一 公共点的个数问题
例1 k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
[解] 联立方程
得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
因为Δ＝24(3k2－2)，
当Δ>0，即k>或k<－时，直线与曲线有两个公共点．
当Δ＝0，即k＝±时，直线与曲线有一个公共点．
当Δ<0，即－(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是不是0，若是0，则方程为一次方程；若不是0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．
[跟踪训练1] 已知双曲线C：x2－＝1，直线l过点P(1,1)，当k为何值时，直线l与双曲线C：
(1)有一个公共点；
(2)有两个公共点；
(3)无公共点．
解 设直线l：y－1＝k(x－1)，
即y＝kx＋(1－k)．
由得
(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.(*)
当k2－2＝0，即k＝±时，(*)式只有一解，直线l与双曲线相交，只有一个公共点．
当k2－2≠0时，Δ＝24－16k，
若Δ＝0，即k＝时，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共点；
若Δ>0，即k<时，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若Δ<0，即k>时，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点．
综上，(1)当k＝±或k＝时，直线l与双曲线只有一个公共点．
(2)当k<且k≠±时，直线l与双曲线有两个公共点．
(3)当k>时，直线l与双曲线无公共点.
题型二 弦长问题
例2 已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
[解] (1)由题设知
解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题设知以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
圆心到直线l的距离d＝＝，
由d<1得|m|<.(*)
∴|CD|＝2＝2＝ .
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴|AB|＝
＝.
由＝得 ＝1，
解得m＝±，满足(*)．
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
(1)涉及弦长的问题中，应熟练利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；
(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系，用设而不求法简化运算；
(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
[跟踪训练2] 已知双曲线的焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．
解 (1)设双曲线的标准方程为－＝1(a，b>0)，
由已知可得双曲线的左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，
又c＝2，所以b＝，
所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
(2)由题意可知直线m的方程为y＝x－2，
联立双曲线与直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0，
设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，
由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝·＝6.
题型三 弦中点问题
例3 已知椭圆＋＝1，过点P(2,1)作一条弦，使弦在该点被平分，求此弦所在直线的方程．
[解] 解法一：如图，易知所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，
代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，(*)
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是(*)方程的两个根，
∴x1＋x2＝.
∵P为弦AB的中点，
∴2＝＝.
解得k＝－，
∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵P为弦AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B在椭圆上，∴x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝＝－，即kAB＝－.
∴所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
解法三：设所求直线与椭圆的一交点为A(x，y)，另一交点为B(4－x,2－y)，∵A，B在椭圆上，
∴x2＋4y2＝16，①
(4－x)2＋4(2－y)2＝16.②
由①－②得x＋2y－4＝0，则A，B在直线x＋2y－4＝0上，而过A，B的直线只有一条，
∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
处理中点弦问题的常用方法
(1)点差法：设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线的方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就将中点和直线的斜率联系起来了，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
[跟踪训练3] 已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．
(1)求抛物线E的方程；
(2)求直线AB的方程．
解 (1)由于抛物线E的焦点为(1,0)，
所以＝1，p＝2，所求抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，①
y＝4x2，②
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，所以＝2，
所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
解法二：显然弦AB不垂直于x轴，
故可设弦AB所在的直线方程为y－1＝k(x－2)，k≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程
消去x整理得ky2－4y－8k＋4＝0，所以y1＋y2＝，
又M点是AB的中点，所以y1＋y2＝2，所以k＝2，
故直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
题型四 对称问题
例4 已知抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线l：y＝－kx＋对称，求k的取值范围．
[解] 解法一：由题意可知k≠0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上关于直线l对称的两点，则MN的方程可设为y＝x＋b，
代入y＝x2得x2－x－b＝0，且Δ＝＋4b>0.①
又x1＋x2＝，
∴MN的中点的横坐标为x0＝，
纵坐标为y0＝＋b.
∵点(x0，y0)在直线l：y＝－kx＋上，
∴＋b＝－k·＋，∴b＝4－.②
把②代入①得＋16－>0，
∴<16，即k2>，∴k>或k<－.
解法二：设点M(x1，x)，N(x2，x)关于直线l对称，则MN⊥l，
∴＝，即x1＋x2＝.
又MN的中点在l上，
∴＝－k·＋＝－k·＋＝4.
又中点必在抛物线的内部，
∴>2，即4>2.
∴k2>，即k>或k<－.
圆锥曲线上两点的对称问题是圆锥曲线的常见题型，处理方法如下：
(1)设对称两点所在的直线方程与圆锥曲线方程联立，由Δ>0建立不等关系，再由对称两点的中点在所给直线上，建立相等关系，由相等关系消参，由不等关系确定范围．
(2)用参数表示中点坐标，利用中点在圆锥曲线的内部建立关于参数的不等式，解不等式得参数范围．
[跟踪训练4] 试确定m的取值范围，使得椭圆＋＝1上有两点关于直线y＝4x＋m对称．
解 如图所示，设椭圆＋＝1上以A(x1，y1)，A′(x2，y2)为端点的弦关于直线y＝4x＋m对称，且AA′的中点M(x0，y0)是椭圆
＋＝1内的点，从而有x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.
由
由①－②得，4(y－y)＝－3(x－x)，
所以kAA′＝＝－＝－.
由kAA′＝－得－＝－，所以y0＝3x0.
由M(x0，y0)在直线y＝4x＋m上，
得x0＝－m，y0＝－3m，
所以M(－m，－3m)．
从而有＋<1，所以m2<，
所以m∈.
题型五 综合问题
例5 设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．
[解] (1)将y＝－x＋1代入双曲线C：－y2＝1，
得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴解得0又双曲线C的离心率e＝＝，
∴e>且e≠.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．
∵＝，
∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．
由此得x1＝x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0.
由根与系数的关系，
得x2＝－，x＝－.
消去x2，得－＝，由a>0，得a＝.
圆锥曲线的综合问题最终仍体现在直线与圆锥曲线的位置关系、向量的应用及参数范围的探求上，直线与圆锥曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况，如本题，若注意不到1－a2≠0，则会造成离心率范围扩大，另外，设而不求、利用根与系数的关系消参也是常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度．
[跟踪训练5] 椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且⊥(O为坐标原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．
解 (1)证明：椭圆的方程可化为
b2x2＋a2y2－a2b2＝0.
由消去y，
得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)>0得a2＋b2>1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.
∴x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝0.
∴2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.
即－＋1＝0.
∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.
∴＋等于定值．
(2)∵e＝，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2.
又a2＋b2＝2a2b2，
∴2－e2＝2a2(1－e2)，
即a2＝＝＋.
∵≤e≤，
∴≤a2≤，即≤a≤，
∴≤2a≤ ，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．
1．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是( )
A．－＜k＜ B．k＝或k＝－
C．k＞或k＜－ D．k＜且k≠－
答案 C
解析 由可得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)＞0，即k＞或k＜－时，直线与椭圆有两个公共点．故选C.
2．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则|AB|等于( )
A．3 B．4
C．3 D．4
答案 C
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝x＋b，由消去y化简整理得x2＋x＋b－3＝0，∴x1＋x2＝－1，∴AB的中点M，又由M在直线x＋y＝0上，可得b＝1，∴x2＋x－2＝0，∴x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，
∴|AB|＝＝＝＝3.故选C.
3．(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是( )
A．直线AB与OM垂直
B．若点M的坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0
C．若直线方程为y＝x＋1，则点M的坐标为
D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝
答案 BD
解析 对于A，因为在椭圆中，根据椭圆中点弦的性质有kAB·kOM＝－＝－2≠－1，故A错误；对于B，根据kAB·kOM＝－2，kOM＝1，得kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，故B正确；对于C，若直线方程为y＝x＋1，点M，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，故C错误；对于D，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，得2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以|AB|＝·|－－0|＝，故D正确．故选BD.
4．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________.
答案
解析 如图，双曲线的一条渐近线方程为
y＝x，F(5,0)，
∴直线过F且斜率为，
∴直线方程为y＝(x－5)，
由得－＝1，
整理得10x＝34，
∴x＝，y＝－，
而|AF|＝c－a＝5－3＝2，
∴S△AFB＝·|AF|·|y|＝×2×＝.
5．已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是时，＝4.
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
解 (1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，直线l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.
联立
得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝4.
由已知＝4得y2＝4y1.
∴y1＝1，y2＝4，p＝2，
∴抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)设直线l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
由
得x2－4kx－16k＝0，
由Δ>0得k<－4或k>0，
∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k，
∴BC的中垂线为y－2k2－4k＝－(x－2k)，
∴b＝2(k＋1)2，∴b>2.
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
答案 C
解析 因为通径为2p＝8，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.故选C.
2．直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点( )
A．至多有一个 B．有2个
C．有1个 D．没有
答案 B
解析 ∵直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴>2，∴m2＋n2<4，∴＋<＋＝1－m2<1，∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个．
3．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于( )
A．± B．±
C．± D．±2
答案 A
解析 将直线与椭圆方程联立得化简整理得(3＋4k2)x2＝12，(*)因为分别过A，B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，故方程的两个根为±1，代入方程(*)，得k＝±.故选A.
4．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝( )
A． B．2
C． D．3
答案 A
解析 设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．∴由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝，y0＝n.将x0，y0代入＋y2＝1，得×2＋2＝1.解得n2＝1，∴||＝＝＝.故选A.
5．(多选)过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则( )
A．以线段AB为直径的圆与直线x＝－相离
B．以线段AB为直径的圆与y轴相切
C．当＝2时，|AB|＝
D．|AB|的最小值为4
答案 ACD
解析 对于选项A，B，因为点M到准线x＝－1的距离为(|AF|＋|BF|)＝|AB|，所以以线段AB为直径的圆与直线x＝－1一定相切，与直线x＝－一定相离，故A正确，B错误．对于选项C，D，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋1，联立直线与抛物线的方程可得y2－4my－4＝0，故y1y2＝－4，x1x2＝1，若设A(4a2,4a)，则B，于是|AB|＝x1＋x2＋p＝4a2＋＋2，故|AB|的最小值为4，故D正确；当＝2时，可得y1＝－2y2，即4a＝－2，所以a2＝，|AB|＝，故C正确．故选ACD.
二、填空题
6．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
答案 6
解析 由于x2＝2py(p>0)的准线为y＝－，由解得准线与双曲线－＝1的交点为A，B，或A，B，则|AB|＝2，由△ABF为等边三角形，得|AB|＝p，解得p＝6.
7．椭圆Г：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________.
答案 －1
解析 因为tan∠MF1F2＝，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，F1M⊥F2M，且|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以c＋c＝2a，所以＝e＝－1.
8．双曲线的中心在原点，一个焦点坐标为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则双曲线的方程为________，弦MN的长为________.
答案 －＝1
解析 由题意可得MN中点的坐标为，
设双曲线的方程为－＝1，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，则－＝1，①
－＝1，②
由①－②得＝，
即＝·，
所以＝，解得a2＝2，
故双曲线的方程为－＝1.
联立
得3x2＋4x－12＝0，则
x1＋x2＝－，x1x2＝－4，
故|MN|＝ ＝.
三、解答题
9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点的横坐标为2，求k的值．
解 (1)由题意，设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，
由抛物线的定义，得4－＝6，解得p＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)将抛物线C的方程与直线的方程联立，得
消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
∵直线y＝kx－2与抛物线C相交于不同的两点A，B，则有k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，解得k>－1且k≠0.
∴x1＋x2＝.
∵AB中点的横坐标为2，
∴＝＝2，解得k＝2或k＝－1(舍去)．
∴k的值为2.
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，直线l过A(a,0)，B(0，－b)两点，原点O到直线l的距离是.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点B作直线m交双曲线于M，N两点，若·＝－23，求直线m的方程．
解 (1)依题意，直线l的方程为＋＝1，
即bx－ay－ab＝0.
