6.3.2二项式系数的性质-2022-2023学年高二数学同步精讲 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
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6.3.2 二项式系数的性质
问题导入
的展开式的二项式系数有很多有趣的性质，而且我们可以从不同的角度进行研究.
的展开式的二项式系数
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问题1：用计算工具计算的展开式的二项式系数，并填入表.
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新知探索
从上表中可以发现，每一行中的系数具有对称性.除此之外还有什么规律呢？为了便于发现规律，上表还可以写出如图所示的形式.
观察上图，你还能发现哪些规律？
新知探索
对于的展开式的二项式系数，，，，，我们还可以从函数的角度分析它们.可看成以为自变量的函数，其定义域是.
对于确定的，我们还可以画出它的图象.例如，当时，函数
的图象是7个离散点，如图所示.
新知探索
问题2：(1)观察上图，你发现了什么规律？
(2)请你分别画出时函数的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律？
分析上述两个图，可以得到二项式系数的以下性质.
新知探索
1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由
得到.
直线将函数的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
2.增减性与最大值
因为，即，
所以，当，即时，随的增加而增大；由对称性知，当
时，随的增加而减小.当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值.
新知探索
3.含二项式系数的和
已知，
令，得.
这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于.
新知探索
答案：D.
辨析1.已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则等于( ).
A.11 B.10 C.9 D.8
辨析2.的展开式中二项展系数最大的项是第_____项.
答案：4或5.
例析
例3.求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
l
解：在展开式 中，
令，，则得 .
即.
因此，，
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
练习
题型一：求二项展开式中系数或二项式系数的最大项
例1.(1)的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( ).
A.第5项 B.第6项或第7项 C.第6项 D.第7项
解：(1)，，依题意有.
所以的展开式中，二项式系数最大的项为第5项.故选A.
答案：A.
练习
例1.(2)的展开式中，系数最大的项为( ).
A.第6项 B.第3项 C.第3项或第6项 D.第5项或第7项
解：(2)展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等.由于二项式系数的最大项为，且中的二项式系数的相反数，此时的系数最小.而，，且.所以系数最大的项为第5项和第7项.故选D.
答案：D.
练习
方法技巧：
(1)根据二项式系数的性质，为奇数时，中间两项的二项式系数最大；为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
(2)求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解.一般地，如果第项的系数最大，则与之相邻两项(第项、第项)的系数均不大于第项的系数，由此列不等式组可确定的范围，再根据来确定的值，即可求出最大项.
练习
变1.(1)的展开式中系数最小的项为( ).
A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项
解(1)：展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大.由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数.所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项.故选C.
答案：C.
练习
变1.(2)在的展开式中，的系数等于-5，则该展开式的各项的系数中最大值为( ).
A.5 B.10 C.15 D.20
解(2)：的展开式的通项，
令，则，所以，即，展开式中第2，4，6项的系数为负数，第1，3，5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为.
答案：B.
练习
题型二：求二项展开式的系数和
例2.设
(1)求的值；
(2)求的值；
解：(1)令，得①
(2)令，得②
①②得，
∴.
练习
例2.设
(3)求的值.
解：(3)∵，
∴，.
∴.
练习
方法技巧：
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.
(2)一般地，若，则展开式中各项系数之和为，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为.
练习
变2.已知求：
(1)；(2)
解：(1)由∵
令，得，
∴.
(2)由(1)得，，①
令得②
所以
练习
题型三：二项式系数性质的应用
例3.已知二项式
(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
解：(1)由题意，得，∴∴或
①当时，展开式中二项式系数最大的项是和，的系数为，的系数为.
故展开式中二项式系数最大项的系数分别为，.
②当时，展开式中二项式系数最大的项是，
∴的系数为.
故展开式中二项式系数最大项的系数分别为.
练习
例3.已知二项式
(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.
解：(2)由题意知
解得或(舍去).
设展开式中第项的系数最大，由于，
则解得.
又，∴，
∴系数最大的项为，且.
练习
方法技巧：
(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决.
(2)若展开式的系数为的形式，如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，，，，且第项系数最大，应用解出，即得系数最大项.
(3)若展开式的项数较少或转化为讨论较小项的系数的类型，可采用逐个作差(作商)比较确定.
练习
变3.已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
解：令，则二项式各项系数的和为，又展开式中各项的二项式系数之和为，由题意知，.
∴.∴.
∴(舍去)或，∴.
(1)由于为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
，.
练习
变3.已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(2)求展开式中系数最大的项.
(2)展开式的通项公式为.
假设项系数最大，则有∴
∴∴，∵，∴.
∴展开式中系数最大的项为.
课堂小结
二项式系数的性质：
1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由
得到.
直线将函数的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
2.增减性与最大值
因为，即，
所以，当，即时，随的增加而增大；由对称性知，当
时，随的增加而减小.当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值.
课堂小结
二项式系数的性质：
3.含二项式系数的和
已知，
令，得.
这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于.
注：求二项式系数的最大、最小值时，一定要搞清楚是奇数还是偶数.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P34的练习1——4题；
(3)课本P37的复习参考题6的第5题.