高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第2章 3-1 向量的数乘运算+3-2 向量的数乘与向量共线的关系（含解析）

3.1　向量的数乘运算
3.2　向量的数乘与向量共线的关系
必备知识基础练
1.已知=-,且=k,则k=(　　)
A.- B.
C. D.-
2.已知△ABC的重心为O,则向量=(　　)
A. B.
C.- D.-
3.(多选)已知实数m,n和向量a,b,下列说法中正确的是(　　)
A.m(a-b)=ma-mb
B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b
D.若ma=na(a≠0),则m=n
4.下列各组向量中,一定能推出a∥b的是(　　)
①a=-3e,b=2e;
②a=e1-e2,b=-e1;
③a=e1-e2,b=e1+e2+.
A.① B.①② C.②③ D.①②③
5.在△ABC中,点P是AB上一点,且,又=t,则t的值为(　　)
A. B.
C. D.
6.(2a-3b)-3(a+b)=　　　　.
7.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=a,=b,则=　　　　　.(用a,b表示)
8.在△ABC中,4=3,且=λ,则λ=　　　　.
关键能力提升练
9.如图,已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线与AB,AD所在直线分别交于点M,N,满足=m=n(m>0,n>0),若mn=,则的值为(　　)
A. B.
C. D.
10.(多选)若点D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,则下列结论正确的是(　　)
A.=-a-b
B.=a+b
C.=-a+b
D.a
11.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为(　　)
A.-1 B.2
C.-2或1 D.-1或2
12.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是　　　.
13.已知两个非零向量a,b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)求实数k使ka+b与2a+kb共线.
学科素养创新练
14.过△ABC的重心G任作一直线分别交AB,AC于点D,E,若=x=y,且xy≠0,试求的值.
答案
1.B　=-=-)=-,所以,所以,故k=.故选B.
2.C　设E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,由于O是三角形ABC的重心,所以×()=×=-.故选C.
3.ABD　根据向量数乘的运算可知A和B正确;当m=0时,ma=mb=0,但a与b不一定相等,故C错误;由ma=na,得(m-n)a=0,因为a≠0,所以m=n,故D正确.故选ABD.
4.B　①中,a=-b,所以a∥b;
②中,b=-e1==-a,所以a∥b;
③中,b=(e1+e2),若e1与e2共线,
则a与b共线,若e1与e2不共线,则a与b不共线.
故选B.
5.A　∵=t,
∴=t(),
∴=(1-t)+t,
∴t=.
6.-a-4b　(2a-3b)-3(a+b)=a-b-3a-3b=-a-4b.
7.-a+b　)=-=-a+b.
8.4　由题意得3()= 3,如简图,所以=4,即λ=4.
9.D　因为,
又因为=m=n(m>0,n>0),
故,
又因为O,M,N三点共线,所以=1,即m+=2.
由解得.故选D.
10.ABC　如图,
在△ABC中,=-=-b-a,故A正确;=a+b,故B正确;=-b-a,=b+×(-b-a)=-a+b,故C正确;=-a,故D不正确.故选ABC.
11.D　因为A,B,C三点共线,
所以存在唯一一个实数k使=k.
因为=λa+2b,=a+(λ-1)b,
所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].
因为a与b不共线,所以
解得λ=2或λ=-1.
12.梯形　因为=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2,
所以AD∥BC,且AD=2BC.所以四边形ABCD是梯形.
13.(1)证明因为=a+b,=2a+8b+3a-3b=5a+5b=5(a+b)=5,
所以共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)解因为ka+b与2a+kb共线,
所以存在实数λ,使ka+b=λ(2a+kb).
所以(k-2λ)a+(1-λk)b=0,
所以解得k=±.
14.解如图,设=a,=b,则(a+b)=(a+b).
∴a-b,
=xa-yb.
∵共线,
∴存在实数λ,使=λ,
∴a-b=xλa-yλb,
∴