由原点O到直线l的距离是，得＝＝，
又e＝＝，所以b＝1，a＝.
故所求双曲线的方程为－y2＝1.
(2)显然直线m不与x轴垂直，
设直线m的方程为y＝kx－1，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
联立方程
消去y得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.①
依题意知1－3k2≠0，由根与系数的关系知
x1＋x2＝，x1x2＝.
则·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－23，解得k＝±，
当k＝±时，判别式Δ＝15>0，方程①有两个不相等的实数根，满足条件．
故直线l的方程为y＝x－1或y＝－x－1.
B级：“四能”提升训练
1．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是椭圆C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与椭圆C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求椭圆C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b的值．
解 (1)根据c＝及题意可得
M，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝，＝－2(舍去)．
故椭圆C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，
故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入椭圆C的方程，得＋＝1. ②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，所以b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
2．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，交准线l于点M，准线l与x轴交于点H.
(1)已知＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值；
(2)是否存在常数λ∈R，使得＝λ且|HA|2＋|HB|2＝都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题设，得F(1,0)，准线l：x＝－1，H(－1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1≠0，y2≠0)，直线AB的方程为x＝my＋1，m≠0，
则M.
联立方程整理，得y2－4my－4＝0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
由＝λ1，＝λ2，得y1＋＝－λ1y1，
y2＋＝－λ2y2，即λ1＝－1－，λ2＝－1－，
所以λ1＋λ2＝－2－·＝－2＋2＝0.
(2)存在λ＝2或满足题意．理由如下：
由(1)知①
因为＝λ，所以y1＝－λy2，
代入①，得
消去y2，得4m2＝λ＋－2.
又H(－1,0)，所以|HA|2＋|HB|2
＝(x1＋1)2＋y＋(x2＋1)2＋y
＝(my1＋2)2＋y＋(my2＋2)2＋y
＝(m2＋1)y＋4my1＋4＋(m2＋1)y＋4my2＋4
＝(m2＋1)(y＋y)＋4m(y1＋y2)＋8
＝(m2＋1)[(y1＋y2)2－2y1y2]＋4m(y1＋y2)＋8
＝(m2＋1)(16m2＋8)＋16m2＋8
＝16m4＋40m2＋16，
所以16m4＋40m2＋16＝，
解得m2＝，
所以＝λ＋－2，
解得λ＝2或λ＝.
故存在满足条件的λ，且λ＝2或λ＝.
12.6 双曲线及其方程
2.6.2 双曲线的几何性质
(教师独具内容)
课程标准：1.理解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).2.能利用双曲线的几何性质解决一些简单的问题．
学法指导：借助双曲线的几何图形去学习它的性质，并将其几何性质与椭圆的性质类比，找出相同点与不同点．在解决相关问题时，作出草图能帮助你提高解题的准确性．
教学重点：用坐标法解决一些与双曲线的几何性质有关的问题．
教学难点：与渐近线及离心率有关的一些问题.
如图，某工厂有一双曲线型通风塔，其外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该塔最小半径为12米，下口半径为25米，下口半径到最小圆面的距离为45米，高为55米．问在建造过程中，上口半径应该建多少米？
知识点一 双曲线的几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
性质 焦点 (±c,0) (0，±c)
焦距 |F1F2|＝2c
a，b，c关系 c2＝a2＋b2
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称性 关于x轴、y轴和原点对称
顶点 (±a,0) (0，±a)
轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝(e>1)
知识点二 等轴双曲线
实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
(1)方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)；
(2)渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
(3)实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝ .
知识点三 对双曲线的几何性质的五点认识
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．
(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)，得＝1＋≥1，所以x2≥a2，所以|x|≥a，即x≤－a或x≥a.
(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，因为c>a>0，所以e>1，则＝＝＝，这说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．
(4)对称性：由双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(－x，y)，P2(x，－y)，P3(－x，－y)均在双曲线上，故P与P1，P2，P3分别关于y轴、x轴、原点对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴、原点对称．双曲线的顶点有两个，而椭圆有四个．
(5)双曲线上的所有点中，到给定焦点距离最小的点，是离该焦点最近的实轴的端点．
1．双曲线的渐近线及其求法
渐近线是双曲线的特有几何性质，求双曲线的渐近线方程的方法较多，一是可以利用以双曲线的顶点、虚轴端点为边中点的矩形的对角线方程求得，也可以运用下列方法求得：
将－＝1(a>0，b>0)中的“1”换为0即得双曲线的渐近线方程－＝0，即±＝0，即y＝±x.
注意：与双曲线－＝1共渐近线的双曲线方程可以设为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)，即“1”换为“λ”．
2．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于半虚轴长．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等轴双曲线的离心率是.( )
(2)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．( )
(3)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．( )
(4)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知点(2,0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.
(2)已知双曲线－＝1(b>0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________.
(3)已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的离心率为________.
答案 (1) (2)2 (3)
题型一 双曲线的几何性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
[解] 将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.
作出草图如图：
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
画几何图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为邻边的矩形的对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的近似图形．
[跟踪训练1] 求双曲线9y2－16x2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1.由此可知，半实轴长a＝4，半虚轴长b＝3，c＝＝＝5，所以焦点坐标为(0，－5)，(0,5)，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
题型二 由双曲线的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.
[解] (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)解法一：当焦点在x轴上时，由＝且a＝3得
b＝，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，由＝且a＝3得b＝2，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
故双曲线的标准方程为－＝1和－＝1.
解法二：设以y＝±x为渐近线的双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6 λ＝，
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6 λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1和－＝1.
求双曲线的标准方程的方法
(1)解决此类问题的常用方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值)．要特别注意a2＋b2＝c2的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆．
(2)设双曲线方程的方法与技巧
①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)，焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
②如果已知双曲线的方程为标准式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为mx2－ny2＝1(m，n同号)，然后由条件求m，n.
③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ④渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
⑤渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
提醒：利用待定系数法求双曲线标准方程的关键：设出双曲线的标准方程，然后根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．
[跟踪训练2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，
且c＝13，又＝，
∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，
故其标准方程为－＝1.
(2)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－＝1.②
由①②联立，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－＝1.④
由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
题型三 双曲线的离心率问题
例3 已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
[解] 设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，则y＝±.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，
∴＝2c，∴b2＝2ac.
∴c2－2ac－a2＝0，∴2－2×－1＝0.
即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
∴所求双曲线的离心率为1＋.
求双曲线离心率的常用方法
(1)依据条件求出a，c，计算e＝.
(2)依据条件建立a，b，c的关系式，一种是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求解．
[跟踪训练3] 设双曲线－＝1(0解 ∵直线l过点A(a,0)，B(0，b)，
∴直线l的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
∵原点到直线l的距离为c，
∴＝c，即ab＝c2，
两边平方并化简，
得16a2b2＝3c4，
∴16a2(c2－a2)＝3c4，
∴3c4－16a2c2＋16a4＝0，两边同时除以a4，
得－＋16＝0，
即3e4－16e2＋16＝0.
解得e2＝4或.
∵b>a>0，∴>1，
∴e2＝＝1＋>2.
∴e2＝4，∴e＝2.
题型四 双曲线的渐近线问题
例4 求与双曲线－＝1共渐近线且过点A(2，－3)的双曲线的方程及其离心率．
[解] 解法一：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
当焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．因为＝，所以b＝a①.因为点A(2，－3)在所求的双曲线上，所以－＝1②.联立①②所得的方程组无解．
当焦点在y轴上，设所求双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．因为＝，所以a＝b③.因为点A(2，－3)在所求的双曲线上，所以－＝1④，联立③④得a2＝，b2＝4.所以所求双曲线的方程为－＝1且离心率e＝.
解法二：设与双曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．因为点A(2，－3)在所求的双曲线上，所以λ＝－＝－，所以所求双曲线的方程为－＝－，即－＝1.从而可求得离心率e＝.
一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用已知双曲线和方程－＝λ(λ≠0)求双曲线方程较为简便．然后根据题设中的另一条件确定参数λ的值，例如：与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；以y＝±x(m>0，n>0)为渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论．本题的解法主要运用了分类讨论思想和参数思想．
[跟踪训练4] 已知双曲线－＝1的右焦点为(2,0)．
(1)求双曲线的方程；
(2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．
解 (1)因为双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线的方程为－＝1，
所以c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，所以b2＝1，
所以双曲线的方程为－y2＝1.
(2)因为a＝，b＝1，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B，
令x＝－2，则y＝±，
则|AB|＝，记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S，则S＝××2＝.
1．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
A．2 B．
C． D．1
答案 D
解析 因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.故选D.
2．双曲线y2－＝－1的虚轴长是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
答案 A
解析 双曲线y2－＝－1化成标准方程为－y2＝1，所以b＝1,2b＝2，即虚轴长为2.
3．(多选)双曲线C：－＝λ(λ≠0)，当λ变化时，以下说法正确的是( )
A．焦点坐标变化 B．顶点坐标变化
C．渐近线不变 D．离心率不变
答案 ABC
解析 当λ>0时，双曲线的焦点和顶点在x轴上，当λ<0时，双曲线的焦点和顶点在y轴上，且焦点坐标、顶点坐标均随λ的变化而变化，而离心率随λ正负的变化而变化，在方程－＝λ中，令λ＝0，得y＝±x，即为双曲线C的渐近线方程，不随λ的变化而变化．故选ABC.
4．双曲线5y2－4x2＝－20的实轴长为________，虚轴长为________，渐近线方程为________，离心率为________.
答案 2 4 y＝±x
解析 双曲线5y2－4x2＝－20化为标准方程为－＝1.∴a＝，b＝2.∴c＝3.焦点在x轴上．实轴长为2a＝2，虚轴长为2b＝4，渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝＝.
5．(1)求过点(2，－2)且与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程；
(2)求双曲线－＝1的焦点到其渐近线的距离．
解 (1)因为所求双曲线与双曲线－y2＝1有公共渐近线，所以所求双曲线方程可设为－y2＝λ(λ≠0)，
因为所求双曲线过点(2，－2)，
所以－(－2)2＝λ，
解得λ＝－2，
所以所求双曲线的方程为－＝1.
(2)因为双曲线的方程为－＝1，
所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
即x－2y＝0.
因为(3,0)为双曲线的一个焦点，
所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
＝.
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案 C
解析 因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.又离心率为e＝＝＝＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选C.
2．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
答案 A
解析 因为双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，又P(2,1)在双曲线C的渐近线上，所以＝，即a＝2b.又2c＝10，c＝5，且a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.故所求双曲线C的方程为－＝1.
3．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 设直线FB的斜率为－，则与其垂直的渐近线的斜率为，所以有－＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，两边同时除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．故选D.
4．如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A，B是以O为圆心、OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率e为( )
A． B．
C． D．1＋
答案 D
解析 连接AF1.由题意，得F1F2为圆O的直径，A为圆上一点，∴△F1AF2为直角三角形．又△ABF2为等边三角形，∴|AF2|＝c，|AF1|＝c.由双曲线的定义，知c－c＝2a，∴e＝＝＝1＋.故选D.
5．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．F2到双曲线C的一条渐近线的距离为1
D．△PF1F2的面积为1
答案 ACD
解析 对于选项A，由题意可知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故A正确；对于选项B，由题意可得F1(－，0)，F2(，0)，则以F1F2为直径的圆的方程不是x2＋y2＝1，故B错误；对于选项C，因为F2(，0)到双曲线C的一条渐近线y＝x的距离为1，故C正确；对于选项D，由题意可得F1(－，0)，F2(，0)，设P(x0，y0)，由·＝0，可得x0＝±，y0＝±，则△PF1F2的面积为1，故D正确．故选ACD.
二、填空题
6．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________.
答案 y＝±x
解析 由题意知2b＝2,2c＝2，∴b＝1，c＝，a2＝c2－b2＝2，即a＝，∴双曲线的方程为－y2＝1，因此其渐近线方程为y＝±x.
