2.3.3 直线与圆的位置关系
(教师独具内容)
课程标准：1.了解直线与圆的三种位置关系.2.掌握根据给定直线、圆的方程，判定直线与圆的位置关系的两种方法．
学法指导：通过直线与圆的位置关系的学习过程，更深入地体会用代数方法处理几何问题的思想，进一步感受到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步建立起自觉应用坐标法处理几何问题的思想．
教学重点：直线与圆的三种位置关系及其判定方法．
教学难点：用代数方法探求直线与圆的位置关系的过程.
一艘船在沿直线返回港口的途中，接到台风预报：台风中心位于船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘船不改变航线，那么它是否会受到台风影响？这个问题可归结为直线与圆是否有公共点的问题，也是我们这节课要研究的问题．
知识点 直线与圆的位置关系
(1)直线与圆有三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
(2)直线与圆位置关系的判定方法
①代数法
直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l与圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk，
Δ>0 直线l与圆M相交；
Δ＝0 直线l与圆M相切；
Δ<0 直线l与圆M相离.
②几何法
直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心为M(a，b)、半径为r的圆，圆心M到直线l的距离d＝.
d>r 直线l与圆M相离；
d＝r 直线l与圆M相切；
d
1．求圆的切线的方法
(1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：
先求切点与圆心的连线的斜率k，则由垂直关系，知切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为x＝x0或y＝y0.特别地，若(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2上一点，则过此点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：
几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线．
代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线．
2．切线段的长度公式
(1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为
d＝.
(2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为
d＝.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( )
(2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )
(3)直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是相交．( )
(4)当m＝2时，直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝1必相切．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．做一做
(1)设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是( )
A．±1 B．±
C．± D．±
(2)若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m＝________.
(3)直线4x－3y＋6＝0与圆2x2＋2y2－16x＋4y＝16的位置关系是________.
(4)当直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离时，则a的取值范围为________.
答案 (1)C (2)2 (3)相切 (4)(－∞，－1)∪(3，＋∞)
题型一 直线与圆位置关系的判断
例1 已知圆的方程是x2＋(y－1)2＝2，直线y＝x－b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？
[解] 解法一：联立得2x2－2(1＋b)x＋b2＋2b－1＝0 ①，其判别式Δ＝4(1＋b)2－8(b2＋2b－1)＝－4(b＋3)(b－1)，
当－30，方程①有两个不相等的实数根，直线与圆有两个公共点．
当b＝－3或b＝1时，Δ＝0，方程①有两个相等的实数根，直线与圆有一个公共点．
当b<－3或b>1时，Δ<0，方程①无实数根，直线与圆无公共点．
解法二：圆心(0,1)到直线y＝x－b的距离d＝，圆的半径r＝.
当d当d＝r，即b＝－3或b＝1时，直线与圆相切，有一个公共点．
当d>r，即b<－3或b>1时，直线与圆相离，无公共点．
直线与圆的位置关系的两种判断方法
(1)直线与圆的位置关系的两种判断方法中，若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较简单；若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离表达较复杂，则用代数法较简单．
(2)由直线与圆的位置关系求参数的问题，首先判断直线与圆的位置关系，然后将此转化为圆心到直线的距离与半径长的关系，并结合其他条件解题，注意半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形在解题中的应用．
[跟踪训练1] 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点？
(2)只有一个公共点？
(3)没有公共点？
解 解法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理，得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，则Δ＝4m(3m＋4)．
(1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0，即－解法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝.
(1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d>2，即－题型二 圆的切线问题
例2 已知圆C：x2＋y2＝25，求过点P(3,4)的圆的切线方程．
[解] ∵32＋42＝25，∴点P在圆C上．
由圆C：x2＋y2＝25知圆心C(0,0)，r＝5.
则CP的斜率kCP＝＝，
∵圆的切线垂直于经过切点的半径，
∴所求切线的斜率k＝－.
故经过点P的切线方程为y－4＝－(x－3)，
即3x＋4y－25＝0.
[结论探究] 将本例变为求过点Q的圆的切线方程．
解 ∵(－5)2＋2>25，∴点Q在圆外．
若所求直线斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y－＝k[x－(－5)]，
即kx－y＋5k＋＝0.
∵圆心C(0,0)到切线的距离等于半径5，
∴＝5，∴k＝.
故所求切线方程为x－y＋＋＝0，
即3x－4y＋25＝0.
若所求直线斜率不存在，则直线方程为x＝－5，圆心C(0,0)到x＝－5的距离为5，符合题意．
综上，过点Q的切线方程为x＋5＝0或3x－4y＋25＝0.
求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目．
(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程的步骤
①求斜率k；
②代入点斜式方程：y－y0＝k(x－x0)；
③讨论k＝0或斜率不存在两种情况．
(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，用几何方法求解的步骤
①设切线方程：y－y0＝k(x－x0)；
②利用圆心到直线的距离等于半径，求k.
注意：若求出的k值只有一个，则另一条切线的斜率一定不存在．
[跟踪训练2] (1)求圆x2＋y2＝10的切线方程，使得它经过点M(2，)；
(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．
解 (1)因为点M的坐标适合圆的方程，所以点M在圆x2＋y2＝10上，由题可知圆心为C(0,0)，则直线CM的斜率kCM＝，因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以所求切线的斜率k＝－.
故经过点M的切线方程为y－＝－(x－2)，
整理得2x＋y－10＝0.
(2)因为(－1－2)2＋(4－3)2＝10>1，
所以点A在圆外．
当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，
不满足题意．
设直线l的斜率为k，则方程为y－4＝k(x＋1)，
即kx－y＋4＋k＝0.
解法一：圆心(2,3)到切线l的距离为＝1，
解得k＝0或k＝－，
因此，所求直线l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0.
解法二：由于直线l与圆相切，所以方程组
只有一解．
消去y，得到关于x的一元二次方程(1＋k2)x2＋(2k2＋2k－4)x＋k2＋2k＋4＝0，
则Δ＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0，
解得k＝0或k＝－，
因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
题型三 直线被圆截得的弦长问题
例3 已知直线l：2x－y－1＝0和圆C：x2＋y2－2y－1＝0相交于A，B两点．求弦长|AB|.
[解] 解法一：由方程组消去y，
得5x2－8x＋2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为x1，x2是方程5x2－8x＋2＝0的两根，所以x1＋x2＝，x1x2＝.
由两点间距离公式，
得|AB|＝
＝
＝
＝×
＝× ＝.
解法二：已知圆方程可化为x2＋(y－1)2＝2，其圆心为(0,1)，半径长为r＝，设圆心到直线l的距离为d，则d＝＝，
弦长|AB|＝2＝2＝.
与圆的弦长有关问题的两种解法
(1)半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理d2＋2＝r2求解，这是常用解法．
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很繁琐，一般不用．
[跟踪训练3] 直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A，B两点，截得的弦长为4，求l的方程．
解 解法一：若直线l的斜率不存在，
则l：x＝5与圆C相切，不符合题意，所以直线l的斜率存在．设其方程为y－5＝k(x－5)，
即kx－y＋5(1－k)＝0.
如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝|AB|＝×4＝2.
所以|OH|＝＝，
所以＝，解得k＝或k＝2.
所以直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
解法二：若直线l的斜率不存在，
则l：x＝5与圆C相切，不符合题意，
所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，
且与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由消去y，
得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
所以Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)×25k(k－2)>0，
解得k>0，
又因为x1＋x2＝－，x1x2＝，
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．
所以|AB|＝
＝
＝
＝ ＝4，
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，
解得k＝或k＝2，均符合题意．
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
题型四 直线与圆的综合应用
例4 若过点A(4,0)的直线l与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( )
A．[－，3] B．(－，)
C． D．
[解析] (x－2)2＋y2＝1是以B(2,0)为圆心，1为半径的圆，易知点A在圆B外(如图)，要使过点A(4，0)的直线l与圆有交点，由图可知直线l的斜率取值范围为[kl1，kl2](l1，l2为过点A的圆B的切线)．
设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，设点B到直线l的距离为d，令d＝r＝1，得＝1，解得k＝±，所以kl1＝－，kl2＝.故直线l的斜率的取值范围是.
