高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第1章 3-1 弧度概念+3-2 弧度与角度的换算（含解析）

3.1　弧度概念
3.2　弧度与角度的换算
必备知识基础练
1.在半径为5 cm的扇形中,圆心角为2,则扇形的面积为(　　)
A.25 cm2 B.10 cm2 C.15 cm2 D.5 cm2
2.角α=-2,则α所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知扇形AOB的周长为10,面积为6,则该扇形的圆心角为(　　)
A.3 B.或3 C. D.或3
4.在半径为3 cm的圆中,的圆心角所对的弧长为(　　)
A. cm B. cm C. cm D. cm
5.如果一个圆的半径变为原来的一半,弧长变为原来的倍,则该弧所对的圆心角是原来的　　　　倍.
关键能力提升练
6.若集合P={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},Q={α|-4≤α≤4},则P∩Q=(　　)
A.
B.{α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}
C.{α|-4≤α≤4}
D.{α|0≤α≤π}
7.若角α的终边在直线y=-x上,则角α的集合为(　　)
A.αα=2kπ-,k∈Z
B.αα=2kπ+,k∈Z
C.αα=kπ-,k∈Z
D.αα=kπ-,k∈Z
8.如图,一把折扇完全打开后,扇面的两条弧的弧长分别是10π和,且AD=10,则图中阴影部分的面积是(　　)
A. B.100π C. D.
9.一个半径为2的扇形,如果它的周长等于所在圆的半圆的弧长,那么扇形的圆心角是　　　　弧度,扇形的面积是　　　　.
学科素养创新练
10.已知扇形的圆心角为α,半径为r.
(1)若扇形的周长是定值C(C>0),求扇形的最大面积及此时α的值;
(2)若扇形的面积是定值S(S>0),求扇形的最小周长及此时α的值.
答案
1.A　扇形面积为S=×2×52=25(cm2).故选A.
2.C　角α=-2,-2∈,所以α在第三象限,故选C.
3.B　设扇形AOB的半径为r,弧长为l,由题意可得解得则该扇形的圆心角为或3.故选B.
4.A　由题意可得圆心角α=,半径r=3 cm,弧长l=αr=×3=(cm).故选A.
5.3　设圆的半径为r,弧长为l,则该弧所对的圆心角为.将半径变为原来的一半,弧长变为原来的倍,则该弧所对的圆心角变为=3·,即该弧所对的圆心角变为原来的3倍.
6.B　当k=-1,0时,集合P和Q的公共元素满足-4≤α≤-π,或0≤α≤π,当k取其他值时,集合P和Q无公共元素,故P∩Q={α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}.
7.D　由图知,角α的取值集合为αα=2kπ+,k∈Z∪αα=2kπ-,k∈Z=αα=(2k+1)π-,k∈Z∪αα=2kπ-,k∈Z=αα=kπ-,k∈Z,故选D.
8.A　设OA=R,OD=r,圆心角是θ,则rθ=,(r+10)θ=10π,R-r=10,解得R=15,r=5,θ=,所以阴影部分的面积为,故选A.
9.π-2　2(π-2)　设扇形的弧长为l,圆心角为α,
故由题得2α+2×2=2π,所以α=π-2,
扇形的面积S=l·r=·(2π-4)·2=2(π-2).
10.解(1)由题意可得2r+αr=C,则αr=C-2r,
得扇形面积S=αr2=(C-2r)r=-r2+Cr=-,
故当r=时,S取得最大值,
此时α==2.
(2)由题意可得S=αr2,则αr=,
得扇形周长C=2r+αr=2r+≥4,
当且仅当2r=,即r=时取等号,