7．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为________.
答案 ＋1
解析 不妨设点P在该双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a.因为△PF1F2是等腰直角三角形，所以只能是∠PF2F1＝90°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，所以(2a＋2c)2＝2×(2c)2，即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，得e2－2e－1＝0.因为e>1，所以e＝＋1.
8．若双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是________.
答案 (－12,0)
解析 双曲线的方程可变为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又e∈(1,2)，则1<<2，解得－12三、解答题
9．已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆＋＝1有相同的顶点，求此双曲线的标准方程．
解 因为椭圆＋＝1的顶点为(－5,0)，(5,0)，(0，－3)，(0,3)，当相同的顶点为(－5,0)，(5,0)时，双曲线的焦点在x轴上，且a＝5.又＝＝2，所以c＝10，从而b2＝75，所以双曲线的标准方程为－＝1.
当相同的顶点为(0，－3)，(0,3)时，双曲线的焦点在y轴上，且a＝3.
又e＝＝＝2，所以c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－9＝27，所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上可知，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
10．已知双曲线E：－＝1(m>0)．
(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
(2)若双曲线E的离心率为e∈，求实数m的取值范围．
解 (1)m＝4时，双曲线的方程为－＝1，
所以a＝2，b＝，c＝3，所以双曲线E的焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，渐近线方程为y＝±x.
(2)因为e2＝＝＝1＋，e∈，所以<1＋<2，解得5B级：“四能”提升训练
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦距为20，渐近线方程为y＝±x；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
解 (1)当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为＝，且2c＝20，所以c＝10，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝80，b2＝20.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，因为＝，即b＝2a.
又2c＝20，所以c＝10.
又c2＝a2＋b2，所以a2＝20，b2＝80.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
综上所述，所求双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1.
(2)解法一：设双曲线的标准方程为－＝1，
由题意可得c＝2，
又所求双曲线过点(3，2)，
所以－＝1，
又a2＋b2＝(2)2，
所以a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
解法二：设所求双曲线的标准方程为
－＝1(－16<λ<4)，
因为该双曲线过点(3，2)，
所以－＝1，
所以λ＝－4或λ＝14(舍去)，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
2．已知双曲线－＝1的一个焦点为(2,0)．
(1)求双曲线的实轴长和虚轴长；
(2)若已知点M(4,0)，且点N(x，y)是双曲线上的任意一点，求|MN|的最小值．
解 (1)由题意可知，m＋3m＝4，
∴m＝1.
∴双曲线的方程为x2－＝1.
∴双曲线的实轴长为2，虚轴长为2.
(2)由x2－＝1，得y2＝3x2－3，
∴|MN|＝＝
＝＝.
又x≤－1或x≥1，
∴当x＝1时，|MN|取得最小值3.
12.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
(教师独具内容)
课程标准：1.经历从具体问题情境抽象出抛物线模型的过程，掌握抛物线的定义和标准方程.2.能利用抛物线的定义和标准方程解决有关问题．
学法指导：1.通过动手试验画出抛物线的模型，借助数形结合的思想，深刻理解抛物线的定义.2.要准确把握抛物线标准方程的四种形式，比较抛物线标准方程的四种形式，找出它们的联系与区别．
教学重点：抛物线的定义及其标准方程的应用．
教学难点：抛物线标准方程的四种形式.
我们知道，一个向上斜抛的篮球，其运动轨迹是抛物线的一部分；二次函数的图像是一条抛物线等等．到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？
知识点一 抛物线的定义
一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．
知识点二 抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) x＝－
y2＝－2px(p>0) x＝
x2＝2py(p>0) y＝－
x2＝－2py(p>0) y＝
特别提醒：对抛物线标准方程的理解
(1)不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈；
(2)抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离p以及焦点的位置确定的；
(3)焦点坐标中横(纵)坐标的值是抛物线标准方程中一次项系数的，准线方程中的数值是抛物线标准方程中一次项系数的－.
1．求抛物线方程的方法
(1)定义法
直接利用抛物线的定义求解．
(2)待定系数法
尽管抛物线的标准方程有四种，但方程中都只有一个待定系数，一是利用好参数p的几何意义，二是给抛物线定好位，即求抛物线方程遵循先定位，后定量的原则．
(3)统一方程法
对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定，也就是说，不必设为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，这样能减少计算量．同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一设为x2＝ay(a≠0)．
2．在解决有关抛物线上的点P到焦点F的距离问题时，常利用抛物线的定义转化为点P到准线的距离
(1)若点M(x，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则|MF|＝x＋.
(2)若点M(x，y)在抛物线y2＝－2px(p>0)上，则|MF|＝－x.
(3)若点M(x，y)在抛物线x2＝2py(p>0)上，则|MF|＝y＋.
(4)若点M(x，y)在抛物线x2＝－2py(p>0)上，则|MF|＝－y.
3．如果一个点在抛物线上，常可利用抛物线的方程形式，灵活设点的坐标
(1)当抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)这一类型时，常可设该点坐标为.
(2)当抛物线的方程为x2＝2py(p≠0)这一类型时，可设抛物线上点的坐标为.
对抛物线上点的坐标进行计算时，还要注意抛物线上点的坐标的范围限制．如抛物线y2＝2px(p>0)上点的横坐标应大于或者等于零，这点在解题时常会被忽略．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．( )
(2)抛物线的标准方程中的p表示焦点到准线的距离．( )
(3)抛物线的方程都是二次函数．( )
(4)抛物线y＝－x2的准线方程是y＝.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知抛物线y2＝2x上一点P(m,2)，则m＝________，点P到抛物线的焦点F的距离为________.
(2)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________.
(3)若抛物线y2＝16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝________.
答案 (1)2 (2) (3)13
题型一 抛物线的定义及其应用
例1 (1)动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，求动圆的圆心M的轨迹方程；
(2)求到点A(2,0)的距离等于到直线x＝2的距离的动点P的轨迹方程．
[解] (1)设动圆的圆心M的坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，
根据抛物线的定义，易知动圆的圆心M的轨迹方程为y2＝4x.
(2)由于点A(2,0)恰好在直线x＝2上，所以动点P的轨迹是直线，此直线过点A且垂直于直线x＝2，则动点P的轨迹方程为y＝0.
利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如：两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等．
[跟踪训练1] 定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点到y轴距离的最小值．
解 如图所示，线段AB的中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值，这是中点坐标问题，因此，只需研究A，B两点的横坐标之和最小即可．
于是，如图所示，F是抛物线y2＝x的焦点，A，B两点到准线的垂线分别是AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，C，D，N为垂足，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)，连接AF，BF，由抛物线的定义知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.
所以|MN|＝(|AF|＋|BF|)≥|AB|＝.
设点M的横坐标为x，则|MN|＝x＋，
则x≥－＝.
当弦AB过点F时等号成立，此时点M到y轴的距离最小，为.
题型二 抛物线的标准方程
例2 根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)焦点到准线的距离是4；
(2)过点(1,2)．
[解] (1)由题意可得p＝4，抛物线的标准方程有四种形式：y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.
(2)解法一：点(1,2)在第一象限，要分两种情形：当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则22＝2p·1，解得p＝2，抛物线的标准方程为y2＝4x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，则12＝2p·2，解得p＝，抛物线的标准方程为x2＝y.
解法二：设所求抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点(1,2)代入，得m＝4，n＝.故所求抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝y.
所谓抛物线的标准方程是指抛物线放置于平面直角坐标系的“标准”状态(即顶点在原点，焦点在坐标轴上)下的方程，因而求抛物线标准方程的程序是：先确定抛物线标准方程的类型(即定位)，再确定焦参数p的值即可．
当抛物线标准方程的类型没有确定时，也可以设其标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可减少讨论情况的个数．
[跟踪训练2] 分别求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；
(3)以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为.
解 (1)∵点(－3,2)在第二象限，
∴设抛物线的标准方程为
y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，
将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝，
故抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2，
∴抛物线的焦点坐标为(0，－2)．
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
则由＝2，得2p＝8，
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－8y.
②令y＝0，由x－2y－4＝0得x＝4，
∴抛物线的焦点坐标为(4,0)．
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
由＝4得2p＝16，
∴所求抛物线的标准方程为y2＝16x.
(3)由题意可得p＝，
则所求抛物线的标准方程为
y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
题型三 利用抛物线的定义求轨迹方程
例3 已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P与圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．
[解] 解法一：设点P的坐标为(x，y)，圆P的半径为r，由题意知|AP|＝r＋1，即＝|x－1|＋1，化简，整理得y2＝－8x，y2＝－4x－4(舍去)．
解法二：设圆P的半径为r，如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则|KQ|＝1，∴|PQ|＝r＋1，又|AP|＝r＋1，∴|AP|＝|PQ|，故点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，∴点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准线．
∴＝2，∴p＝4，∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
可利用直接法确定点P的轨迹方程；在利用抛物线的定义确定轨迹时，要注意转化方法的应用．
[跟踪训练3] 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．
解 解法一：设点P的坐标为(x，y)，则有＝|x|＋1.两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.
所以y2＝
即点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．
解法二：由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)的距离与点P到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．
1．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是( )
A．4 B．6
C．8 D．12
答案 B
解析 由抛物线的方程得＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
2．已知点F是抛物线y＝x2的焦点，点P是该抛物线上的动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是( )
A．x2＝8y－16 B．x2＝2y－
C．x2＝y－ D．x2＝2y－2
答案 A
解析 抛物线的方程可化为x2＝16y，焦点F(0,4)，设线段PF的中点E的坐标为(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y－4，代入抛物线的方程得，(2x)2＝16(2y－4)，即x2＝8y－16，故选A.
3．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则以下结论中正确的是( )
A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1
C．|FP|＝4 D．|FR|＝4
答案 AC
解析 如图，连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ.又PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°.由抛物线的定义知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，则FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形FQP的边长为4，|FP|＝|PQ|＝4.由以上还可得四边形QFRM为平行四边形，所以|FR|＝|QM|＝2.故选AC.
4．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________.
答案 2
解析 抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB中点的横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.
5．已知抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
解 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，
∵点A在抛物线上，
∴(－3)2＝2pm或(－3)2＝－2pm.
∴m＝±.①
又|AF|＝＋|m|＝5，②
把①代入②可得＋＝5，
即p2－10p＋9＝0.
∴p＝1或p＝9.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
答案 D
解析 因为抛物线的焦点坐标为，椭圆的右焦点坐标为(2,0)，依题意得＝2，解得p＝4.故选D.
2．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案 C
解析 方程5＝|3x＋4y－12|可化为＝，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M的轨迹是抛物线．故选C.
3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是抛物线C上一点，|AF|＝x0，则x0等于( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案 A
解析 由题意知，抛物线的准线为x＝－，因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.故选A.
4．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案 C
解析 如图，抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1，∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9.当且仅当A，P，F三点共线时等号成立，即|PA|＋|PQ|的最小值为9.故选C.
5．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程可能为( )
A．y2＝4x B．y2＝2x
C．y2＝8x D．y2＝16x
答案 AD
解析 由已知得，抛物线的焦点为F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，解得y0＝4，M.
由|MF|＝5得 ＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8，故C的方程可能为y2＝4x，y2＝16x.故选AD.
二、填空题
6．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________.
答案 2 x＝－1
解析 因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为，准线方程为x＝－，抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p＝2，准线方程为x＝－1.
7．已知抛物线y＝x2－1上一定点B(－1,0)和两个动点P，Q，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是________.
答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 设P(t，t2－1)，Q(s，s2－1)，∵BP⊥PQ，∴·＝－1，即t2＋(s－1)t－s＋1＝0，∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点，∴必有Δ＝(s－1)2＋4(s－1)≥0，即s2＋2s－3≥0，解得s≤－3或s≥1.∴点Q的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
8．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.
答案 6
解析 因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，所以A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的3倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.