[答案] C
[条件探究] 若直线l：x－y＋b＝0与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，求b的取值范围．
解 ∵x－y＋b＝0，∴y＝x＋b，
∴b为直线l在y轴上的截距．
由图可知当l在l1与l2之间时和圆B有公共点．
由＝1，得b＝±－2.∴－－2≤b≤ －2.
数形结合思想在解析几何中的应用
在讨论直线与圆的位置关系时，要有勤于作图的习惯，即在读完题之后，通过图形语言将其中的关系展示出来，用代数方法解决的同时，更应重视运用圆的几何性质优化解题过程，要把数形结合的数学思想贯穿解析几何的始终．
[跟踪训练4] (1)直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b的取值范围是( )
A．|b|＝ B．－1C．－1≤b<1 D．非以上答案
(2)若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．(－∞，2－ ]∪[2＋，＋∞)
B．[2－，2＋ ]
C．(－∞，＋∞)
D．[2－，1]
答案 (1)B (2)B
解析 (1)曲线x＝含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分．在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与x＝(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图像，如图所示．相切时，b＝－，其他位置符合条件时需－1(2)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0整理为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，∴圆心坐标为(2,2)，半径长为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则圆心到直线的距离应小于等于，
令≤ ，∴2＋4＋1≤0.
∴－2－≤≤－2＋.
又直线l的斜率k＝－，
∴2－≤k≤2＋.故选B.
1．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
答案 D
解析 易知圆心坐标为(1,1)，半径r＝1，∵直线与圆相切，∴＝1，解得b＝2或b＝12.
2．过圆x2＋y2＝4上的一点(1，)的圆的切线方程是( )
A．x＋y－4＝0 B．x－y＝0
C．x＋y＝0 D．x－y－4＝0
答案 A
解析 易知点(1，)在圆上．过圆心与点(1，)的直线的斜率为，所以过点(1，)的圆的切线方程的斜率为－，所以切线方程为y－＝－(x－1)，即x＋y－4＝0.
3．(多选)已知圆C：x2＋y2－2x＝0，点A是直线y＝kx－3(k∈Z)上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆A与圆C没有公共点，则整数k的值可能为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
答案 ABC
解析 圆C的方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，半径为1，由题意可得，圆心(1,0)到直线y＝kx－3的距离大于2，即>2，解得4．过点P(a,5)作圆(x＋2)2＋(y－1)2＝4的切线，切线段长为2，则a的值为________.
答案 －2
解析 点P(a,5)与圆心(－2,1)的距离
d＝，
又圆的半径为2，所以(2)2＋22＝(a＋2)2＋16，解得a＝－2.
5．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)若直线l与圆C交于A，B两点，且|AB|＝，求m的值．
解 (1)证法一：由
得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0.
∵Δ＝(－2m2)2－4(m2＋1)(m2－5)＝16m2＋20>0，
对一切m∈R成立．
∴直线l与圆C总有两个不同的交点．
证法二：由已知直线l：y－1＝m(x－1)，
知直线l恒过定点P(1,1)．
∵12＋(1－1)2<5，∴P(1,1)在圆C内．
∴直线l与圆C总有两个不同的交点．
(2)解法一：∵圆半径r＝，|AB|＝，
∴圆心(0,1)到直线l的距离为
d＝＝.
由点到直线的距离公式得＝，
解得m＝±.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由根与系数的关系并结合(1)，得
x1＋x2＝，x1x2＝.
∵|AB|＝
＝
＝＝，
∴m＝±.
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
答案 C
解析 直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在圆x2＋y2＝2内，所以直线与圆相交，已知圆心为原点，直线不过原点．
2．若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0
C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0
答案 D
解析 圆心是点C(1,0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，又直线AB过点P，所以直线AB的方程为x－y－3＝0，故选D.
3．一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
答案 D
解析 A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，化为kx－y－2k－3＝0.∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离为d＝＝1，化简为24k2＋50k＋24＝0，∴k＝－或k＝－.
4．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，2]
B．[－2，＋∞)
C．[－2，2]
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
答案 C
解析 圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，则圆心为C(2,0)，半径r＝2.设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC＝R＝2，∴圆心到直线y＝k(x＋1)的距离小于或等于PC＝2，即≤2，解得k2≤8，可得－2≤k≤2，∴实数k的取值范围是[－2，2]．故选C．
5．(多选)已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是( )
A．m∥l B．m⊥l
C．m与圆相离 D．m与圆相交
答案 AD
解析 直线OP的斜率为，直线l的斜率为－，直线l的方程为ax＋by＝a2＋b2，又P(a，b)在圆外，∴a2＋b2>r2，故m∥l；圆心(0,0)到直线ax＋by＝r2的距离d＝<＝|r|，故m与圆相交，故选AD.
二、填空题
6．垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是________.
答案 x＋y－＝0
解析 因为所求直线l(设斜率为k)垂直于直线y＝x＋1，
所以k·1＝－1，所以k＝－1，设直线l的方程为y＝－x＋b(b>0)，即x＋y－b＝0，所以圆心到直线l的距离为＝1，所以b＝.故所求直线方程为x＋y－＝0.
7．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
答案 4±
解析 圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.
因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，
所以2＋12＝22，解得a＝4±.
8．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.
答案 2
解析 圆x2＋y2＝r2(r>0)的圆心为(0,0)，半径为r.过圆心作直线3x－4y＋5＝0的垂线，垂足为C，那么△AOC是直角三角形，且∠OAC＝30°.∴OC＝r.又∵圆心(0,0)到直线3x－4y＋5＝0的距离OC＝＝1，故有r＝1，解得r＝2.
三、解答题
9．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
(1)m∈R时，证明l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．
解 (1)证明：直线l的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，
由点斜式可知，直线过点P(4，－3)．
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，
所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
(2)圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25.
如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，又kPC＝＝3，
所以直线l的斜率为－，
则2m＝－，所以m＝－.
在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5.
所以|AB|＝2＝2.
故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2.
10．过点(3,0)的直线l与圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(其中O为原点)，求直线l的方程．
解 易知直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为x＋ay－3＝0(a≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则点P，Q的坐标满足方程组
消去x，得(3－ay)2＋y2＋(3－ay)－6y＋3＝0，
整理得(a2＋1)y2－(7a＋6)y＋15＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝，①
∴x1x2＝(3－ay1)(3－ay2)＝9－3a(y1＋y2)＋a2y1y2＝.②
∵OP⊥OQ，∴·＝－1，∴y1y2＋x1x2＝0，
将①②代入，得＋＝0，整理，得
a2－6a＋8＝0，解得a＝2或a＝4.
∴所求直线l的方程为x＋2y－3＝0或x＋4y－3＝0.
B级：“四能”提升训练
1．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
解 (1)设圆A的半径为R，
由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴R＝＝2.
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.如图所示，连接AQ，则AQ⊥MN.
∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1.
则由|AQ|＝＝1，得k＝，
∴直线l：3x－4y＋6＝0.故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
2．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A(0,3)，设圆C的半径为1，圆心C(a，b)在直线l：y＝2x－4上．
(1)若圆心C也在直线y＝－x＋5上，求圆C的方程；
(2)在(1)的条件下，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(3)若圆C上存在点M，使|MA|＝|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解 (1)由得圆心C(3,2)，∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1.
(2)由题意知切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，由＝1，得k＝0或k＝－，
∴所求圆C的切线方程为y＝3或y＝－x＋3.
(3)设M(x，y)，由|MA|＝|MO|得＝，整理得y＝，故点M在直线m：y＝上．∴点M既在圆C上又在直线m上，即圆C和直线m有公共点，∴|2a－4－|≤1，
∴≤a≤.综上所述，a的取值范围是.
12．4 曲线与方程
(教师独具内容)
课程标准：1.了解曲线与方程的对应关系，领会“曲线的方程与方程的曲线”的概念.2.熟悉求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质.3.掌握求动点轨迹方程的方法．
学法指导：通过体会曲线上点的坐标与方程解的关系，进一步感受数形结合的基本思想，并类比直线、圆的学习过程，理解曲线的方程、曲线的性质及曲线之间的关系．
教学重点：曲线与方程的概念；求动点的轨迹方程．
教学难点：分析、判断曲线与方程的关系；求动点的轨迹方程.
