高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第1章 三角函数 单元测试（含解析）

第一章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.1弧度的圆心角所对的弧长为6,则这个圆心角所夹的扇形的面积是(　　)
A.3 B.6
C.18 D.36
2.若-<α<0,则点P(tan α,cos α)位于　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知sinα+=,则cosα-的值为(　　)
A. B.
C.- D.-
4.命题p:cos θ=,命题q:tan θ=1,则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.函数y=的定义域为(　　)
A.(-4,-π] B.[-π,-3]
C.[-3,0] D.[0,+∞)
6.cos2+cos2=(　　)
A. B.
C. D.1
7.函数f(x)=ln|x|·sin x的部分图象大致为(　　)
8.已知函数f(x)=sin(2x+φ)满足f(x)≤f(a)对x∈R恒成立,则函数(　　)
A.f(x-a)一定为奇函数
B.f(x-a)一定为偶函数
C.f(x+a)一定为奇函数
D.f(x+a)一定为偶函数
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.给出下列各三角函数值:①sin 100°;②cos(-220°);③tan(-10);④cos π.其中符号为负的是(　　)
A.① B.②
C.③ D.④
10.关于函数f(x)=4sinπx-,下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为2
B.f(x)的图象关于点,0中心对称
C.若f(a-x)=f(a+x),则|a|的最小值为
D.f(x)的图象与曲线y=011.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π),且f≤f(x)≤f对任意的x∈R都成立,则(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.当ω取最小值时,φ=-
C.f=0
D.f(x)在区间上单调递增
12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象关于直线x=对称
B.函数f(x)的图象关于点-,0中心对称
C.函数f(x)在区间-上单调递增
D.函数y=1与y=f(x)-≤x≤的图象的所有交点的横坐标之和为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知扇形的周长为16 cm,面积为16 cm2,则扇形的圆心角α的弧度数为　　　　.
14.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是　　　弧度,扇形面积是　　　.
15.函数y=sin,x∈的值域是　　　　.
16.函数y=x2sinx+是　　　　　　函数(填“奇”或“偶”).
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到g(x)的图象,求函数g(x)在区间0,上的最值并求出相应x的值.
18.(12分)(1)化简:;
(2)计算:cos+cos+tan-+sin.
19.(12分)已知函数f(x)=3tan.
(1)求f(x)的定义域;
(2)比较f与f的大小.
20.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.
(1)试确定f(x)的解析式;
(2)若f,求cos的值.
21.(12分)已知函数f(x)=2sin+a+1(其中a为常数).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值;
(3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合.
22.(12分)已知点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<0图象上的任意两点,角φ的终边经过点P(1,-),且当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈0,时,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围.
答案
1.C　设圆心角为α,圆心角所对的弧长为l,半径为r.
因为l=|α|r,所以6=1×r.
所以r=6.所以S=lr=×6×6=18.
2.B　因为-<α<0,所以tan α<0,cos α>0,
所以点P(tan α,cos α)位于第二象限.
3.B　cosα-=cosα+=sinα+=.故选B.
4.D　由cos θ=,得θ=±+2kπ,k∈Z,则tan θ=±1,故pq,p不是q的充分条件;由tan θ=1,得θ=+kπ,k∈Z,则cos θ=±,故qp,p不是q的必要条件,所以p是q的既不充分也不必要条件.故选D.
5.A　要使函数有意义,需满足
即解得-46.D　原式=cos2+cos2=cos2+sin2=1.
7.A　由解析式知f(x)=ln|x|·sin x定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f(-x)=ln|-x|·sin(-x)=-ln|x|·sin x=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除B,D,当00,可得f(x)=ln|x|·sin x<0,排除C,故选A.
8.D　由题意得f(a)=sin(2a+φ)=1,则2a+φ=2kπ+,k∈Z,所以f(x+a)=sin(2x+2a+φ)=sin2x+2kπ+=cos 2x,此时函数为偶函数.
9.BCD　因为100°角是第二象限角,所以sin 100°>0;因为-220°角是第二象限角,所以cos(-220°)<0;因为-10∈-π,-3π,所以-10角是第二象限角,所以tan(-10)<0;cos π=-1<0.故选BCD.