三、解答题
9．若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程．
解 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(除去点(0,0))，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
10．已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，点A(3,2)．
(1)求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标；
(2)求点P到点B的距离与到直线x＝－的距离之和的最小值．
解 (1)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴点A在抛物线的内部．
过点P作PQ垂直于抛物线的准线l：x＝－于点Q，
由抛物线的定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|，
当P，A，Q三点共线时，|PA|＋|PQ|的值最小，最小值为，
即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，
∴点P的坐标为(2,2)．
(2)设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d.
显然点B在抛物线的外部．
由抛物线定义，得|PB|＋d＝|PB|＋|PF|≥|BF|，
当B，P，F三点共线(P在线段BF上)时取等号．
又|BF|＝＝2，
∴所求最小值为2.
B级：“四能”提升训练
1．已知以向量v＝为方向向量的直线l过点，抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点(0,0)关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设A，B是抛物线C上的两个动点，过点A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若·＋p2＝0(O为坐标原点，A，B异于点O)，试求点N的轨迹方程．
解 (1)由题意可得直线l：y＝x＋，①
过原点且垂直于l的直线方程为y＝－2x，②
联立①②，得x＝－，y＝1.
∵抛物线上的点(0,0)关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，
∴－＝－×2，∴p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)，
由·＋p2＝0，得x1x2＋y1y2＋4＝0.
又y＝4x1，y＝4x2，解得y1y2＝－8，③
直线ON：y＝x，即y＝x.④
由③④及y＝y1，得点N的轨迹方程为x＝－2(y≠0)．
2．已知A，B是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的两个动点(AB不垂直于x轴)，F为抛物线的焦点，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6，0)，求此抛物线的方程．
解 抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AF|＋|BF|＝8，
∴x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p.
∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，∴|QA|＝|QB|，
即(x1－6)2＋y＝(x2－6)2＋y，
又y＝2px1，y＝2px2，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
∵AB与x轴不垂直，
∴x1≠x2，
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线的方程为y2＝8x.
12.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
(教师独具内容)
课程标准：1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.掌握椭圆的定义和标准方程.3.能利用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题．
学法指导：学习本节内容时，应注意以下几点：1.要通过实际操作理解并熟练掌握椭圆的定义；2.利用图形的形象直观性，把握a，b，c的几何意义；3.要通过范例的学习与适度的练习，熟练掌握求椭圆标准方程的基本方法：待定系数法、定义法、直接法等．
教学重点：椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程．
教学难点：椭圆标准方程的推导.
1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息：从1997年2月中旬起，海尔波普彗星将逐渐接近地球，4月以后又将渐渐离去，并预测3000年后，它还将光临地球上空.1997年2月至3月间许多人目睹了这一天文现象．你知道科学家是如何计算出彗星出现的准确时间吗？
知识点一 椭圆的定义
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.
知识点二 椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
焦距 |F1F2|＝2c
焦点坐标 (±c,0) (0，±c)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
1．对椭圆定义的理解
设两定点F1，F2，点到F1，F2的距离之和为2a.
(1)当2a>|F1F2|时，点的轨迹是椭圆．
(2)当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是以F1，F2为端点的线段．
(3)当2a<|F1F2|时，点的轨迹不存在．
2．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；
(2)设方程：
①依据上述判断设方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)；
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)；
(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；
(4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹称为椭圆．( )
(2)椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( )
(3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.( )
(4)设定点F1(0，－2)，F2(0,2)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝m＋(m＞2)，则点P的轨迹是椭圆．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________.
(2)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝8，则|AB|＝________.
(3)若椭圆＋＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是________.
答案 (1)18 (2)4 (3)
题型一 椭圆的定义
例1 如图所示，已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．
(1)求△AF1B的周长；
(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？
[解] (1)如题图，由题意知，A，B在椭圆＋＝1上，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△AF1B的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝4×5＝20.
所以△AF1B的周长为20.
(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长仍为20不变，因为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a，与AB和x轴是否垂直无关．
1．椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆的定义能够对一些距离问题进行转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
2．椭圆中的焦点三角形
椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
3．椭圆的标准方程中应注意的几个问题
(1)a2＝c2＋b2，a>b>0，a最大，其中a，b，c构成如图的直角三角形，我们把它称为“特征三角形”．
(2)方程中的两个参数a与b，确定椭圆的形状和大小；焦点F1，F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型．
(3)方程Ax2＋By2＝C表示椭圆的充要条件：ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B.A>B时，焦点在y轴上；A[跟踪训练1] 已知F1为椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，求|PF1|＋|PA|的最小值．
解 由椭圆的方程5x2＋9y2＝45可知a2＝9，b2＝5，c2＝4，左焦点F1(－2，0)，右焦点F2(2,0)，如图所示．P为椭圆上半部分上一点，由椭圆的定义有|PF1|＋|PF2|＝6.
而|PF1|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋|PF2|－|PF2|＝6－(|PF2|－|PA|)．
在△PAF2中，因为||PF2|－|PA||<|AF2|，当且仅当P，A，F2三点共线时，|PF2|－|PA|＝|AF2|＝.所以当P，A，F2三点共线时，|PF1|＋|PA|有最小值为6－.
题型二 椭圆的标准方程
例2 求经过P1，P2两点的椭圆的标准方程．
[解] 解法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意，知解得
∵a2＝<＝b2，∴焦点在x轴上的椭圆不存在．
②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
由题意，得解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
解法二：设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
由题意，得解得
∴所求的椭圆方程为5x2＋4y2＝1，其标准方程为＋＝1.
1．椭圆标准方程的两种求法
(1)定义法：定义是研究椭圆问题的基础，先根据椭圆的定义得到相应的a，b，c，再写出椭圆的标准方程．
(2)待定系数法
①先设出椭圆的标准方程＋＝1或＋＝1(a>b>0)，然后求出待定的系数代入方程即可．
②若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．
③与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0，b2＞－λ)，与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0，b2＞－λ)．
2．求椭圆标准方程的关注点
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面．
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为
原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
[跟踪训练2] 求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点；
(2)过点Q(2,1)，且与椭圆＋＝1有公共的焦点．
解 (1)易知椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义，知2a＝＋
＝2，
所以a＝.
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由＋＝1，得c2＝5，则a2－b2＝5.①
又点Q(2,1)在所求椭圆上，所以＋＝1，②
由①②得a2＝＋5，b2＝，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
题型三 利用椭圆的定义求轨迹方程
例3 已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于20，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[解] 以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.如图所示．
由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)，c＝4.
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝20，|BC|＝8，
得|AB|＋|AC|＝12，
因此点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝12；但点A不在x轴上．由a＝6，c＝4，得b2＝a2－c2＝36－16＝20.所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的特点，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程，这就是利用定义求椭圆标准方程的方法，但注意检验．
[跟踪训练3] 已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，圆C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹曲线的形状及方程．
解 如图所示，由已知可得圆C1与C2的圆心坐标分别为C1(4,0)，C2(－4,0)，其半径分别为r1＝13，r2＝3.
设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为r.
由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件可得|CC1|＝r1－r.①
由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件可得|CC2|＝r2＋r.②
由①＋②可得|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16，即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|＝8，可知动点C的轨迹为椭圆，且以C1与C2为焦点．
由题意，得c＝4，a＝8，
所以b2＝a2－c2＝64－16＝48.
所以椭圆的方程为＋＝1，
所以动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，其方程为＋＝1.
1．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．x2＋＝1 D．＋＝1
答案 D
解析 由题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝2＋4＝6，因此椭圆的方程为＋＝1.故选D.
2．“2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 由方程＋＝1表示的曲线是椭圆，可得解得23．(多选)与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案 BCD
解析 与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆系方程为＋＝1(λ>－16)．对比各选项可知，当λ＝－2时，得＋＝1；当λ＝5时，得＋＝1；当λ＝－9时，得＋＝1.故选BCD.
4．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2＝________.
答案 2 120°
解析 由椭圆＋＝1知a＝3，c＝＝，
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝
＝＝－.
又0°<∠F1PF2<180°，∴∠F1PF2＝120°.
5．如图，已知定点A(－2,0)，动点B是圆F：(x－2)2＋y2＝64上一点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程．
解 连接PA，圆F：(x－2)2＋y2＝64的圆心为F(2,0)，半径R＝8.
∵线段AB的垂直平分线交BF于点P，
∴|PA|＝|PB|，
∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝R＝8>|AF|＝4.由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆．
依题意，有2a＝8，c＝2，
∴动点P的轨迹方程为＋＝1.
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点F在BC上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6
C．4 D．12
答案 C
解析 由题可知a＝，由椭圆的定义得|BF|＋|BA|＝|CF|＋|CA|＝2a＝2，∴(|BF|＋|CF|)＋|BA|＋|CA|＝|BA|＋|CA|＋|BC|＝4，即△ABC的周长为4.故选C.
2．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 由椭圆＋＝1的焦点在x轴上，可得解得所以a＞3或－6＜a＜－2.故选D.
3．已知动点M(x，y)满足＋＝4，则动点M的轨迹曲线的形状为( )
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
答案 D
解析 设F1(－2,0)，F2(2,0)．由题意知动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2.
4．已知椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．
答案 B
解析 设F1为椭圆的左焦点，F2为椭圆的右焦点，连接MF2，由N是MF1的中点，O是F1F2的中点可知|ON|＝|MF2|.又|MF2|＝2a－|MF1|＝10－2＝8，所以|ON|＝4.
5．(多选)椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标可以是( )
A．(0，－3) B．
C．(0,3) D．
答案 AC
解析 记F1(－4,0)，F2(4,0)，|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立．∴P应在椭圆与y轴的交点处，
∴P(0,3)或(0，－3)．
二、填空题
6．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍．
答案 7
解析 由已知椭圆的方程得a＝2，b＝，c＝3，不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)．由于焦点F1和F2关于y轴对称，∴PF2必垂直于x轴．∴P或P，|PF2|＝，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝.∴|PF1|＝7|PF2|.
7．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________.
答案 7
解析 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
8．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，M是椭圆上的一点，且在y轴的左侧，过点F2作∠F1MF2的角平分线的垂线，垂足为N，若|ON|＝2(O为坐标原点)，则|MF2|－|MF1|＝________，|OM|＝________.
答案 4 2
解析 延长F2N，MF1并相交于Q点，由题知，MN⊥F2Q，且MN平分∠F1MF2，所以|MF2|＝|MQ|，N为F2Q的中点，又因为O为F1F2的中点，所以ON綊F1Q，因为|ON|＝2，所以|F1Q|＝4，|MF2|－|MF1|＝4，因为|MF2|＋|MF1|＝8，所以|MF2|＝6，|MF1|＝2，所以|MF2|2＝|MF1|2＋|F1F2|2，所以MF1⊥OF1，所以|OM|＝＝2.
三、解答题
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
解 (1)依题意，知c＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，
所以a2－a2＝1，即a2＝1，
所以a2＝4，b2＝3，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于点P在椭圆上，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4.
又|PF1|－|PF2|＝1，
所以|PF1|＝，|PF2|＝.
又|F1F2|＝2c＝2，
所以由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝.
故∠F1PF2的余弦值为.
10．已知圆A：x2＋(y＋6)2＝400，圆A内一定点B(0,6)，圆C过B点且与圆A内切，求圆心C的轨迹方程．
解 设动圆C的半径为r，则|CB|＝r.
∵圆C与圆A内切，∴|CA|＝20－r.
∴|CA|＋|CB|＝20.
又|AB|＝12，∴|CA|＋|CB|＝20>|AB|.
∴点C的轨迹是以A，B两点为焦点的椭圆．
∵2a＝20,2c＝12，
∴a＝10，c＝6，b2＝64.
又A，B在y轴上，∴C点的轨迹方程为＋＝1.