有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，回运的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍．已知A，B两地相距10千米，顾客选A地或选B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A，B两地的售货区域分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．
知识点一 曲线的方程与方程的曲线的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
(1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.
则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程．
知识点二 两曲线的交点
已知两条曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)＝0，G(x，y)＝0，求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要联立两个方程得方程组求方程组的实数解就可以得到．
知识点三 点的轨迹方程
曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程．
知识点四 求动点M轨迹方程的一般步骤
(1)设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)；
(2)写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来；
(3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程．
1．曲线与方程概念的理解
(1)建立平面直角坐标系后，由于平面内的点与作为它的坐标的有序实数对建立了一一对应的关系，曲线上的点所满足的关系反映在点的横坐标x与纵坐标y之间有一定关系，这个关系通常用关于x，y的方程f(x，y)＝0表示出来．也就是说，曲线的几何条件在曲线和方程的概念中被转化成方程了．因此，曲线和方程的概念有它的纯粹性和完备性．“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，这阐明了曲线上的点的坐标没有不满足方程的(纯粹性)；“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，这阐明了适合条件的所有点都在曲线上(完备性)．只有同时具备了上述两个条件才能称方程f(x，y)＝0为曲线C的方程，同时称曲线C为方程f(x，y)＝0的曲线．它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．
(2)从集合的意义上来理解曲线和方程的概念
如果把直角坐标平面内曲线上的点所组成的集合记作A，方程f(x，y)＝0的解所对应的点的集合记作B，那么曲线和方程之间的两个关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，反映在集合A和B之间的关系上，就是A B且B A，即A＝B.
从集合相等的意义上来理解上述两条规定的必要性，有助于掌握曲线和方程的概念．
注意：(1)理解曲线和方程的概念，必须注意“两性”：定义中的条件①阐明曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外；定义中的条件②阐明适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏．这个概念的实质是一一对应，即作为曲线C的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程来研究曲线的性质，又可以深刻认识方程的几何背景．
(2)解决与“曲线”与“方程”有关命题的真假的判定问题，只要一一检验定义中的“两性”是否满足，并作出相应的回答即可．
2．对求动点M轨迹方程步骤的几点说明
(1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，要首先建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单．
(2)第三步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x(或y)的取值予以剔除．
(3)求动点的轨迹与求动点的轨迹方程既有联系又有区别，轨迹通常指的是图形(曲线的形状)，而轨迹方程则是一个方程．
3．求动点轨迹方程常见的方法
(1)直接法
当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等)变换成表示动点坐标(x，y)间的关系式(等式)的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法．直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质．
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征．
(3)代入法
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹的方法称为代入法(又称相关点法)．
(4)参数法
如果所求轨迹的动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．参数法中常选变角、变斜率等为参数．
注意：①参数的取值范围影响着方程中x和y的取值范围．
②化简方程前后要注意等价性．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求曲线方程的关键是建立坐标系，而坐标系的建立通常是唯一的．( )
(2)x2＋y2＝1(x>0)表示的曲线是圆．( )
(3)y＝x和＝1表示相同的曲线．( )
(4)方程xy2＋x2y＝1所表示的曲线关于y＝x对称．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知定点A(0,1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C．则动点C的轨迹E的方程为________.
(2)点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.
(3)已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹方程是________.
答案 (1)x2＝4y (2)5 (3)y2＝4x(x≥0)
题型一 曲线与方程的概念
例1 下列命题是否正确？若不正确，说明原因．
(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程是|x|＝2；
(2)以O(0,0)为圆心，2为半径的圆的方程是y＝；
(3)设点A(2,0)，B(0,2)，则线段AB的方程为x＋y－2＝0.
[解] (1)错误．因为以方程|x|＝2的解为坐标的点，不都在直线l上，直线l只是方程|x|＝2所表示的图形的一部分．
(2)错误．以方程y＝的任一组解M(x0，y0)为坐标的点，均满足y0＝，即x＋y＝4，就是说M在以原点为圆心，2为半径的圆上，但是以原点为圆心，2为半径的圆上的点不全是方程y＝的解．如N(0，－2)在圆上，但不满足方程y＝，所以以O(0,0)为圆心，2为半径的圆的方程不是y＝.
(3)错误．方程x＋y－2＝0的解(－1,3)不在线段AB上，线段AB的方程是x＋y－2＝0(0≤x≤2)．
解决此类问题要从两方面入手
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．
[跟踪训练1] 设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是( )
A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0
C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f(x，y)＝0
答案 D
解析 命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的，“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A，C错误，而B显然错误，选D.
题型二 点与曲线的位置关系
例2 已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m.
[解] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，
()2＋(3－1)2＝6≠10，
∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上．
(2)∵M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
∴＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－.
判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．
(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；
(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．
[跟踪训练2] 已知0≤α<2π，若点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，求α.
解 ∵点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，
∴(cosα－2)2＋sin2α＝3，∴cos2α－4cosα＋4＋sin2α＝3，
∴cosα＝.又0≤α<2π，∴α＝或.
题型三 两曲线的交点问题
例3 已知直线l：x＋y＝a及曲线C：x2＋y2－4x－4＝0.则实数a取何值时，l与C分别有一个交点、两个交点、无交点？
[解] 联立方程
消去y得2x2－(2a＋4)x＋a2－4＝0，
则Δ＝(2a＋4)2－8(a2－4)＝－4a2＋16a＋48，
Δ＝0即a2－4a－12＝0，得a＝6或a＝－2，此时有一解；
Δ>0即a2－4a－12<0，得－2Δ<0即a2－4a－12>0，得a<－2或a>6，此时无解．
综上所述，当a＝－2或a＝6时有一个交点；
当－2当a<－2或a>6时无交点．
(1)两曲线的交点个数的判断可以通过两曲线的方程联立求解来实现．方程组有几组解，则曲线就有几个交点．
(2)若验证点是否在两曲线上，或点是否为两曲线的交点，则只需将点的坐标代入两方程看是否是两方程的解即可判断．
[跟踪训练3] (1)若直线x－2y－2k＝0与y＝x＋k的交点在曲线x2＋y2＝25上，则k的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．以上都不对
(2)过曲线x2＋y2＝2和y＝x2交点的直线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－x
C．y＝1 D．y＝x
答案 (1)C (2)C
解析 (1)联立方程得两直线交点坐标为(－4k，－3k)，又点在曲线x2＋y2＝25上，代入得(－4k)2＋(－3k)2＝25，解得k＝±1.故选C．
(2)联立方程消去x，得y2＋y－2＝0，解得y＝1或y＝－2(舍去)，此时x＝1或x＝－1，∴交点为(1,1)和(－1,1)．故选C．
题型四 求曲线的方程
例4 设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．
[解] 解法一：(直接法)设B点坐标为(x，y)，由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，即OA中点B的轨迹方程为2＋y2＝(x≠0)．
解法二：(几何法)设B点坐标为(x，y)，由题意知CB⊥OA，OC的中点记为M，如右图，则|MB|＝|OC|＝，∴B点在以M为圆心，为半径的圆上，故B点的轨迹方程为2＋y2＝(x≠0)．
解法三：(代入法)设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x，y)，
由题意得即
又因为(x1－1)2＋y＝1，
所以(2x－1)2＋(2y)2＝1，
即2＋y2＝(x≠0)．
解法四：(交轨法)设直线OA的方程为y＝kx，当k＝0时，B为(1,0)；当k≠0时，直线BC的方程为y＝－·(x－1)，直线OA，BC的方程联立消去k即得其交点轨迹方程：y2＋x(x－1)＝0，
即2＋y2＝(x≠0,1)．显然B(1，0)满足2＋y2＝，故2＋y2＝(x≠0)为所求．
在一道题中求轨迹方程的方法可以有多种．在解题过程中，最容易出错的环节是轨迹方程中自变量的范围．
[跟踪训练4] 过点P(1,3)作两互相垂直的直线l1和l2，l1交x轴于点A，l2与y轴交于点B，求线段AB中点M的轨迹方程．
解 解法一：(直接法)
由平面几何知识可得P，O，A，B四点共圆，且AB中点M为圆心，设M(x，y)是轨迹上任一点，
则|OM|＝|PM|，故＝，
∴轨迹方程为x＋3y－5＝0.
