高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第2章 4-1 平面向量基本定理（含解析）

4.1　平面向量基本定理
必备知识基础练
1.(多选)若{e1,e2}是平面内的一组基,则下列四组向量中不能作为平面向量的基的是(　　)
A.{e1-e2,e2-e1}
B.
C.{2e2-3e1,6e1-4e2}
D.{e1+e2,e1+3e2}
2.如图,在6×6的方格中,已知向量a,b,c的起点和终点均在格点,且满足向量a=xb+yc(x,y∈R),那么x-y=(　　)
A.0 B.-2 C.1 D.2
3.设a,b为平面内所有向量的一组基,已知向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于(　　)
A.2 B.-2 C.10 D.-10
4.(多选)如果{e1,e2}是平面α内的一组基,那么下列说法正确的是(　　)
A.若存在实数λ1,λ2,使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0
B.对平面α中任意向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈R
C.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)不一定在平面α内
D.对于平面α内任意向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对
5.如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=-λ+μ(λ,μ∈R),则λ-μ等于(　　)
A.- B. C.1 D.-1
6.若e1,e2为平面内所有向量的一组基,且a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作为一组基,则k的值为　　　　　.
7.已知向量a在基{e1,e2}下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基{e1+e2,e1-e2}下可以表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则λ=　　　　　,μ=　　　　　.
关键能力提升练
8.如图,AB是☉O的直径,点C,D是半圆弧上的两个三等分点,=a,=b,则等于(　　)
A.a-b B.a-b
C.a+b D.a+b
9.在△ABC中,∠C=3∠B,∠A=2∠B,AT平分∠CAB交BC于点T,若=λ+μ,则λ2+μ2=(　　)
A. B.
C. D.
10.已知O是△ABC的重心,动点P满足+2,则点P一定为(　　)
A.AB边中线的中点
B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.△ABC的重心
D.AB边的中点
11.如图,平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,以a,b为基表示向量=　　　　,=　　　　.
12.已知在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,=y=x,其中x,y∈R,且均不为0.若,则=　　　　　.
13.如图所示,在△OAB中,=a,=b,M,N分别是OA,OB上的点,且a,b.设AN与BM交于点P,用向量a,b表示.
学科素养创新练
14.已知A,B,C三点不共线,O为平面上任意一点,证明存在实数p,q,r,使得p+q+r=0,且若p+q+r=0,则必有p=q=r=0.
答案
1.ABC　选项A中,e1-e2=-(e2-e1),则e1-e2,e2-e1为共线向量;选项B中,2e1-e2=2e1-e2,也为共线向量;选项C中,6e1-4e2=-2(2e2-3e1),为共线向量.根据不共线的向量可以作为一组基,知只有选项D中的两向量可作为基.
2.A　设m为水平向右的单位向量,n为水平向上的单位向量,则a=2m-n,b=2m+2n,c=2m-4n.
因为a=xb+yc,所以2m-n=x(2m+2n)+y(2m-4n),即2m-n=(2x+2y)m+(2x-4y)n,
所以解得所以x-y==0.故选A.
3.A　=(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a-(k+2)b.
因为A,B,D三点共线,
所以存在实数λ使得=λ,
即a-kb=λ[2a-(k+2)b]=2λa-λ(k+2)b.
因为a,b为基向量,
所以解得λ=,k=2.
4.AB　e1与e2不共线,显然A正确;B正确,平面中的任意向量都可以用一组基表示;C错,在平面α内任意向量与λ1e1+λ2e2的形式一一对应,故λ1e1+λ2e2一定在平面α内;D错,这样的λ1,λ2是唯一的,而不是无数对.
5.B　因为四边形ABCD为矩形,且E为AO的中点,所以),
所以)-=-,因为=-λ+μ(λ,μ∈R),
所以λ=,μ=,所以λ-μ=,故选B.
6.-8　因为a,b不能作为一组基,
所以存在实数λ,使得a=λb,
即3e1-4e2=λ(6e1+ke2),
则6λ=3,且kλ=-4,
解得λ=,k=-8.
7.　-　a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2)=(λ+μ)e1+(λ-μ)e2=2e1+3e2,则
解得
8.D　连接CD,OD(图略),
∵点C,D是半圆弧上的两个三等分点,
∴,∴CD∥AB,∠CAD=∠DAB=30°.
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠DAO=30°,
∴∠CAD=∠ADO=30°,
∴AC∥DO,
∴四边形ACDO为平行四边形,则.
∵a,=b,
∴a+b.故选D.
9.D　在△ABC中,∠C=3∠B,∠A=2∠B,AT平分∠CAB交BC于点T,因为∠C=90°,
∠B=30°,∠A=60°,∠CAT=∠BAT=30°,所以2CT=AT=BT,所以CT=CB,)==λ+μ,所以λ=,μ=,所以λ2+μ2=.故选D.
10.B　∵O是△ABC的重心,
∴=0,
∴-+2=,
∴点P是线段OC的中点,
即AB边中线的三等分点(非重心).
11.b+a　a-b　在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,
所以=b+a,
=a+b-b=a-b.
12.=x-y,
由,可设=λ(λ∈R),
即x-y=λ()=λ-=-+λ,所以.
13.解设=m=n,因为,所以+ma+m(1-m)a+mb,+n(1-n)b+na.
因为a与b不共线,所以
解得所以a+b.
14.证明由题意可得r=-(p+q).
所以p+q-(p+q)=0,
即p()=q(),p=q,
所以p+q=0=0·+0·.
由平面向量的基本定理可知,其分解是唯一的,
所以p=0,q=0,p+q=0.因为p+q+r=0,