B级：“四能”提升训练
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；
(2)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点；
(3)焦点在y轴上，且与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
解 (1)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)
∴∴
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)解法一：∵椭圆＋y2＝1的焦点坐标分别为(－1，0)，(1,0)，
∴可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
则解得a2＝4，b2＝3.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
解法二：由题意知椭圆的焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，
又 ＋ ＝＋＝4，
∴2a＝4，即a＝2，∴b2＝a2－c2＝22－12＝3，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.
又P到它较近的一个焦点的距离等于2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8，
∴b2＝a2－c2＝36，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
2．如图所示，△ABC的底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．
解 以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6，0)，C(－6，0)，CE，BD分别为AB，AC边上的中线，
则|BD|＋|CE|＝30.
由重心的性质可知，
|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20.
∵B，C是两个定点，G点到B，C的距离和等于定值20，且20>12，
∴G点的轨迹是椭圆，B，C是椭圆的两个焦点，
∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，
∴b2＝a2－c2＝102－62＝64，
故G点的轨迹方程为＋＝1(x≠±10)．
设G(x′，y′)，A(x，y)，则有＋＝1.
由重心坐标公式知
故顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±30)，
即＋＝1(x≠±30)．
12.7 抛物线及其方程
2.7.2 抛物线的几何性质
(教师独具内容)
课程标准：1.理解抛物线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.能用抛物线的几何性质分析解决问题．
学法指导：学习本节内容时，首先从实例出发，直观感受抛物线的几何性质，再通过方程精确地、量化地研究抛物线的几何性质．
教学重点：抛物线的几何性质．
教学难点：抛物线的几何性质的应用.
要建造一个圆形花坛水池，池中央有一喷泉，水管高1米，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，最高点距水面2米，水管距抛物线对称轴为1米，问水池直径应如何设计？
知识点 抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
性质 焦点
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 y轴
顶点 O(0,0)
离心率 e＝1
开口方向 向右 向左 向上 向下
1．抛物线是圆锥曲线中最为特殊的一种曲线(e＝1)，由于抛物线上任一点到其焦点与到其准线的距离都是相等的，所以应充分利用图形及抛物线的定义进行相互转化，有利于灵活解题．
2．椭圆、双曲线、抛物线在几何性质上的联系与区别
(1)联系：三种曲线都有范围、对称轴、顶点和离心率四个基本的几何性质．
(2)区别：抛物线与椭圆、双曲线相比，主要区别于抛物线的离心率等于1且只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，没有中心．就标准方程而言，椭圆、双曲线有两个参数，而抛物线只有一个参数．
另外需注意，抛物线不是双曲线的一支，抛物线无渐近线．
抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的、有开口的光滑曲线，但是它们的图像性质是完全不同的，事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越大，而抛物线的开口越来越趋于扁平．
3．利用抛物线的定义可以得知，抛物线的焦点弦(过焦点的弦)有许多特殊性质：如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，直线AB的倾斜角为θ，相应的准线为l，N为准线l与x轴交点．
①A，O，B1三点共线，且B，O，A1三点共线；
②AM1⊥BM1，A1F⊥B1F，M1F⊥AB；
③以AB为直径的圆与准线相切(切点为M1)，以A1B1为直径的圆与AB相切(切点为F)，以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
④∠ANF＝∠BNF；
⑤|AF|＝，|BF|＝；
⑥|AB|＝x1＋x2＋p＝2＝；
注意：当θ＝90°时，AB称为抛物线的通径，是焦点弦中最短的．
⑦y1y2＝－p2，x1x2＝，|y1－y2|＝；
⑧kOA·kOB＝－4，O·O＝－p2；
⑨＋＝，＝；
⑩S△AOB＝.
下面证明结论⑤：
由抛物线的定义知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|.
∵|AA1|＝|NF|＋|AF|cosθ＝p＋|AF|cosθ，
∴|AF|＝p＋|AF|cosθ，∴|AF|＝.
同理|BF|＝.
∴结论⑤成立．
由结论⑤易得结论⑥与⑨.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线没有渐近线．( )
(2)抛物线有对称轴，无对称中心．( )
(3)抛物线的开口大小由抛物线的离心率决定．( )
(4)抛物线x2＝y与抛物线y2＝x的离心率相同．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)抛物线y＝x2的准线方程为________.
(2)顶点在原点，对称轴为x轴，且顶点到焦点的距离为3的抛物线的标准方程为________.
(3)已知点P在抛物线y2＝－5x上，且点A(－3,0)，则|PA|的最小值为________.
答案 (1)y＝－2 (2)y2＝12x或y2＝－12x (3)
题型一 由抛物线的几何性质求标准方程
例1 抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋＝1的短轴所在的直线，抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，求抛物线的标准方程及准线方程．
[解] 因为椭圆＋＝1的短轴在x轴上，所以抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，
因为抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，所以＝4，即p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝16x或y2＝－16x，准线方程分别为x＝－4或x＝4.
求抛物线的标准方程要明确四个步骤
(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口方向)；
(2)设方程(根据对称轴和开口方向设出标准方程)；
(3)找关系(根据条件列出关于p的方程)；
(4)得出抛物线的标准方程．
[跟踪训练1] 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线的方程．
解 由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上．
故可设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)．
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，∴点A与点B关于x轴对称，
∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，
∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4，得x2＋3＝4，
∴x＝±1，
∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，得()2＝±a，∴a＝±3.
∴所求抛物线的方程是y2＝3x或y2＝－3x.
题型二 抛物线的简单几何性质
例2 如图，已知边长为2的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴．
(1)求以O为顶点且过点A，B的抛物线方程；
(2)求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率e.
[解] (1)如图，设AB⊥x轴于E，则由△AOB是等边三角形，且|AB|＝2得E(，0)，∴A(，1)．
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
则1＝2·p·，∴2p＝.
∴抛物线的方程为y2＝x.
(2)由(1)知2p＝，∴＝.
∴抛物线的准线方程为x＝－，
焦点坐标为，离心率e＝1.
求抛物线的标准方程及其几何性质的题目，关键是求抛物线的标准方程，若能得出抛物线的标准方程，则其几何性质就会迎刃而解．
[跟踪训练2] 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
解 (1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA＝－kPB，即＝－.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝，x2＝，从而有＝，即＝－，得y1＋y2＝－4，故直线AB的斜率kAB＝＝＝－1.
题型三 抛物线的最值问题
例3 已知抛物线y2＝2x.
(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)在抛物线上求一点M，使M到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
[解] (1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，
则|PA|2＝2＋y2＝2＋.
因为x≥0，故当x＝0时，|PA|min＝，
故距A最近的点的坐标为(0,0)．
(2)设点M(x0，y0)是抛物线y2＝2x上任一点，
则M到直线x－y＋3＝0的距离为
d＝＝＝，
当y0＝1时，dmin＝＝，
所以点M的坐标是.
有关抛物线最值问题的两种解题思路
一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，获得有关距离的含变量的代数关系式，用求目标函数最值的方法解决．
[跟踪训练3] 已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上．若抛物线上一动点P到点A与到F距离之和的最小值为4，且点A在抛物线的内部，求抛物线C的标准方程．
解 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则其准线为x＝－，过P点作抛物线准线的垂线，垂足为H，由抛物线的定义知，|PH|＝|PF|.当H，P，A三点共线时，|PA|＋|PF|最小．所以|PF|＋|PA|的最小值为＋2＝4，所以p＝4，所以抛物线C的标准方程为y2＝8x.
1．抛物线y＝x2上一点A(x0,2)到其对称轴的距离为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案 B
解析 抛物线的对称轴为y轴，把A(x0,2)代入y＝x2，得x＝16，即|x0|＝4，故点A到y轴的距离为4.
2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 设抛物线的焦点为F，顶点为O，由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而点F的坐标为，所以点P的横坐标为，代入抛物线的方程得y＝±，故点P的坐标为，故选B.
3．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则以下结论中正确的是( )
A．△ABF是等边三角形
B．|BF|＝3
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
答案 ACD
解析 以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以△ABF是等边三角形，所以∠FBD＝30°.因为△ABF的面积为|BF|2＝9，所以|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.故选ACD.
4．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________.
答案
解析 设点B(x，y)，则x＝y2≥0，
所以|AB|＝＝＝＝.所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝.
5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，求点A的坐标．
解 由y2＝4x，知F(1,0)．∵点A在y2＝4x上，
∴不妨设A，
则＝，＝.
代入·＝－4，得＋y(－y)＝－4，
化简，得y4＋12y2－64＝0.
∴y2＝4或y2＝－16(舍去)，∴y＝±2.
∴点A的坐标为(1,2)或(1，－2)．
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A．2 B．1
C．4 D．8
答案 C
解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，点P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，焦点F到抛物线准线的距离等于4.故选C.
2．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )
A． B．
C． D．3
答案 A
解析 设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值为.故选A.
3．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
答案 D
解析 ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．
4．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 C
解析 设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程为y＝－2，由圆与准线相交知416，所以8y0＋(y0－2)2>16，即有y＋4y0－12>0，解得y0>2或y0<－6，又因为y0≥0，所以y0>2，故选C.
5．(多选)已知抛物线C：y2＝4px(p>0)的焦点为F，过焦点的直线与抛物线分别交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点S，与准线l交于点T，且|FA|＝2|AS|，则( )
A．|TS|＝2p B．＝2
C．|BF|＝p D．|AF|＝p
答案 ABD
解析 过点A作准线l的垂线，垂足为M，AM与y轴交于点N，因为|FA|＝2|AS|，所以＝，所以|AN|＝|OF|＝，所以|AM|＝p，根据抛物线的定义知|AF|＝p，因为|AS|＝|AF|＝p，所以|SF|＝2p，所以|TS|＝2p.根据抛物线的性质：＋＝，所以＋＝，解得|BF|＝4p，所以＝＝2.故选ABD.
二、填空题
6．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝2，则|BF|＝________.
答案 2
解析 因为抛物线的方程为y2＝4x，所以p＝2，F(1,0)．又|AF|＝2，所以xA＋＝2，所以xA＋1＝2，所以xA＝1，即AB⊥x轴，F为AB的中点，所以|BF|＝|AF|＝2.
7．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是________.
答案 (－∞，2]
解析 设点Q的坐标为.由|PQ|≥|a|，得|PQ|2≥a2，即y＋2≥a2，整理得y(y＋16－8a)≥0.∵y≥0，∴y＋16－8a≥0.即a≤2＋恒成立．而2＋的最小值为2.∴a≤2.
8．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为________，四边形ABED的面积为________.
答案 4 3＋6
解析 由题意，不妨设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，解得p＝4，故C的焦点到准线的距离为4.易知四边形ABED是梯形，梯形的上底长|DE|＝2，下底长|AB|＝4，高为＋＝3，故四边形ABED的面积为×(2＋4)×3＝3＋6.
三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
解 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，
设A(x0，y0)，由题意知M.
因为|AF|＝3，所以y0＋＝3，
因为|AM|＝，
所以x＋2＝17，
所以x＝8，代入x＝2py0，得
8＝2p，解得p＝2或p＝4.
所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线的方程及|OM|的值．
解 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
则其焦点坐标为，准线方程为x＝－，
∵M在抛物线上，
∴M到焦点的距离等于其到准线的距离，即
＝＝3.
解得p＝2，y0＝±2，∴抛物线的方程为y2＝4x.
点M(2，±2)，根据两点间距离公式有
|OM|＝ ＝2.
B级：“四能”提升训练
1．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．
解 由已知得抛物线的焦点为F，
∵抛物线关于x轴对称，|OA|＝|OB|，
∴△ABO为等腰三角形．
∴A，B两点关于x轴对称．
设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，
∵△ABO的垂心恰为抛物线的焦点，∴BF⊥OA.
则kBF·kOA＝－1，即·＝－1.
又y＝2px0，∴x0＝p.∴直线AB的方程为x＝.