解法二：(代入法或称相关点法)
设M(x，y)是轨迹上任一点，A(xA,0)，B(0，yB)，
∴x＝，y＝，∴A(2x,0)，B(0,2y)，∵l1⊥l2，
若l1与l2的斜率都存在(2x≠1)，
则k1k2＝－1，且k1＝，k2＝，
∴＝，∴x＋3y－5＝0.
若l1的斜率不存在，则A(1,0)，B(0,3)，
则将中点M代入方程x＋3y－5＝0适合．
∴所求轨迹方程为x＋3y－5＝0.
解法三：(参数法)
由题意可知l1的斜率存在且不为零或斜率不存在，则分以下两种情况讨论：
当l1的斜率存在且不为零时，
设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，
l1：y－3＝k(x－1)，故A点坐标为，
l2：y－3＝－(x－1)，故B点坐标为，
设AB中点坐标为(x，y)，
∴
∴＝2y－3，∴x＋3y－5＝0，
若l1的斜率不存在，则A(1,0)，B(0,3)，
中点M代入方程x＋3y－5＝0适合，
∴所求轨迹方程为x＋3y－5＝0.
题型五 由方程研究曲线的类型和性质
例5 (1)方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线是__________________________________________.
(2)讨论曲线C：|x|＋|y|＝1的性质，并画出其图像．
[解析] (1)由方程(x＋y－1)＝0可得
或
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.∴方程表示的曲线是直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)由|x|＋|y|＝1及|x|≥0，|y|≥0，知|x|≤1，|y|≤1，所以曲线C在直线x＝1，x＝－1，y＝1，y＝－1围成的正方形内(包括边界)．
将x(或y)换为－x(或－y)，方程不变，则曲线C关于y轴(或x轴)对称，因此曲线C也关于原点对称．
当x≥0，y≥0时，曲线C即x＋y＝1(0≤x≤1)，表示以(1,0)与(0,1)为端点的线段，由对称性知曲线C的图像如图所示．
[答案] (1)直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1) (2)见解析
讨论曲线的几何性质一般包括的几个方面
(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围；
(2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点；
(3)研究曲线的对称性(关于x轴，y轴，原点等的对称性)；
(4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况；
(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线．
[跟踪训练5] (1)方程xy2＋x2y＝1所表示的曲线( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
(2)指出方程(2x＋3y－5)·[log2(x＋2y)－3]＝0表示的曲线是什么？
答案 (1)D (2)见解析
解析 (1)设P(x0，y0)是曲线xy2＋x2y＝1上的任意一点，则x0y＋xy0＝1，点P关于直线y＝x的对称点为P′(y0，x0)，
∴y0x＋yx0＝x0y＋xy0＝1，
∴点P′在曲线xy2＋x2y＝1上，故该曲线关于直线y＝x对称．故选D.
(2)因为(2x＋3y－5)·[log2(x＋2y)－3]＝0，所以可得或者x＋2y＝8，也就是2x＋3y－5＝0(x<10)或者x＋2y＝8，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x<10)(去除端点)和一条直线x＋2y＝8.
1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ∵y＝－2≤0，而y2＝4x中y可正可负，∴点M在曲线y2＝4x上，但M的坐标不一定满足y＝－2.反之点M的坐标满足y＝－2时，点M却一定在曲线y2＝4x上．故选B.
2．已知直线l：x＋y－4＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,2)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
答案 A
解析 将点M(2,2)的坐标代入方程验证知M∈l，M C．
3．方程＋＝1表示的图形是( )
A．一条直线
B．两条平行线段
C．一个正方形
D．一个正方形(除去四个顶点)
答案 D
解析 由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且x≠0，y≠0.当x>0，y>0时，方程可化为x＋y＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.
4．若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，连接点P与点Q(0，－1)，则线段PQ中点的轨迹方程是________.
答案 y＝4x2
解析 设P(x1，y1)，线段PQ的中点为M(x，y)，因为Q(0，－1)，所以所以因为P(x1，y1)在曲线y＝2x2＋1上，所以y1＝2x＋1，所以2y＋1＝2(2x)2＋1，化简为y＝4x2，所以线段PQ中点的轨迹方程为y＝4x2.
5．求平面内到点F(1,0)的距离和它到直线x＝－1的距离相等的点的轨迹方程．
解 设点M(x，y)为轨迹上任意一点，到直线的距离为d，则点M属于集合P＝{M||MF|＝d}．
由两点间的距离及点到直线的距离公式得
＝|x＋1|，
两边平方整理得y2＝4x为所求．
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点坐标是( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(1,1)，(－1，－1) D．(0,0)
答案 C
解析 由得或故选C．
2．已知A(1,0)，B(－1,0)，动点M满足||MA|－|MB||＝2，则点M的轨迹方程是( )
A．y＝0(－1≤x≤1) B．y＝0(x≥1)
C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1)
答案 D
解析 ∵||MA|－|MB||＝2＝|AB|，∴动点M的轨迹是两条射线，一条射线的端点为B，方向水平向左，另一条射线的端点为A，方向水平向右．
3．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
答案 B
解析 由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度为＝5.设点C的坐标为(x，y)，则×5×＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
4．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，且M∩N≠ ，则b的取值范围是( )
A．－3≤b≤3 B．－3C．0≤b≤ D．－3答案 D
解析 曲线y＝即x2＋y2＝9(y>0)，表示半圆，直线斜率为1，画出图像知－35．(多选)曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．则下列结论正确的是( )
A．曲线C过坐标原点
B．曲线C关于x轴对称
C．曲线C关于坐标原点对称
D．若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2
答案 BCD
解析 由题意，得曲线C上的点P(x，y)满足的方程为·＝a2.对于A，将(0,0)代入方程，得a2＝1，与a>1矛盾，A错误；对于B，对曲线C上的任一点(x0，y0)，其关于x轴的对称点(x0，－y0)也在曲线C上，故曲线C关于x轴对称，B正确；对于C，对曲线C上的任一点(x0，y0)，其关于坐标原点的对称点(－x0，－y0)也在曲线C上，故曲线C关于坐标原点对称，C正确；对于D，S△F1PF2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，D正确．故选BCD.
二、填空题
6．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为________.
答案 3x2＋4y2＝48
解析 设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|，即|8－x|＝2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
7．已知方程①x－y＝0；②－＝0；③x2－y2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________.
答案 ①
解析 ①正确；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；④不正确．如点(0,0)在曲线C上，但其坐标不满足方程＝1.
8．曲线y＝－与曲线y＋|ax|＝0(a∈R)的交点个数是________.
答案 2
解析 y＝－即x2＋y2＝1(y≤0)．对于y＝－|ax|，当a≥0时，y＝当a＜0时，y＝画出它们在同一平面直角坐标系中的大致图像如图所示，由图知曲线y＝－与曲线y＋|ax|＝0(a∈R)有两个交点．
三、解答题
9．已知O为坐标原点，直线y＝x－2与曲线y2＝2x相交于A，B两点，求证：OA⊥OB.
证明 联立两个方程得方程组
解方程组可得或
不妨令A的坐标为(3＋，1＋)，B的坐标为(3－，1－)，
则＝(3＋，1＋)，＝(3－，1－)，
·＝(3＋)(3－)＋(1＋)(1－)＝0，
所以OA⊥OB.
10．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．
由题设知·＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为y＝－x＋.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，
|PM|＝，所以△POM的面积为.
B级：“四能”提升训练
1．已知在△ABC中，三边c>b>a，且2b＝a＋c，b＝2，试求点B的轨迹方程．
解 如图，以AC所在的直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
由于b＝|AC|＝2，则A点坐标为(－1,0)，C点坐标为(1,0)．
因为2b＝a＋c，
所以4＝|AB|＋|BC|.
设B点坐标为(x，y)，则
|AB|＝，|BC|＝.
所以4＝＋.
移项，两边平方并整理，
得4－x＝2.
两边再平方并整理，得3x2＋4y2＝12.
又c>a，即|AB|>|BC|，且A，B，C三点不共线，
所以0所以符合题意的动点B的轨迹方程为
3x2＋4y2＝12(02．已知A，B为两定点，动点M到点A的距离与其到点B的距离的比值为常数λ，求动点M的轨迹曲线的形状．
解 以的方向为x轴的正方向，线段AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系．
设|AB|＝2a(a>0)，则A(－a,0)，B(a,0)．
设M(x，y)，则由题设，得＝λ，
即＝λ，
化简得(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋2a(1＋λ2)x＋(1－λ2)a2＝0.
