高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第1章 7-3 正切函数的图象与性质（含解析）

7.3　正切函数的图象与性质
必备知识基础练
1.sin 2·cos 3·tan 4的值为(　　)
A.负数 B.正数
C.0 D.不存在
2.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得的线段长为,则f的值是(　　)
A.0 B.1 C.-1 D.
3.关于函数y=tan,下列说法正确的是(　　)
A.是奇函数
B.在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
D.最小正周期为π
4.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.正切函数是周期函数,最小正周期为π
B.正切函数的图象是连续的
C.直线x=kπ+(k∈Z)是正切曲线的渐近线
D.把y=tan x,x∈的图象向左、右平行移动kπ(k∈Z)个单位长度,得到的图象与y=tan x重合
5.函数y=tan的单调递减区间为　　　　　　　　　　　　　.
6.给出下列四个结论:
①sin->sin-;
②cos->cos-;
③tan >tan ;
④tan >sin .
其中正确结论的序号是　　　　.
关键能力提升练
7.若tan 2=a,tan 3=b,tan 5=c,则(　　)
A.aB.bC.cD.c8.若不等式tan x>a在x∈上恒成立,则a的取值范围为(　　)
A.(1,+∞)
B.(-∞,1]
C.(-∞,-1)
D.(-∞,-1]
9.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”,“平行曲线”具有性质:任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交,被截得的线段长度相等.已知函数f(x)=tan(ω>0)图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y=2 022相交于A,B两点,且|AB|=2,则f=(　　)
A. B.
C.-3 D.--3
10.若函数y=tan(2x+θ)图象的一个对称中心为,且-<θ<,则θ的值是　　　　　.
11.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan-ax在区间上单调递增 若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.
学科素养创新练
12.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;
(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数的θ的取值范围.
答案
1.A　因为<2<π,所以sin 2>0.因为<3<π,所以cos 3<0.因为π<4<,所以tan 4>0.所以sin 2·cos 3·tan 4<0.
2.A　由题意,可知T=,所以ω==4,即f(x)=tan 4x,所以f=tan4×=tan π=0,故选A.
3.C　当x=0时,y=tan-≠0,则函数y=tan2x-为非奇非偶函数,故A错误;若x∈0,,则2x-∈-,所以函数y=tan2x-在0,上单调递增,故B错误;周期T=,故D错误;当x=时,y=tan=tan 0=0,故C正确.故选C.
4.ACD　正切函数是周期函数,周期为kπ(k∈Z),最小正周期为π;正切曲线是由相互平行的直线x=+kπ(k∈Z)(称为渐近线)所隔开的无穷多支曲线组成的,故A,C,D正确.
5.(k∈Z)　y=tan=-tan.
由-+kπ<3x-+kπ(k∈Z),
得-故函数y=tan的单调递减区间为-(k∈Z).
6.①④　函数y=sin x在区间-,0上单调递增,0>->->-,所以sin->sin-,①正确;cos-=cos-6π-=cos,cos-=cos-4π-=cos,所以cos-=cos-,②不正确;函数y=tan x是,π上的增函数,<π,所以tanx>sin x,所以tan>sin,④正确.
7.D　∵tan 5=tan(5-π),<5-π<2<3<π,
且函数y=tan x在区间上单调递增,
∴tan(5-π)∴tan 58.D　因为函数y=tan x在区间上单调递增,
所以tan x>tan=-1,所以a≤-1.
9.A　由题意知,函数f(x)的最小正周期T=|AB|=2,所以=2,解得ω=,所以f(x)=tan,所以f=tan=tan.
10.-　令2x+θ=(k∈Z),由对称中心为,得θ=(k∈Z).
又θ∈,故θ=-.
11.解y=tan-ax=tan-ax+,
因为y=tan x在区间kπ-,kπ+(k∈Z)上为增函数,所以a<0,
又x∈,所以-ax∈-,-,
所以-ax∈,
所以
解得-≤a≤6-8k(k∈Z).
由-=6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.
所以a=-2<0,
所以存在a=-2∈Z,满足题意.
12.解(1)当θ=-时,f(x)=x2-x-1=x-2-.
∵x∈[-1,],且f(x)的图象开口向上,
∴当x=时,f(x)min=-;
当x=-1时,f(x)max=.
(2)由题可知g(x)=x-+2tan θ,
∵g(x)为奇函数,
∴0=g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ,
∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,]上是单调函数,
∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,
即tan θ≤-或tan θ≥1,
∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,