2．一抛物线拱桥跨度为52 m，水面距拱顶6.5 m，一竹排上载有一宽4 m，高6 m的大木箱，问竹排能否安全通过？
解 如图所示，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为
x2＝－2py(p>0)，
易知A(26，－6.5)，
设B(2，y)，由262＝－2p×(－6.5)得p＝52，
∴抛物线方程为x2＝－104y.
当x＝2时，y＝－，
∵6.5－＝>6，∴竹排能安全通过．
12.6 双曲线及其方程
2.6.1 双曲线的标准方程
(教师独具内容)
课程标准：1.经历从具体问题情境抽象出双曲线模型的过程，掌握双曲线的定义和标准方程.2.能利用双曲线的定义和标准方程分析解决有关问题．
学法指导：学习本节内容时，应注意以下几点：1.先通过动手试验得到双曲线模型的直观图形，再通过“数”的精确描述来下定义；2.要善于运用类比来学习，即类比椭圆的定义和标准方程，找出它们之间的联系和区别；3.体会数形结合思想方法在学习中的作用．
教学重点：双曲线的定义及标准方程．
教学难点：双曲线标准方程的推导.
一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s．已知A，B两地相距800 m，若此时的声速为340 m/s，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．
知识点一 双曲线的定义
一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距.
知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点坐标 (±c,0) (0，±c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
特别提醒：对双曲线标准方程中参数的理解
(1)在双曲线的标准方程中，c2＝a2＋b2，c>a>0，其中c最大，a，b的大小关系可能为a＝b，ab，其中a，b，c构成如图的直角三角形，我们把它称为“特征三角形”．
(2)方程中的两个参数a与b，确定双曲线的形状和大小，是双曲线的定型条件，焦点F1，F2的位置，是双曲线的定位条件，它决定双曲线标准方程的类型．
(3)方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的充要条件：ABC≠0，且AB<0.若AC>0，则焦点在x轴上；若AC<0，则焦点在y轴上．
1．双曲线的定义中应注意的三个问题
(1)注意定义中的条件2a<|F1F2|不可缺少．若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；若2a>|F1F2|，则动点的轨迹不存在．
(2)注意定义中的常数2a是小于|F1F2|且大于0的实数．若a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
(3)注意定义中的关键词“绝对值”．若去掉定义中的“绝对值”，则动点的轨迹只能是双曲线的一支．
2．求双曲线标准方程的方法
(1)定义法：若由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线，可根据双曲线的定义确定其方程，以减少运算量．
(2)待定系数法，其步骤为：
①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；
②设方程：根据上述判断设标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)；
③寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c的方程组；
④得方程：解方程组代入所设方程即为所求．
3．方程mx2＋ny2＝1(mn<0)表示的曲线为双曲线，它包含焦点在x轴上和在y轴上两种情形，方程变形为＋＝1.
当m>0，n<0时，方程为－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，此时a＝，b＝；
当m<0，n>0时，方程为－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，此时a＝，b＝.在求双曲线的标准方程时，若焦点的位置不确定，则常考虑上述设法．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在双曲线的标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．( )
(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．( )
(3)双曲线－＝1的焦点在x轴上，且a＞b.( )
(4)若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(－3，－1)的距离，则点P的轨迹为双曲线．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)双曲线x2－4y2＝1的焦距为________.
(2)与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线的方程为________.
(3)双曲线－＝1上一点P到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为________.
答案 (1) (2)－＝1 (3)23或7
题型一 双曲线的定义
例1 已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝17，求|PF2|的值．
[解] 在双曲线－＝1中，
因为a＝8，b＝6，故c＝10.
由P是双曲线上一点，得||PF1|－|PF2||＝16.
所以|PF2|＝1或|PF2|＝33.
又|PF2|≥c－a＝2，得|PF2|＝33.
本题容易忽略|PF2|≥c－a这一条件，而得出错误的结论|PF2|＝1或|PF2|＝33.在双曲线中，为什么有|PF2|≥c－a呢？事实上，设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P点为双曲线右支上的点，则由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a.又由三角形两边之和大于第三边可知，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2c(当且仅当P在线段F1F2上时等号成立)，∴|PF2|＋2a＋|PF2|≥2c，即|PF2|≥c－a.
[跟踪训练1] 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
解 ①当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
②当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
③当k<0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
④当0⑤当k>1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆.
题型二 双曲线的标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在坐标轴上，且过M，N两点；
(2)两焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，且过点P.
[解] (1)解法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵点M，N在双曲线上，
∴无解．
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)．
∵点M，N在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
解法二：∵双曲线的焦点位置不确定，
∴设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
∵点M，N在双曲线上，则有
解得
∴所求双曲线的标准方程为－＋＝1，
即－＝1.
(2)由已知可设双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，
代入点P可得－＝1， ①
又a2＋b2＝25, ②
由①②联立可得a2＝9，b2＝16，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
求双曲线标准方程的一般步骤
(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．
(2)设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，也可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b，c(m，n)代入所设方程即为所求．
[跟踪训练2] 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)经过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
解 (1)解法一：若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
由于点P和Q在双曲线上，
所以无解．
若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
将P，Q两点坐标分别代入可得
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
解法二：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
因为点P，Q在双曲线上，
所以解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)依题意可设双曲线的方程为
－＝1(a＞0，b＞0)．
则有解得
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.
题型三 双曲线定义的应用
例3 如图，F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[解] 因为双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
由于c－a＝5－3＝2,10>2,22>2，故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝0，
所以∠F1PF2＝90°，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
1．双曲线中的焦点三角形
双曲线上一点与双曲线的两个焦点构成的三角形称为焦点三角形，如本题中的△PF1F2.
2．求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式S△PF1F2＝|F1F2|·|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题时，要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系．
[跟踪训练3] (1)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围；
(2)双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，求点P的坐标．
解 (1)因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，
所以即
所以m>5.
所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．
(2)由双曲线的方程知，a＝3，b＝4，c＝5，不妨设点P在第一象限，坐标为(xP，yP)，F1为左焦点，F2为右焦点，那么
由①得，(|PF1|－|PF2|)2＝36，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
所以|PF1|·|PF2|＝32.
在直角三角形PF1F2中，|PF1|·|PF2|＝|F1F1|·yP＝32，所以yP＝，代入双曲线的方程得，xP＝，即点P的坐标是，再根据双曲线的对称性得点P的坐标还可以是，，.
题型四 利用双曲线的定义求轨迹方程
例4 如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指出它表示什么曲线．
[解] 如图，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理得sinA＝，
sinB＝，sinC＝.
因为2sinA＋sinC＝2sinB，
所以2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
即|AC|－|BC|＝.
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|.
所以由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支且不包括点(，0)．
因为a＝，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝6.
所以顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．
故顶点C的轨迹为双曲线右支且除去点(，0)．
寻找动点C的约束条件很关键．解答本题应注意：
(1)将角的关系2sinA＋sinC＝2sinB转换为三角形边的关系|CA|－|CB|＝|AB|，然后联想双曲线的定义使问题简化．
(2)不可忽视三角形的条件，由点A，B，C不共线，除去特殊点．
[跟踪训练4] 如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解 ∵圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
∴圆心为F1(－5,0)，半径r1＝1.
∴圆F2：(x－5)2＋y2＝42，
∴圆心为F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3<|F1F2|＝10，
∴M点的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，
且a＝，c＝5，∴b＝，
∴动圆圆心M的轨迹方程为
x2－y2＝1.
1．动点P到点M(1,0)的距离与到点N(5,0)的距离之差为2a，则当a＝1和a＝2时，点P的轨迹分别是( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
答案 C
解析 由题意，知|MN|＝4，当a＝1时，|PM|－|PN|＝2a＝2＜4，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝2时，|PM|－|PN|＝2a＝4＝|MN|，点P的轨迹为以N为端点沿x轴向右的一条射线．故选C.
2．若双曲线的一个焦点坐标为(0，－2)，且经过点(3,2)，则双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．y2－＝1 D．－＝1
答案 C
解析 设P(3,2)，F1(0，－2)，F2(0,2)，则|PF1|＝5，|PF2|＝3，∴2a＝|PF1|－|PF2|＝2，即a＝1，又双曲线的焦点在y轴上，∴该双曲线的标准方程为y2－＝1.
3．(多选)若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．x2－＝1 D．x2－y2＝1
答案 AD
解析 不妨设曲线的焦点为F1，F2，假设|PF1|＝2|PF2|，若是椭圆，则|PF1|＋|PF2|＝2|PF2|＋|PF2|＝3|PF2|＝2a，即|PF1|＝，|PF2|＝；若是双曲线，则|PF1|－|PF2|＝2|PF2|－|PF2|＝|PF2|＝2a，即|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
可以验证，对于选项B，C，上述条件下的数量关系都不能保证构成三角形PF1F2，只有A，D中的|PF1|，|PF2|，|F1F2|能构成三角形．即存在“Ω点”的曲线是＋＝1和x2－y2＝1.
4．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________.
答案 －y2＝1
解析 由题意可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由·＝0得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.又根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝±2a，两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，b2＝c2－a2＝5－4＝1.所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
5．已知双曲线的两个焦点F1，F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．
解 若以线段F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式．由题意得2a＝24,2c＝26.
所以a＝12，c＝13，b2＝132－122＝25.
此时双曲线的焦点在x轴上，
双曲线的方程为－＝1.
若以线段F1F2所在的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系．
此时双曲线的焦点在y轴上，
则双曲线的方程为－＝1.
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．在方程mx2＋ny2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
答案 D
解析 方程可化为＋y2＝1，∵mn<0，∴<0.∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．
2．已知方程－＝1表示的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )
A．k>5 B．k>5或－2C．k>2或k<－2 D．－2答案 B
解析 由于方程－＝1只需满足(k－5)与(|k|－2)同号，方程即能表示双曲线，所以(k－5)(|k|－2)>0，即或解得k>5或－23．若F1，F2是双曲线8x2－y2＝8的两焦点，点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，则△PF1F2的周长为( )
A．17 B．16
C．20 D．16或20
答案 D
解析 双曲线8x2－y2＝8化为标准方程为x2－＝1，所以a＝1，c＝3，|F1F2|＝2c＝6.因为点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，所以|PF1|＝|F1F2|＝6或|PF2|＝|F1F2|＝6，不妨设|PF1|>|PF2|，当|PF1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF2|＝|PF1|－2a＝6－2＝4，所以△PF1F2的周长为6＋6＋4＝16；同理当|PF2|＝6时，△PF1F2的周长为6＋6＋8＝20.故选D.
4．已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为( )
A．8 B．9
C．16 D．20
答案 B
解析 由已知，得|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20.又|AB|＝4，则|AF2|＋|BF2|＝16.根据双曲线的定义，知2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，所以4a＝|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9.
5．(多选)若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线可能是下图中的( )
答案 CD
解析 方程可化为y＝ax＋b和＋＝1.从选项B，D中的两个椭圆看，a，b∈(0，＋∞)，但由B中直线可知a<0，b<0，矛盾，故B错误；由D中直线可知a>0，b>0，故D正确．由A中双曲线可知a<0，b>0，但直线中a>0，b>0，矛盾，故A错误．由C中的双曲线可知a>0，b<0，和直线中a>0，b<0一致，故C正确．故选CD.
二、填空题
6．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且·＝0，||·||＝2，则该双曲线的标准方程是__________________.
答案 －y2＝1
解析 ∵·＝0，∴⊥，∴||2＋||2＝40.∵|||－|||＝2a，∴||·||＝20－2a2＝2，∴a2＝9，b2＝1，∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
7．已知双曲线－＝1上一点P到F(3,0)的距离为6，O为坐标原点，若＝(＋)，则||的值为________.
答案 1或5
解析 如图，当P在右支上时，F(3,0)是右焦点，F1(－3,0)是左焦点，∵|PF1|－|PF|＝2a＝4，
∴|PF1|＝10.
∵＝(＋)，
∴Q为PF的中点，
则||＝|PF1|＝5.