①当λ＝1，即|MA|＝|MB|时，动点M的轨迹方程是x＝0，
所以动点M的轨迹是直线x＝0.
②当λ≠1时，动点M的轨迹方程是
x2＋y2＋x＋a2＝0.
所以动点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
综上，当λ＝1时，动点M的轨迹是直线x＝0；当λ≠1时，动点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
12．3 圆及其方程
2.3.1 圆的标准方程
(教师独具内容)
课程标准：1.会推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程的特点．能由已知圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程．反之，能由圆的标准方程求出它的圆心坐标和半径.2.能根据所给有关圆心、半径的具体条件，用待定系数法准确地求出圆的标准方程.3.会判断点与圆的位置关系.4.能运用圆的标准方程解决一些实际问题．
学法指导：通过回顾确定圆的几何要素，探求圆的标准方程的过程，掌握圆的标准方程的特点，并能够根据不同的已知条件，利用数形结合及转化与化归思想求圆的标准方程．
教学重点：圆的标准方程的特点；用待定系数法求圆的标准方程．
教学难点：用数形结合法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的问题.
古今中外都有很多的圆形建筑，如中国的北京天坛、罗马的圆形竞技场等，如何在平面直角坐标系中研究圆的方程和性质呢？今天我们就来讨论这个问题．
知识点一 圆的标准方程
(1)圆的基本要素
圆的基本要素是圆心和半径.
(2)圆的标准方程
一般地，如果平面直角坐标系中⊙C的圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)，设M(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则点M在⊙C上的充要条件是|CM|＝r，即 ＝r，两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2，此式通常称为圆的标准方程．为了方便起见，我们称圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2时，指的是方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆．
知识点二 点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 |MA|＝r 点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆A上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 |MA|点在圆外 |MA|>r 点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆A外 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
1．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．
2．几种特殊位置的圆的标准方程
条件 圆的标准方程
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)
3．求圆的标准方程的常用方法
(1)几何法
利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程得结果．
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：先设方程，再列式，后求解．
4．求圆的标准方程时常用的几何性质
求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：
(1)弦的垂直平分线必过圆心．
(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．
(3)圆心与切点的连线长是半径长．
(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．
5．与圆有关的最值问题
已知点P(x，y)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，求圆上的点P到定点M(m，n)的距离d＝的最值问题的处理方法如下：
(1)求圆心O(a，b)与定点M(m，n)的距离dMO.
(2)根据圆的几何性质知：
①当M在圆外时，dmax＝dMO＋r，dmin＝dMO－r.
②当M在圆内时，dmax＝dMO＋r，dmin＝r－dMO.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( )
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( )
(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.( )
(4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．做一做
(1)与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为( )
A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4
C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－3)2＋y2＝4
(2)若圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为，则此圆的标准方程为__________________________.
(3)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝(－5)2，则圆的圆心坐标为________，半径为____________.
(4)已知圆的方程为x2＋(y－1)2＝2，则点A(1,0)与圆的位置关系是____________.
答案 (1)A (2)(x＋1)2＋(y－3)2＝3 (3)(－2,2) 5 (4)点A在圆上
题型一 判断点与圆的位置关系
例1 已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．
[解] ∵点A在圆C的内部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2<2a2且a≠0，
∴2a＋5<0，∴a<－且a≠0，
∴a的取值范围是.
[条件探究] 将本例改为：已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．
解 解法一：由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
∴2a＋5≥0，∴a≥－，又a≠0，
∴a的取值范围是∪(0，＋∞)．
解法二：由例1知点A在圆C的内部时，a<－，
∴点A不在圆C的内部时，a≥－，又a≠0，
∴a的取值范围是∪(0，＋∞)．
1．判断点与圆的位置关系的方法
(1)计算该点与圆心的距离，与半径作比较；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断．
2．灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
[跟踪训练1] 若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，求实数a的取值范围．
解 ∵点(1,1)在圆的外部，则点(1,1)到圆心(a，－a)的距离大于半径2，
∴>2，解得a>1或a<－1.
题型二 求圆的标准方程
例2 求过点A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的标准方程．
[解] 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，
于是有解得
所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
[解法探究] 本例还有其他解法吗？
解 因为A(0,5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为，又直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.同理，得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.
由得圆心的坐标为(－3,1)．
又圆的半径长r＝＝5，
所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
求圆的标准方程的两种方法
(1)确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，即建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
(2)由圆的几何性质易得圆心坐标和半径时，用几何法可以简化运算，其他情况可用待定系数法．
[跟踪训练2] 已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
解 解法一：如图所示，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，
∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，
|OC|＝
＝＝3.
设点C坐标为(a,0)，
则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
解法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.
∵圆截y轴所得线段长为8，
∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，
∴a＝±3.
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
题型三 与圆有关的最值问题
例3 (1)已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，点P是圆C上任意一点，求|AP|的最小值；
(2)已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，求x2＋y2的最大值和最小值．
[解] (1)由于82＋(－6)2＝100>25，故点A在圆外，从而|AP|的最小值为－5＝10－5＝5.
(2)据题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大和最小值．原点O(0,0)到圆心C(－1,0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.
[结论探究] 在本例(2)条件不变的情况下，如何求x2＋y2－2x的最大值和最小值？
解 令t＝x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1表示圆上的点到点(1,0)距离的平方减1，而圆心C(－1,0)，故t的最大值为，最小值为.
形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
[跟踪训练3] (1)已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求x2＋y2的最大值和最小值；
(2)已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝，求的最大值和最小值．
解 (1)将实数x，y看作点P(x，y)的坐标，满足(x－2)2＋y2＝3的点P(x，y)组成的图形是以M(2,0)为圆心，为半径的圆．
x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
(2) 可以看成圆x2＋(y－1)2＝上的点P(x，y)到点A(2,3)的距离．
圆心(0,1)到点A(2,3)的距离
d＝＝2.
由图可知，圆上的点P(x，y)到点A(2,3)的距离的最大值是2＋，最小值是2－.
题型四 与圆有关的实际应用题
例4 已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？
[解] 建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)，由车辆只能在道路中心线一侧行驶，且车宽为2.7米，得x＝2.7，
当x＝2.7时，y＝＝<3.
车高于隧道高度，故该货车不能驶入此隧道．
解与圆有关的实际应用题的方法
由于圆具有很好的对称性，在实际应用中，一般通过建立平面直角坐标系，把实际问题转化为圆的半径、弦长等问题来求解，最后不要忘记根据实际意义作答．建立平面直角坐标系时，注意根据垂径定理等找垂直关系．
[跟踪训练4] 赵州桥的跨度是37.02 m，圆拱高约为7.23 m．求这座圆拱桥的拱圆方程(精确到0.01 m)．
解 以圆拱所对弦的直线为x轴，弦的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
根据已知条件，B，C的坐标分别为(18.51,0)，(0,7.23)，
设圆心的坐标为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，
下面用待定系数法求b和r2的值．
因为B，C都在圆上，所以它们的坐标都满足所设圆的方程，则解得
因此圆拱桥的拱圆方程近似为
x2＋(y＋20.08)2＝745.84(y≥0)．
1．点与圆x2＋y2＝的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆内
C．在圆外 D．不能确定
答案 C
解析 ∵2＋2＝＋＝1>，
∴点在圆外．故选C．
2．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案 B
解析 由题意可知直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为2，则半径长为，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
3．(多选)已知圆C过点A(1,4)，B(3,2)，且圆心C在直线y＝0上，则( )
A．圆心坐标为C(－1,0) B．半径长r＝5
C．点M1(2,3)在圆内 D．点M2(2,4)在圆外
答案 ACD
解析 因为圆过A，B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上．直线AB的斜率为－1，线段AB的中点坐标为(2,3)，故线段AB的垂直平分线的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0，又圆心在直线y＝0上，因此圆心坐标是方程组的解，即圆心坐标为C(－1,0)，A正确；半径长r＝＝2，B错误；所求圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝20，点M1(2,3)到圆心的距离为＝r，所以点M2在圆外，D正确．故选ACD.
4．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________.
答案 2
解析 圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，所以k＝2.
