高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第1章 8 三角函数的简单应用（含解析）

8　三角函数的简单应用
必备知识基础练
1.(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是(　　)
A.该质点的运动周期为0.8 s
B.该质点的振幅为1 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
2.如图所示的是一个半径为3米的水轮,水轮的圆心O距离水面2米,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P到水面的距离y(单位:米)与时间t(单位:秒)满足关系式y=Asin(ωt+φ)+2,则(　　)
A.ω=,A=3 B.ω=,A=3
C.ω=,A=5 D.ω=,A=5
3.已知锐角三角形ABC的内角满足(tan B-)2+|2sin C-|=0,则它的形状是　　　　　　　.
4.交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=220sin来表示.
求:(1)开始时的电压;
(2)电压值重复出现一次的时间间隔;
(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间.
关键能力提升练
5.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针位置P(x,y).若初始位置为P0,当秒针从P0(注:此时t=0 s)开始走时,点P的纵坐标y与时间t(单位:s)的函数解析式为(　　)
A.y=sint+,t∈[0,+∞)
B.y=sin-t-,t∈[0,+∞)
C.y=sin-t+,t∈[0,+∞)
D.y=sin-t-,t∈[0,+∞)
6.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(单位:cm)表示成时间t(单位:s)的函数,则d=　　　　　,其中t∈[0,60].
7.春节期间,某地昼夜气温呈周期性变化,温度y(单位:℃)随时间x(单位:h)变化近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,-π<φ≤π),且在每天凌晨2时达到最低温度-3 ℃,在下午14时达到最高温度9 ℃,从2时到14时为半个周期.
(1)求这段时间气温随时间变化的函数解析式.
(2)这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为0 ℃
注:一昼夜指从凌晨0时(含)到午夜24时(不含).
学科素养创新练
8.在某景区的一家专门为游客提供住宿的客栈中,工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余较多,浪费很严重.为了控制经营成本,减少浪费,计划适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化,并且有以下规律:①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增,在8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;
(2)请问客栈在哪几个月份要准备400份以上的食物
答案
1.ABD　由题图可知,=0.7-0.3=0.4,所以T=0.8;最小值为-1,所以振幅为1 cm;在0.1 s和0.5 s时,质点到达运动的端点,所以速度为0.
2.B　因为y=Asin(ωx+φ)+2,最高点离平衡位置距离是3,所以A=3.因为水轮每分钟旋转4圈,所以转动一周为一个周期,所以T=15秒,ω=.故ω=,A=3.
3.等边三角形　因为(tan B-)2+|2sin C-|=0,所以tan B=,sin C=.因为B,C∈(0,π),所以B=60°,C=60°,A=60°或B=60°,C=120°(舍去),所以它的形状是等边三角形.
4.解(1)当t=0 s时,E=220sin=110(V),即开始时的电压为110 V.
(2)T==0.02(s),即电压值重复出现一次的时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220 V,令100πt+,解得t=.即t= s时第一次取得这个最大值.
5.C　由题意可得函数初相为,排除B,D.
又T=60 s且秒针按顺时针旋转,即T==60,所以|ω|=,即ω=-.故选C.
6.10sin　解析式可写为d=Asin(ωt+φ)的形式,由题意易知A=10,当t=0时,d=0,得φ=0;当t=30时,d=10,可得ω=,所以d=10sin.
7.解(1)依题意,解得A=6,b=3.
根据题意,=14-2=12,T=24,则ω=.
又x=2时,y=-3,则6sin×2+φ+3=-3,
且-π<φ≤π,解得φ=-,
所以所求的解析式为y=6sinx-+3;
(2)由y=6sinx-+3=0得sinx-=-,所以x-=2kπ-x-=2kπ+,k∈Z.
由0≤x<24,解得x=6或x=22,即在每天的6时或22时的气温为0 ℃.
8.解(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π),其中x=1,2,…,12.
根据①,可知这个函数的周期是12;
由②,可知f(2)为最小值,f(8)为最大值,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;
由③,可知f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.
根据上述分析可得=12,故ω=,A=200,B=500-200=300.
当x=2时,f(x)最小,当x=8时,f(x)最大,
故sin2×+φ=-1,且sin8×+φ=1.
又|φ|<π,故φ=-.
所以一年中入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为f(x)=200sinx-+300(x=1,2,…,12).
(2)由已知条件,可知200sinx-+300≥400,
化简得sinx-≥,
即2kπ+x-≤2kπ+,k∈Z,
解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.
因为x∈N+,且1≤x≤12,故x=6,7,8,9,10.