当P在左支上时，同理可得||＝1.
综上所述，答案为1或5.
8．已知椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是________，△F1PF2的面积为________.
答案
解析 不妨设点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点，因为P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2.又P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝2，两式联立，
得|PF1|＝＋，|PF2|＝－.又|F1F2|＝4，根据余弦定理可以求得cos∠F1PF2＝.
sin∠F1PF2＝＝，
所以S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝.
三、解答题
9．已知椭圆x2＋2y2＝32的左、右两个焦点分别为F1，F2，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4.求动点P的轨迹E的方程．
解 椭圆的方程可化为＋＝1，
所以|F1F2|＝2c＝2＝8，
又因为|PF1|－|PF2|＝4<8.
所以动点P的轨迹E是以F1(－4,0)，F2(4,0)为焦点，
2a＝4，a＝2的双曲线的右支，
由a＝2，c＝4得b2＝c2－a2＝16－4＝12，
故动点P的轨迹E的方程为－＝1(x≥2)．
10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
解 (1)椭圆的方程可化为＋＝1，
焦点在x轴上，且c＝＝，
故设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则有解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设点M在右支上，则有
|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，
又|F1F2|＝2，
所以在△MF1F2中，边MF1最长，
cos∠MF2F1＝＜0，
所以∠MF2F1为钝角，△MF2F1为钝角三角形．
B级：“四能”提升训练
1．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离．
解 如图所示，不妨设点M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，则由·＝0可得MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线的定义知，m－n＝2a＝8， ①
又m2＋n2＝(2c)2＝80， ②
由①②得mn＝8，
所以S△MF1F2＝mn＝4＝|F1F2|·h，
所以h＝.
2．A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角．
解 如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5，2)．
因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．
设敌炮阵地P的坐标为(x，y)，
因为kBC＝－，BC的中点D(－4，)，
所以直线lPD：y－＝(x＋4)．①
又|PB|－|PA|＝4，
故P在以A，B为焦点的双曲线的右支上．
则双曲线的方程为－＝1(x>0)．②
联立①②式，得x＝8，y＝5，
所以点P的坐标为(8,5)．
因此kPA＝＝.故炮击的方向角为北偏东30°.
12.5 椭圆及其方程
2.5.2 椭圆的几何性质
(教师独具内容)
课程标准：1.掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等几何性质.2.能用椭圆的几何性质求椭圆的方程.3.能用椭圆的几何性质分析解决有关问题．
学法指导：在研究椭圆的几何性质时，首先要从“形”的方面观察椭圆具有哪些几何性质；再从“数”的方面(即利用椭圆方程)推导椭圆具有哪些几何性质；然后要充分利用图形的形象直观性准确把握并熟记这些性质；最后，在解决具体问题时，要根据具体情况，灵活地运用这些性质解题．
教学重点：利用椭圆的几何性质解决问题．
教学难点：椭圆离心率对椭圆形状的影响.
从画椭圆的实际操作中，我们可以发现确定一个椭圆有两个参数，一个是|F1F2|的长度(即2c)，另一个是绳子长(即|PF1|＋|PF2|)，也就是2a.我们知道，当a＞c时，就可以画出椭圆，通过实际操作，我们可以发现，当c确定(即F1，F2确定)时，绳子越长，椭圆越圆，绳子越短，椭圆越扁．同样，若绳子长度确定，F1，F2两点相距越近，椭圆越圆，F1，F2两点相距越远(不超过2a)，椭圆越扁，这是为什么呢？由此可以得出什么结论？
知识点一 椭圆的几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
对称性 对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0)
顶点 (±a,0)，(0，±b) (0，±a)，(±b,0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±c,0) (0，±c)
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝(0知识点二 椭圆几何性质的应用
(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质．
(2)明确a，b，c的几何意义，a是半长轴长，b是半短轴长，c是半焦距，不要与长轴长、短轴长、焦距混淆，由a2＝b2＋c2，可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边．这说明，以椭圆任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长为a.如图所示，|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a.
(3)椭圆上的所有点中，到给定焦点距离最大和最小的点，分别是长轴的两个端点．若椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1(－a,0)，A2(a,0)到右焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c.
知识点三 椭圆的离心率对椭圆形状的影响
(1)椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率，记作e＝.∵a>c>0，∴0(2)＝＝＝，e越趋近于1，则的值越小，因此椭圆越扁；反之，e越趋近于0，则的值越大，这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2.
1．椭圆＋＝1(a>b>0)与椭圆＋＝λ和椭圆＋＝λ(a>b>0，λ>0)的离心率相同．
2．椭圆中的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2称为焦点三角形．其周长为2(a＋c)．令r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.( )
(2)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．( )
(3)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长为a.( )
(4)椭圆＋＝1的焦距为6.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)椭圆＋y2＝1的离心率为________.
(2)设P(m，n)是椭圆＋＝1上任意一点，则m的取值范围是________.
(3)椭圆mx2＋ny2＝－mn(m答案 (1) (2)[－5,5] (3)(0，±)
题型一 椭圆的几何性质
例1 已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．
[解] 椭圆的方程可化为＋＝1，
∵m－＝>0，∴m>.
∴椭圆的焦点在x轴上．
即a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得 ＝，
∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，.
解决有关椭圆的问题一般应先弄清椭圆的类型，而椭圆的类型又决定于焦点的位置．
(1)要掌握好椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率．
(2)熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质，这些基本概念是解决计算问题、证明问题、求解轨迹问题及其他有关问题的基础和关键．
[跟踪训练1] 对椭圆C1：＋＝1(a>b>0)和椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的几何性质的表述，正确的是( )
A．范围相同 B．顶点坐标相同
C．焦点坐标相同 D．离心率相同
答案 D
解析 椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，顶点坐标是(－a,0)，(a,0)，(0，－b)，(0，b)，焦点坐标是(－c,0)，(c,0)，离心率e＝；椭圆C2：＋＝1(a>b>0)范围是－a≤y≤a，－b≤x≤b，顶点坐标是(－b,0)，(b,0)，(0，－a)，(0，a)，焦点坐标是(0，－c)，(0，c)，离心率e＝，综上所述，二者只有离心率相同.
题型二 利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是6，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[解] (1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知得2a＝6，所以a＝3.
又e＝＝，所以c＝2.所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)由题意知焦点在x轴上，故可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，且两焦点为F′(－3，0)，F(3,0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以c＝b＝3.所以a2＝b2＋c2＝18.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
求椭圆标准方程的常用方法
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法．
(2)根据已知条件“选标准，定参数”．其一般步骤为：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2，b2的值；③写出标准方程．
[跟踪训练2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)过点(3,0)，离心率e＝.
解 (1)由题意知2a＝4b，所以a＝2b.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．代入点(2，－6)，得＋＝1或＋＝1，将a＝2b代入，得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13，故所求的椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)当椭圆的焦点在x轴上时，有a＝3，＝，
所以c＝，所以b2＝a2－c2＝9－6＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
当椭圆的焦点在y轴上时，有b＝3，＝，
所以＝，解得a2＝27，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
题型三 椭圆的离心率问题
例3 已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．
[解] 解法一：由已知可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，因为c2＝a2－b2，F1(－c,0)，PF1⊥F1A，
所以P，即P，
因为AB∥PO，所以kAB＝kOP，即－＝－，
所以b＝c，所以a2＝2c2，所以e＝＝.
解法二：由解法一可知P，
又因为△PF1O∽△BOA，所以＝，
所以＝，所以b＝c，所以a2＝2c2，
所以e＝＝.
由离心率的定义可知，求e的值，就是求a和c的值或a与c的关系，很多题目由于受到已知条件的限制不能同时解出a和c的值，只能将条件整理成a与c的关系式，进而求出.
[跟踪训练3] 已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 设P(m，n)，∵·＝c2＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2，
∴m2＋n2＝2c2,2c2－m2＝n2，①
把P(m，n)代入椭圆＋＝1得b2m2＋a2n2＝a2b2，②
把①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2，
∴b2≤2c2，∴a2≤3c2，∴e＝≥.
又m2＝≤a2，∴a2≥2c2，∴e＝≤.综上，此椭圆离心率的取值范围是.故选C.
题型四 椭圆的实际应用题
例4 我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a，b分别为椭圆的半长轴长、半短轴长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)．
[解] 设所求轨道方程为＋＝1(a>b>0)，
且c＝.
∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34，∴a＝438，c＝396.
于是b2＝a2－c2＝35028.
∴所求轨道方程为＋＝1.
设变轨时，探测器位于点P(x0，y0)，则
x＋y＝ab≈81975.1，＋＝1，
解得x0≈239.7，y0≈156.7.
∴ －R≈187.
故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里．
处理与椭圆有关的实际问题的一般步骤：首先结合所给的图形及题意建立适当的平面直角坐标系，然后利用相关的几何知识分析问题．
注意：椭圆上一点到焦点的距离d的取值范围为a－c≤d≤a＋c，等号分别对应天文上的近日点与远日点．
[跟踪训练4] 已知某荒漠上F1，F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1，F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园，按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.
(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；
(2)问农艺园的最大面积能达到多少？
解 (1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则F1(－1,0)，F2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x′，y′)，则由已知得|PF1|＋|PF2|＝4.由椭圆定义知点P在以F1，F2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a＝2，c＝1，则b＝.∴P点轨迹方程为＋＝1(y≠0)，
同理Q点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)S PF1QF2＝|F1F2|·|yP|≤2c·b＝2(km2)，
所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大，为2 km2.
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A．(±13,0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
答案 D
解析 由题意知a＝13，b＝10，焦点在y轴上．所以c＝＝＝.故焦点坐标为(0，±)．
2．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于( )
A．4 B．5
C．7 D．8
答案 D
解析 因为椭圆的长轴在y轴上，所以a2＝m－2，b2＝10－m，因为焦距为4，所以c＝2.所以c2＝a2－b2＝2m－12＝4.所以m＝8.
3．(多选)已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则( )
A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为
C．圆D在椭圆C的内部 D．|PQ|的最小值为
答案 BC
解析 由椭圆方程可得，a2＝6，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝5，∴焦距为2c＝2，A错误；离心率e＝＝＝，B正确；设P(x，y)(－≤x≤)，则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝2＋≥>，∴圆D在椭圆C的内部，C正确；|PQ|的最小值为 －＝，D错误．故选BC.
4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________，△AF1F2的面积的最大值为________.
答案 ＋＝1 8
解析 由△ABF2的周长＝4a＝16，得a＝4，又由离心率为，即＝，得c＝2，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，所以椭圆C的方程为＋＝1.当点A为短轴的端点时，△AF1F2的面积最大，S△AF1F2＝×2cb＝8.
5．若椭圆mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
解 (1)当0(2)当m>4时，长轴长和短轴长分别为，4，
焦点坐标为，，
顶点坐标为，，(－2,0)，(2,0).
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
答案 B
解析 椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知其焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝，又2b＝2，所以b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，故所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 因为焦点在x轴上，所以a＝，b＝，所以c＝＝，e＝＝＝，所以m＝.
3．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF2为等腰直角三角形，所以＝.
4．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B．
C． D．
答案 C
解析 设该椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为a，b，c，因为·＝0，所以点M的轨迹是以原点O为圆心，半焦距长c为半径的圆．又点M总在椭圆内部，所以该圆在椭圆的内部，因此c5．(多选)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．|PF1|＋|PF2|＝2
B．离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切
答案 AD
解析 对于A，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以正确；对于B，依题意知，a＝，b＝1，c＝1，所以e＝＝＝，所以错误；对于C，因为|F1F2|＝2c＝2，当P为椭圆短轴的顶点时，△PF1F2的面积取得最大值为·2c·b＝c·b＝1，所以错误；对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径r＝c＝1，圆心到直线x＋y－＝0的距离为＝1，也即圆心到直线x＋y－＝0的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，所以正确．故选AD.