5．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．
解 (1)由题意，结合图①可知圆心C(3,0)，r＝2，
所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
(2)如图②所示，过点C作CD垂直于直线x－y＋1＝0，垂足为D.
由点到直线的距离公式可得|CD|＝＝2，
又P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，结合图形易知点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2.
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29
B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116
D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
答案 B
解析 圆心为AB的中点(1，－3)，半径为
＝＝.故选B.
2．方程|x|－1＝所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
答案 D
解析 由题意，得
即或
故原方程表示两个半圆．
3．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A．2 B．1
C． D．
答案 B
解析 方程(x＋5)2＋(y－12)2＝142表示以(－5,12)为圆心，14为半径的圆，x2＋y2表示圆上的点到原点距离的平方，∵圆心到原点的距离为13，∴的最小值为14－13＝1，∴x2＋y2的最小值为1.
4．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 因为y＝ax＋b过一、二、四象限，所以a<0，b>0.因为(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心坐标为(－a，－b)，所以圆心的横坐标－a>0，纵坐标－b<0，即圆心位于第四象限，选D.
5．(多选)圆心在x轴上，半径为5，且在y轴上截得的线段AB的长为8，则圆的标准方程可以为( )
A．(x＋3)2＋y2＝25 B．x2＋(y－3)2＝25
C．x2＋(y＋3)2＝25 D．(x－3)2＋y2＝25
答案 AD
解析 由题意设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4，在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3.如图所示，有两种情况：
故圆心C的坐标为(3,0)或(－3,0)，故所求圆的标准方程可以为(x＋3)2＋y2＝25，(x－3)2＋y2＝25.故选AD.
二、填空题
6．点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________.
答案 [0,1)
解析 由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2<26，即26a<26，又a≥0，所以0≤a<1.
7．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为________.
答案 (x－3)2＋(y－4)2＝25
解析 ∵|MA|＝＝5，
|MB|＝＝2，
|MC|＝＝，
∴|MB|<|MA|<|MC|，
∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，
∴圆的半径r＝|MA|＝5，
∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
8．已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，则周长最小的圆的方程为________，圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程为________.
答案 x2＋(y－1)2＝10 (x－3)2＋(y－2)2＝20
解析 当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，
从而周长最小，即圆心为线段AB的中点(0,1)，
半径r＝|AB|＝.
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
三、解答题
9．已知圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，求圆C的标准方程．
解 解法一：由圆心在直线2x－y－7＝0上，可设圆心坐标为(a,2a－7)，由题意得a2＋(2a－3)2＝a2＋(2a－5)2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2，－3)，
圆的半径长r＝＝，
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
解法二：圆C的圆心在弦AB的垂直平分线y＝－3上，
由得为所求圆的圆心坐标，
半径长r＝＝，
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
解法三：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则由条件可得解得
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
10．已知圆C的圆心坐标为(x0，x0)，且过点P(4,2)．
(1)求圆C的标准方程(用含x0的方程表示)；
(2)当x0为何值时，圆C的面积最小？并求出此时圆C的标准方程．
解 (1)由题意，设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r>0)．∵圆C过点P(4,2)，
∴(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2，∴r2＝2x－12x0＋20，
∴圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20.
(2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，
∴当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小，此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.
B级：“四能”提升训练
1．点P是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝r2(r>0)上的一个动点，它关于点A(9,0)的对称点为Q，O为原点，线段OP绕原点O按逆时针方向旋转90°后，所得线段为OR，当r为常数时，求|QR|的最小值与最大值．
解 设点P的坐标是(x，y)，则点Q的坐标是(18－x，－y)，∵线段OR是由OP绕原点逆时针旋转90°后得到的，∴由平面几何知识得，点R的坐标为(－y，x)，
则|QR|＝
＝·.
∵P(x，y)为圆(x－5)2＋(y－5)2＝r2(r>0)上的点，
∴|QR|的几何意义为点M(9，－9)到圆上的点P(x，y)的距离的倍，如图所示，
当|PM|最小时，|QR|也最小；
当|PM|最大时，|QR|也最大．
而|PM|min＝||MC|－r|＝
|－r|＝|2－r|，
|PM|max＝||MC|＋r|＝2＋r，
∴|QR|min＝|2－r|，
|QR|max＝(2＋r)．
2．有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的原则是运费和价格的总费用最低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
解 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设A(－5,0)，则B(5,0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/km(a>0)，则从B地运货到P地运费为a元/km.若P地居民选择在A地购买此商品，
则2a整理得2＋y2<2.
即点P在圆C：2＋y2＝2的内部．
也就是说，圆C内的居民应在A地购物．
同理可推得圆C外的居民应在B地购物．
圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物．
12.3.2 圆的一般方程
(教师独具内容)
课程标准：1.掌握圆的一般方程的形式.2.会判断一个二元二次方程是不是圆的一般方程，并会用配方法对圆的标准方程和一般方程进行互化.3.会用待定系数法求圆的一般方程．
学法指导：通过探求圆的一般方程的过程，掌握圆的一般方程的特点，并能够根据具体条件，选用圆的一般方程解决问题．
教学重点：圆的一般方程的探求过程及其特点．
教学难点：根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题.
根据圆的标准方程，指出方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形，方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？在平面直角坐标系中画出相应的几何图形．观察上述图形，你能想到圆的方程有怎样的特点？
知识点 圆的一般方程
(1)圆的一般方程的定义
①当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为.
②当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.
③当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．
(2)由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表：
位置关系 代数关系
点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0
判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆要“两看”：
一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0；
二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4AF是否大于0；或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程2x2＋y2－7y＋5＝0表示圆．( )
(2)方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0表示圆．( )
(3)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．( )
(4)方程3x2＋3y2＋3ax－3ay＝0(a≠0)表示圆．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________.
(2)过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为________.
(3)方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是________.
(4)若直线3x＋y＋a＝0经过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则实数a的值为________.
答案 (1)(2，－3) (2)x2＋y2－3x－4y＝0 (3)m<1 (4)1
题型一 圆的一般方程的定义
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
[解] (1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，
解得m<，故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成圆的标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
二元二次方程与圆的关系
(1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．
(2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0求圆心和半径长的方法：①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径长；②运用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0判断是否为圆，如果是，也可以利用公式写出圆心，利用公式r＝求出半径长．
[跟踪训练1] 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
解 (1)∵D＝1，E＝0，F＝1，
∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0，
∴方程(1)不表示任何图形．
(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，
∴方程(2)表示点(－a,0)．
(3)两边同除以2，得
x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，
∴D2＋E2－4F＝2a2>0，
∴方程(3)表示圆，它的圆心为，
半径r＝＝|a|.
题型二 求圆的一般方程
例2 已知Rt△ABC的顶点A(8,5)，直角顶点为B(3,8)，顶点C在y轴上，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)Rt△ABC外接圆的一般方程．
[解] (1)设点C(0，m)，由题意得
kAB·kBC＝－1，且kAB＝＝－，
所以kBC＝＝，
解得m＝3，所以点C(0,3)．
(2)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意知解得
所以Rt△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－8y＋15＝0.
[解法探究] 本例(2)还有其他解法吗？
解 因为Rt△ABC的斜边AC的中点为圆心，边AC为直径，所以圆心坐标为(4,4)，
半径为r＝＝，
所以所求方程为(x－4)2＋(y－4)2＝17，
即x2＋y2－8x－8y＋15＝0.
应用待定系数法求圆的方程的选择
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出D，E，F.
[跟踪训练2] 根据下列条件求圆的一般方程．
(1)已知A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求△ABC外接圆的一般方程；
(2)已知圆C的圆心在直线x－2y＝1上，且经过原点和A(2,1)，求圆C的一般方程．
解 (1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意知解得
∴△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
(2)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意知解得
∴圆的一般方程为x2＋y2－x－y＝0.
1．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为( )
A．(0，－1) B．(1，－1)
C．(－1，－1) D．(0,1)
答案 A
解析 把圆的方程化为标准方程，得2＋(y＋1)2＝1－k2，r2＝1－k2，∴S＝πr2＝π＝π，∴k＝0，∴圆心坐标为(0，－1)．
2．(多选)已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的直线的方程是( )
A．4x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0
C．4x＋y－1＝0 D．2x＋y－1＝0
答案 BC
解析 圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，即(x－1)2＋(y＋3)2＝2，圆心坐标为(1，－3)，经检验B，C中直线过圆心．
3．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是________.