10.AD　由题可得=2,f(x)的最小正周期为2,A正确;f=4sin=4≠0,所以f(x)的图象不关于点,0中心对称,B错误;令πx-+kπ,k∈Z,得x=+k,k∈Z,离y轴最近的对称轴为x=-,所以若f(a-x)=f(a+x),则函数关于x=a对称,|a|的最小值为,C错误;在y轴右边离y最近的对称轴为x=,f=4,而<4,y=在(0,+∞)上是减函数,因此f(x)的图象在第一象限每个周期内与y=的图象都有两个交点,在区间上有两个交点,在区间上有两个交点,从而在区间0,上共有4个交点,D正确.
故选AD.
11.BC　因为f≤f(x)≤f对任意的x∈R都成立,所以ω+φ=2k1π-ω+φ=2k2π+,k1,k2∈Z且k2≥k1,所以ω=(2k+1)π,ω=2(2k+1),其中k=k2-k1,k1,k2∈Z,又ω>0,所以f(x)的最小正周期T=,k∈Z,故A错误;易知ωmin=2,此时φ=2k2π-,k2∈Z,因为|φ|≤π,所以φ=-,B正确;易知x=和x=是f(x)的两个极值点,所以,0是f(x)图象的一个对称中心,故C正确;当k>1时,f(x)的最小正周期T≤,而,故D错误.故选BC.
12.BCD　由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的图象可得,A=2,,因此T=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ),又因为图象过点,-2,
所以f=2sin+φ=-2,即sin+φ=-1,因此+φ=+2kπ,k∈Z,又0<|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=2sin2x+.当x=时,f=-1,故A错;当x=-时,f-=0,故B正确;当x∈-时,2x+∈-,所以f(x)=2sin2x+在区间-上单调递增,故C正确;当-≤x≤时,2x+∈[0,4π],所以y=1与函数y=f(x)有4个交点,横坐标为x1,x2,x3,x4,x1+x2+x3+x4=×2+×2=,故D正确.
13.2　由题知扇形的周长为16 cm,面积为16 cm2,可设扇形圆心角为α,且α∈(0,2π),半径为r,
则解得所以α=2.
14.　48　设圆心角为θ,则有θ=弧度;扇形面积S=×12×8=48.
15.　因为x∈,
所以≤x+,所以≤sin≤1,
即原函数的值域为.
16.偶　y=f(x)=x2sinx+=x2cos x的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)2cos(-x)=x2cos x=f(x),故y=x2sinx+为偶函数.
17.解(1)由图象可知A=2,T=,
所以T==π,ω=2.
所以f(x)=2sin(2x+φ),将,2代入可得+φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=2sin2x+.
(2)g(x)=2sin2x++=2sin2x+π,
因为x∈0,,所以2x+∈.
当2x+,即x=0时,g(x)max=1;
当2x+,即x=时,g(x)min=-2.
18.解(1)原式==tan αtan α=tan2α.
(2)cos+cos+tan-+sin=cos4π++cos8π++tan-6π-+sinπ-=cos+cos+tan-+sin-1+.
19.解(1)由已知得2x-≠kπ+(k∈Z),x≠(k∈Z),
所以函数f(x)的定义域为.
(2)因为f=3tan=-3tan<0,f=3tan=3tan=3tan=3tan>0.所以f20.解(1)由题图可知A=2,,则T=2,ω==π.
将点P代入y=2sin(πx+φ),得sin=1,
所以+φ=+2kπ,k∈Z,
又|φ|<,
所以φ=.
故f(x)的解析式为f(x)=2sin.
(2)由(1)和f,
得2sin,
即sin.
所以cos=cos=-sin=-.
21.解(1)由-+2kπ≤2x++2kπ(k∈Z),
解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
由+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)因为0≤x≤,所以≤2x+,
所以-≤sin≤1,
所以f(x)的最大值为2+a+1=4,所以a=1.
(3)当f(x)取最大值时,2x++2kπ,k∈Z,
所以x=+kπ,k∈Z,所以当f(x)取最大值时,x的取值集合是xx=+kπ,k∈Z.
22.解(1)因为角φ的终边经过点P(1,-),
所以tan φ=-,
又因为-<φ<0,
所以φ=-.
由当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为,得T=,即,
所以ω=3.
所以f(x)=2sin3x-.
(2)由-+2kπ≤3x-+2kπ,k∈Z,
得-≤x≤,k∈Z,
故函数f(x)的单调递增区间为-(k∈Z).
(3)当x∈0,时,-≤f(x)≤1,于是2+f(x)>0,
则mf(x)+2m≥f(x)等价于m≥=1-.
由-≤f(x)≤1,得的最大值为.