二、填空题
6．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于________.
答案
解析 根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9.又因为a2－b2＝c2，c>0，所以a＝5，c＝4，故e＝＝.
7．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为________.
答案 －1
解析 如图，连接BF2.因为△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点．所以F2B⊥BF1，∠BF2F1＝30°，又因为|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝c，|BF2|＝c，由椭圆的定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以＝－1.所以椭圆的离心率e＝－1.
8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________，此时点P的坐标为________.
答案 6 (2,0)
解析 由椭圆＋＝1可得F(－1,0)，O(0,0)．设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.当x＝2时，y＝0，即此时点P的坐标为(2,0)．
三、解答题
9．求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；
(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为.
解 (1)由题意知，2c＝8，c＝4，所以e＝＝＝，所以a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由已知，得所以从而b2＝9，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
10．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
解 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则有F1(－c,0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a,0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程＋＝1，得y＝±，所以P.
又PF2∥AB，所以△PF1F2∽△AOB.
所以＝，即＝，所以b＝2c.
则b2＝4c2，即a2－c2＝4c2，所以＝.
所以e＝＝.
B级：“四能”提升训练
1．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离之和为8海里的地方发现过鱼群．以A，B所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，问能否确定P处的位置(点P的坐标)
解 (1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，
则c＝2，a＝4，故b2＝a2－c2＝12，
所以曲线C的标准方程是＋＝1.
(2)由于A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，
故点P距A，B两岛的距离比为5∶3，
故点P距A，B两岛的距离分别为5海里，3海里．
设P(x，y)，由|PB|＝3，得＝3，
由
得x＝2，y＝±3，
∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3)．
2．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
解 (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－32＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．
∴≥，即e≥.
又0∴离心率e的取值范围是.
(2)证明：由(1)知mn＝b2，
∴S△PF1F2＝mnsin60°＝b2，
即△PF1F2的面积只与短轴长有关．
1第二章 单元质量测评
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若直线(2k2＋k－3)x＋(k2－k)y－4k＋1＝0与直线2x－3y－5＝0平行，则k值为( )
A．－或1 B．－或1
C．－ D．1
答案 C
解析 因为两直线平行，所以有2(k2－k)＋3(2k2＋k－3)＝0，即8k2＋k－9＝0，解得k＝－或k＝1.检验知k＝1时不成立，故k＝－.
2．“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当m＝2时，方程＋＝1为x2＋y2＝1，该方程表示圆，即充分性不成立．若方程＋＝1表示椭圆，则解得13．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案 D
解析 题中的方程可化为－＝1，∴该双曲线的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．从而椭圆方程中，a＝4，c＝2，∴b＝2.∵焦点在y轴上，∴椭圆方程为＋＝1.故选D.
4．已知椭圆＋＝1的焦距等于2，则实数m的值为( )
A．5 B．8
C．16 D．3或5
答案 D
解析 若椭圆的焦点在x轴上，则由已知得2＝2，解得m＝5；若椭圆的焦点在y轴上，则由已知得2＝2，解得m＝3.综上，知所求实数m的值为3或5.
5．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
答案 A
解析 设C(3,1)，圆心O(1,0)，根据直线与圆相切的性质知AB⊥OC，∵kOC＝＝，∴kAB＝－2，根据圆与直线的方程可知一个切点为(1,1)，∴直线AB的方程由点斜式可得y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.故选A.
6．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
答案 A
解析 对于椭圆C1，∵长轴长2a1＝26，∴a1＝13，又其离心率e1＝＝，∴c1＝5.由题意知曲线C2为双曲线，且与椭圆C1同焦点，∴c2＝5，又2a2＝8，∴a2＝4，b2＝＝3.又焦点在x轴上，故曲线C2的标准方程为－＝1.故选A.
7．已知P为双曲线－＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为其焦点，若∠F1PF2＝60°，则S△F1PF2等于( )
A．b2 B．ab
C．|b2－a2| D．|a2＋b2|
答案 A
解析 ∵|PF1|－|PF2|＝±2a，且4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2.∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin60°＝b2.故选A.
8．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于( )
A．2 B．－2
C． D．－
答案 D
解析 设l：y＝k1(x＋2)，将y＝k1(x＋2)代入x2＋2y2＝2，得(1＋2k)x2＋8kx＋8k－2＝0，设中点P(x0，y0)，则x0＝，y0＝k1(x0＋2)＝，∴k2＝＝－，∴k1k2＝－.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的是( )
A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
答案 BD
解析 对于A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程＋＝1表示，所以不正确；对于B，当m＝0时，平行于y轴的直线方程形式为x＝2，所以正确；对于C，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tanθ(x－1)表示，所以不正确；对于D，设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据∥可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以正确．故选BD.
10．已知直线l：ax－y＋b＝0，圆M：(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2，则l与M在同一平面直角坐标系中的图形可能是( )
答案 BC
解析 圆M的圆心为(a，－b)，且过原点，可排除A；B项中由直线l可知，a>0，b<0，∴圆心(a，－b)在第一象限，满足条件；C项中由直线l可知a<0，b>0，∴圆心(a，－b)在第三象限，满足条件；D项中由直线l可知a<0，b<0，∴圆心(a，－b)在第二象限，与图形不符．故选BC.
11．已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是( )
A．双曲线C的方程为－y2＝1
B．双曲线C的离心率为
C．曲线y＝ex－2－1经过双曲线C的一个焦点
D．直线x－y－1＝0与双曲线C有两个公共点
答案 AC
解析 对于A，由已知y＝±x，可得y2＝x2，从而设所求双曲线的方程为x2－y2＝λ，又由双曲线C过点(3，)可得×32－()2＝λ，即λ＝1，故A正确；对于B，由双曲线C的方程可知a＝，b＝1，c＝2，从而双曲线C的离心率e＝＝＝，故B错误；对于C，因为双曲线C的右焦点坐标为(2,0)，满足y＝ex－2－1，故C正确；对于D，联立整理，得y2－2y＋2＝0，由Δ＝(2)2－4×2＝0，知直线与双曲线C只有一个交点，故D错误．故选AC.
12．已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k>0，C，A两点在x轴上方．则下列结论中一定成立的是( )
A．＋＝
B．若|AF|·|BF|＝p2，则k＝
C．·＝·
D．四边形ACBD面积的最小值为16p2
答案 AC
解析 因为AB的斜率为k，AB⊥CD，所以kCD＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为y＝k，由可得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝，同理可得|CD|＝＝2p(1＋k2)，则有＋＝，故A正确；·＝x1x2＋y1y2＝p2＋k2·＝p2＋k2＝p2＋k2p2－＝－p2与k无关，同理，·＝－p2，故·＝·，故C正确；若|AF|·|BF|＝p2，由＝x1x2＋(x1＋x2)＋p2得p2＋＝p2＋＝p2，解得k＝，故B错误；因为AB⊥CD，所以四边形ACBD的面积S四边形ACBD＝|AB|·|CD|＝··2p(1＋k2)＝＝2p2≥8p2，当且仅当k2＝，即k＝1时，等号成立，故D错误．故选AC.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是________.
答案 (x－1)2＋(y－1)2＝4
解析 易求得AB的中点为(0,0)，直线AB的斜率为－1，从而线段AB的垂直平分线为直线y＝x，根据圆的几何性质，知这条直线应该过圆心，将它与直线x＋y－2＝0联立得到圆心(1,1)，所以半径r＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
14．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________.
答案
解析 设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线方程为4x＋3y＋m＝0，由得3x2－4x－m＝0，由Δ＝0得m＝－，所以直线4x＋3y－8＝0与直线4x＋3y－＝0的距离＝为抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值．
15．设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是________.
答案 4＜r＜6
解析 注意到圆心C(3，－5)到已知直线的距离为＝5，结合图形可知有两个极端情形：
其一是如图所示的小圆，半径为4；
其二是如图所示的大圆，其半径为6，故4＜r＜6.
16．如图，F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝2，若双曲线C的右支上存在点P，使得PF1⊥PF2，设直线PF2与y轴交于点A，且△APF1的内切圆半径为，则|PF1|＋|PA|－|AF1|＝________，双曲线C的离心率为________.
答案 1 2
解析 因为PF1⊥PF2，且△APF1的内切圆半径为，所以|PF1|＋|PA|－|AF1|＝1，所以|PF2|＋2a＋|PA|－|AF1|＝1，所以|AF2|－|AF1|＝1－2a，由图形的对称性，可知|AF2|＝|AF1|，所以a＝.又|F1F2|＝2，所以2c＝2，即c＝1，所以双曲线C的离心率e＝＝2.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知抛物线C经过点(3,6)且焦点在x轴上．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)直线l：y＝kx－3过抛物线C的焦点F且与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点间的距离．
解 (1)∵抛物线C经过点(3,6)且焦点在x轴上，
∴设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，
∴62＝2×3p，∴p＝6.
∴y2＝12x.故抛物线C的标准方程为y2＝12x.
(2)由(1)知F(3,0)，代入直线l的方程得k＝1.
∴直线l的方程为y＝x－3，联立方程
消去y得x2－18x＋9＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝18.
∵AB过焦点F，∴|AB|＝x1＋x2＋6＝24.
18．(本小题满分12分)已知点P(＋1,2－)，M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
解 由题意得圆心为C(1,2)，半径r＝2.
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，∴切线的斜率k＝－＝1.
∴过点P的圆C的切线方程是
y－(2－)＝x－(＋1)，
即x－y＋1－2＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M在圆C外部．
当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，所以直线x－3＝0是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，
解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.
19．(本小题满分12分)如图所示，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点，
(1)求△ABF2的周长；
(2)若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．
解 由椭圆的方程＋＝1知，a＝4，b＝3，
∴c＝＝.
(1)△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|
＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4×4＝16.
(2)由c＝知F1(－，0)，F2(，0)，
又kl＝tan45°＝1，∴直线l的方程为x－y＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由
消去x整理，得25y2－18y－81＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝－.
∴|y1－y2|＝
＝＝，
∴S△ABF2＝|F1F2|·|y1－y2|＝×2×＝.
20．(本小题满分12分)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．
(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．
解 (1)证明：依题意可设AB方程为y＝kx＋2，
代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，
直线AO的方程为y＝x，直线BD的方程为x＝x2.
联立直线AO和BD的方程，
解得交点D的坐标为.
注意到x1x2＝－8及x＝4y1，
则有＝＝＝－2，
因此点D在定直线y＝－2(x≠0)上．
(2)依题意，知切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，
即x2－4ax－4b＝0，
由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.
故切线l的方程可写为y＝ax－a2.
分别令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐标分别为
N1，N2，
则|MN2|2－|MN1|2＝2＋42－2＝8，
即|MN2|2－|MN1|2为定值8.
21．(本小题满分12分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求k的取值范围．
解 (1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由已知得a＝，c＝2.
又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1得
(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即k2≠且k2<1.①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则
xA＋xB＝，xAxB＝，
由·>2得xAxB＋yAyB>2，
而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)×＋k×＋2＝，
于是>2，即>0，
解此不等式得由①②得故k的取值范围为∪.
22．(本小题满分12分)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆E于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
解 (1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
而|AF1|＋|AF2|＝|F1B|＋|BF2|＝2a，
所以4a＝8，解得a＝2.又e＝＝，
所以c＝a＝1，所以b2＝a2－c2＝3.
故所求椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由消去y，
整理得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，
所以m≠0，
Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，
即4k2－m2＋3＝0.①
此时x0＝－＝－，y0＝，
故P.
由得Q(4,4k＋m)．
假设在坐标平面内存在定点M满足条件，
由图形的对称性知，点M必在x轴上．
设M(x1,0)，则·＝0对满足①式的m，k恒成立．
因为＝，＝(4－x1,4k＋m)，
所以由·＝0，
得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，
即(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.②
由②式对满足①式的m，k恒成立，
所以有
解得x1＝1.
故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
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