答案
解析 D＝1，E＝m－1，F＝m2，∵r＝，
∴4r2＝1＋(m－1)2－2m2＝－(m＋1)2＋3≤3，∴r2≤，∴S＝πr2≤，最大面积为.
4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.
答案 (－2，－4) 5
解析 方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a2＝a＋2，故a＝－1或2.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，亦即2＋(y＋1)2＝－，不成立，故舍去；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
5．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)，经过这三个点的圆记为M.
(1)求BC边的中线AD所在直线的一般式方程；
(2)求圆M的方程．
解 (1)解法一：由B(2,0)，C(0，－4)，
知BC的中点D的坐标为(1，－2)．
又A(－3,0)，所以直线AD的方程为＝，
即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0.
解法二：由题意，得|AB|＝|AC|＝5，
则△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC．
因为直线BC的斜率kBC＝2，
所以直线AD的斜率kAD＝－，
由直线的点斜式方程，得直线AD的方程为y－0＝－(x＋3)，即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0.
(2)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
将A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)三点的坐标分别代入方程，
得解得
所以圆M的方程是x2＋y2＋x＋y－6＝0.
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1表示的几何图形是( )
A．圆 B．直线
C．点 D．以上都不对
答案 A
解析 方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1可化为x2＋y2＋2x＋3y－＝0，则D＝2，E＝3，F＝－，所以D2＋E2－4F＝22＋32－4×＝15>0，所以方程表示圆．故选A．
2．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心在y轴上且过原点，则( )
A．D＝0，E＝0，F≠0 B．F＝0，D≠0，E≠0
C．D＝0，F＝0，E≠0 D．E＝0，F＝0，D≠0
答案 C
解析 ∵圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心在y轴上且过原点，∴D＝0，F＝0，E≠0.
3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
答案 C
解析 直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由得C(－1,2)．∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.
4．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r的圆，所以a2＋(－2a)2－4(2a2＋3a)＝－3a2－12a>0，即a(a＋4)<0，所以－45．(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A．圆M的圆心坐标为(4，－3)
B．圆M的半径为25
C．点(2，－3)在圆M的内部
D．圆M与x轴正半轴的交点坐标为(8,0)
答案 ACD
解析 圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25，故圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，A正确，B错误；将点(2，－3)代入圆M的一般方程，得22＋(－3)2－8×2＋6×(－3)＝－21<0，故点(2，－3)在圆M的内部，C正确；令y＝0，得x2－8x＝0，解得x＝0或x＝8，则圆M与x轴正半轴的交点坐标为(8,0)，D正确．故选ACD.
二、填空题
6．已知圆C：x2＋y2－2ax＋2ay＋2a2＋2a－1＝0的圆心到直线l：x－y－1＝0的距离为，则a的值为________.
答案 －
解析 ∵圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝1－2a，圆心(a，－a)，r＝.设圆心到直线l的距离为d，则d＝＝，解得a＝或－，又∵1－2a>0，∴a＝－.
7．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b对称，则a－b的取值范围是________.
答案 (－∞，1)
解析 将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故圆心坐标为(－1,2)，半径长为.由题意知，直线y＝2x＋b过圆心(－1，2)，∴2＝2×(－1)＋b，∴b＝4.∵此圆的半径长为，∴a<5，∴a－b<1.
8．已知圆C：x2＋y2－4x－4y＝0与x轴相交于A，B两点，则弦AB的长度为________，弦AB所对的圆心角为________.
答案 4 90°
解析 将圆C的方程化为标准方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝8，令y＝0，得x＝0或x＝4，所以A(0,0)，B(4,0)，|AB|＝4.因为半径为2，所以|CA|＝|CB|＝2，所以|CA|2＋|CB|2＝|AB|2，因此弦AB所对的圆心角为90°.
三、解答题
9．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2,3)．
(1)若P(m，m＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若P为圆C上任意一点，求|PQ|的最大值和最小值．
解 (1)由点P在圆C上，得
m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，解得m＝4.
∴点P的坐标为(4,5)．
故|PQ|＝＝2，
kPQ＝＝.
∴线段PQ的长为2，直线PQ的斜率为.
(2)由题意知|PQ|取得最大值和最小值时，P点为过Q与圆心C的直线与圆C的两个交点．
又圆心C(2,7)，半径R＝2，|QC|＝4，
∴|PQ|的最大值为|QC|＋R＝6，最小值为|QC|－R＝2.
10．求经过两点A(4,2)，B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
解 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E.
由题设，知x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，
所以D＋E＝－2.①
又A(4,2)，B(－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0，③
由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
B级：“四能”提升训练
1．设△ABC的顶点为A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a>0，圆M为△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．
解 (1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
∵圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，
∴解得
∴圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0.
(2)当a变化时，圆M过定点(0，－3)．理由如下：
圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0，
由解得x＝0，y＝－3.
∴圆M过定点(0，－3)．
2．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
解 (1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9＝－7t2＋6t＋1，
∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，
由二次函数的图像解得－(2)由(1)知r＝＝ ，
∴当t＝∈时，rmax＝，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是2＋2＝.
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·4t2＋16t4＋9<0时，点P恒在圆内，
∴8t2－6t<0，
∴012.3.4 圆与圆的位置关系
(教师独具内容)
课程标准：1.理解圆与圆的五种位置关系.2.能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系．
学法指导：通过圆与圆位置关系的学习过程，掌握圆与圆位置关系的判定方法，再次感受坐标法在研究几何问题中的作用．
教学重点：圆与圆的五种位置关系及其判定方法．
教学难点：用坐标法探求圆与圆位置关系的过程.
观察自行车的前轮和后轮的关系，观察机器中各种齿轮之间的位置关系，你能想到圆与圆有几种位置关系吗？你能用坐标法判定它们的位置关系吗？
知识点 圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含.
(2)圆与圆位置关系的判定
①几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|②代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含
点睛：(1)圆与圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；
(2)圆与圆相交，两圆有两个公共点；
(3)圆与圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．
1．判定两圆位置关系时，结合图形易于判断分析，而从两圆方程出发往往比较繁琐且不准确，可充分利用两圆圆心距与两圆半径的和差的比较进行判断．
2．两圆相交求其公共弦所在直线方程，可利用两圆方程作差，但应注意当两圆不相交时，作差得出的直线方程并非两圆公共弦所在直线方程．
3．两圆的公切线
两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线．两圆的公切线有如图所示的五种情况：
(1)外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；
(2)外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；
(3)相交时，有2条公切线，都是外公切线；
(4)内切时，有1条公切线；
(5)内含时，无公切线．
4．圆系方程
(1)过两已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2x＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
当λ＝－1时，变为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在)，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线．
(2)过直线与圆交点的圆系方程
设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．做一做
(1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是______________.
(3)已知圆O1与圆O2的方程分别为(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋y2＝r2(r>1)，若两圆相交，则r的取值范围是________.
(4)若a2＋b2＝4，则两圆(x－a)2＋y2＝1与x2＋(y－b)2＝1的位置关系为________.
答案 (1)B (2)x＋3y＝0 (3)(1,3) (4)外切
题型一 圆与圆位置关系的判定
例1 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m为何值时，(1)圆C1与圆C2相外切？(2)圆C1与圆C2内含？
[解] 对于圆C1，圆C2的方程，配方得
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)如果圆C1与圆C2相外切，则有
＝3＋2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
(2)如果圆C1与圆C2内含，
则有<3－2，
即(m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0，
解得－2判断两圆位置关系的方法
(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆圆心的距离d；
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
(3)如果判断两圆相交并求交点坐标时，必须求方程组的解，这样用方程组解的个数判断两圆位置关系可起到一举两得的效果．
[跟踪训练1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
解 将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝(k<50)，
从而|C1C2|＝＝5.
当|－1|<5<1＋，
即k∈(14,34)时，两圆相交．
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，
即k＝14时，两圆内切．
即当k＝14或k＝34时，两圆相切．
当1＋<5或|－1|>5，
即k∈(－∞，14)∪(34,50)时，两圆相离.
题型二 两圆相交的公共弦问题
例2 求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
[解] 联立两圆的方程得方程组
两式相减得x－2y＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程．
解法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组
解得或
所以|AB|＝＝2，
即公共弦长为2.
解法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3.
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，
即50＝(3)2＋l2，解得l＝，
故公共弦长2l＝2.
[结论探究] 本例若求公共弦所在直线被圆(x－3)2＋(y－1)2＝9所截的弦长，如何求解？
解 由例2可知公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0，
∴圆心C(3,1)到公共弦所在直线的距离为
d＝＝.
∴弦长为2＝4.
1．两圆相交时，公共弦所在直线的方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、弦长的一半、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
[跟踪训练2] 已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．
解 设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
题型三 圆系方程问题
例3 求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0与圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．
[解] 解法一：联立两圆的方程，得
相减并化简，得公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0.
由
解得或
即两圆的交点坐标分别为(－1,2)，(5，－6)．
∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径长为 ＝5.
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
解法二：由解法一可知公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0.设所求圆的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ≠－1)．
可求得圆心C.
∵圆心C在公共弦所在直线上，
∴4·＋3·－2＝0，解得λ＝.
∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.
圆系方程
一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
[跟踪训练3] 求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：(1)过原点；(2)有最小面积．
解 设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，
即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0.
(1)∵此圆过原点，
∴1＋4λ＝0，∴λ＝－，
故所求圆的方程为x2＋y2＋x－y＝0.
(2)将圆系方程化为标准式得(x＋1＋λ)2＋2＝2＋.
要使其面积最小，必须圆的半径取最小值，此时λ＝.
∴满足条件的圆的方程为2＋2＝.
1．圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝m(m>0)与圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0有3条公切线，则m＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 ∵圆C1与圆C2有3条公切线，∴圆C1与圆C2外切，∴它们的圆心距等于半径之和．圆C2可化为(x－2)2＋(y－5)2＝16，∴两圆的圆心距d＝＝4＋，解得m＝1.
2．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是( )
A．r<＋1 B．r>＋1
C．|r－|<1 D．|r－|≤1
答案 D
解析 由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为＝.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤≤r＋1，∴－1≤r≤＋1，即－1≤r－≤1，∴|r－|≤1.
3．(多选)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.下列结论正确的为( )
A．当两圆外切时，m＝25＋10
B．当两圆内切时，m＝25－10
C．当m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0
D．当m＝45时，两圆的公共弦长为2
答案 ABCD
解析 因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为，.对于A，当两圆外切时，由＝＋，得m＝25＋10，正确；对于B，当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以－＝5，解得m＝25－10，正确；对于C，由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，正确；对于D，两圆的公共弦长为2＝2，正确．故选ABCD.
4．点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为__________，最大值为________.
答案 1 5
解析 如图，x轴与圆O交于P1，P2，与圆C交于Q1，Q2，当P在P1处，Q在Q1处时，|PQ|最小为|P1Q1|＝|OC|－r1－r2＝1.当P在P2处，Q在Q2处时，|PQ|最大为|P2Q2|＝|OC|＋r1＋r2＝5.
5．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解 (1)设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2.
因为两圆外切，
所以|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)，
故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
将两圆的方程相减，
即得两圆公共弦AB所在直线的方程：
4x＋4y＋r－8＝0.①
作O1H⊥AB，则|AH|＝|AB|＝，
|O1H|＝＝，
由圆心O1(0，－1)到直线①的距离得＝，解得r＝4或r＝20，
故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的位置关系是( )
A．外切 B．内切
C．相交 D．相离
答案 B
解析 圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0的圆心是C1(－2,2)，半径为r1＝1；圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的圆心是C2(2,5)，半径为r2＝6，而|C1C2|＝＝5＝r2－r1，故两圆内切．
2．过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线方程是( )
A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0
C．5x＋3y－2＝0 D．不存在
答案 A
解析 两圆的公共弦所在直线方程为两圆方程相减而得，即x2＋y2＋6x＋4y－(x2＋y2＋4x＋2y－4)＝0，整理，得2x＋2y＋4＝0，即x＋y＋2＝0.
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
答案 C
解析 圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标分别为(2，－3)和(3,0)，由题意，知线段AB的垂直平分线必过两圆圆心，所以线段AB的垂直平分线的方程是3x－y－9＝0，所以C正确．
4．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．(x－2)2＋(y－2)2＝2
C．2＋2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝1
答案 B
解析 将已知圆的方程化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5.过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为＝，则圆C2的半径长为.设C2的坐标为(x0，y0)，则＝，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心C2的坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.故选B.
5．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，下列结论正确的有( )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0
B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a
D．y1＋y2＝2b
答案 ABC
解析 圆C2的方程可化为C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的坐标代入可得2ax1＋2by1＝a2＋b2,2ax2＋2by2＝a2＋b2.两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A，B正确；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确，D不正确．故选ABC．
二、填空题
6．两圆相交于(1,3)和(m，－1)两点，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________.
答案 3
解析 由平面几何性质知，两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直，且经过弦的中点，则＝－1，解得m＝5.∵弦中点坐标为(3,1)，∴3－1＋c＝0，解得c＝－2.∴m＋c＝3.
7．圆x2＋y2－16＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.
答案
解析 两圆的公共弦所在直线方程为4x－4y－4＝0，即x－y－1＝0，圆x2＋y2－16＝0的圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.由勾股定理，得公共弦长的一半为 ＝，
∴公共弦长为.
8．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为________.
答案 5－3
解析 根据题意，设圆G与圆N关于x轴对称，点Q′与点Q关于x轴对称，圆N的方程为(x＋4)2＋(y－2)2＝1，其圆心坐标为(－4,2)，半径r＝1，则圆G的圆心坐标为(－4，－2)，半径r′＝1，则圆G的方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝1，又由Q为圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，则Q′在圆G上，则有|AP|＋|AQ|＝|AP|＋|AQ′|，又|AP|＋|AQ′|的最小值为|MG|－R－r′＝－3＝5－3.
三、解答题
9．求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．
解 解法一：设经过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，
即x2＋y2－x－y－6＝0，
所以圆心坐标为.
又圆心在直线x－y－4＝0上，
所以－－4＝0，即λ＝－.
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
解法二：由得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x，
由解得或
所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y－1＝－(x－1)，
由得
所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，
半径为＝4，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
10．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．
解 设圆B的半径长为r，
∵圆B的圆心在直线l：y＝2x上，
∴圆B的圆心可设为(t,2t)，
则圆B的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝r2，
即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0，①
圆A的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，②
由②－①，得两圆的公共弦所在直线的方程为
(2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t2＋r2－2＝0.③
又圆B平分圆A的周长，∴圆A的圆心(－1，－1)必在公共弦上，将x＝－1，y＝－1代入方程③，
并整理得r2＝5t2＋6t＋6＝52＋≥，
∴当t＝－时，rmin＝.
此时，圆B的方程是2＋2＝.
B级：“四能”提升训练
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
解 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0于是圆N的半径为y0，
从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.
因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为
y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝＝.
因为BC＝OA＝＝2，
而MC2＝d2＋2，
所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2＋y2＝4交于点A，B，与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于两个不同的点C，D.
(1)若直线AB的斜率为，求CD的长；
(2)若CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．
解 (1)因为直线CD的斜率为－，
所以直线CD的方程为y＝－x＋1，
即x＋y－＝0.
又圆M的圆心到CD的距离为＝，
所以|CD|＝2＝.
(2)当AB⊥x轴，CD∥x轴时，此时|AB|＝4，点E与点M重合，|PM|＝2，所以△ABE的面积S＝4，
当AB∥x轴，CD⊥x轴时，显然不存在(舍去)，
当AB与CD都不平行于坐标轴时，
可设AB：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
则点O到直线AB的距离d＝，
因为AB⊥CD，所以kCD＝－，
所以CD：y＝－x＋1，即x＋ky－k＝0，
点M(2,1)到直线CD的距离d′＝.
由题意知|AB|＝2＝2
＝2，
因为d′＝<1，所以k2>3.
因为点E是CD的中点，所以ME⊥CD，
所以|PE|＝＝＝，
所以△ABE的面积
S＝|AB|·|PE|＝，
记＝t，则0S＝＝2∈，
综上所述S∈.
1