高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第2章 4-2 平面向量及运算的坐标表示（含解析）

4.2　平面向量及运算的坐标表示
必备知识基础练
1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为(　　)
A.-2,1 B.1,-2
C.2,-1 D.-1,2
2.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基{a,b}表示c,则(　　)
A.c=3a-2b
B.c=-3a+2b
C.c=-2a+3b
D.c=2a-3b
3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与同方向的单位向量是(　　)
A. B.
C. D.
4.已知点A(0,1),B(1,2),向量=(2,3),则向量=(　　)
A.(1,2) B.(-1,-2)
C.(3,6) D.(-3,-5)
5.(多选)在平面上的点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),D(0,0),下列结论正确的是(　　)
A. B.
C.-2 D.+2
6.已知a=(2,4),b=(-1,1),则2a-3b=　　　　　.
7.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则a+的值是　　　.
8.已知向量a=(2,1),b=(-1,3),c=(x,y).
(1)若a+b+c=0,求实数x,y的值;
(2)若非零向量c与a-b共线,求的值.
关键能力提升练
9.如图,在长方形ABCD中,AB=2AD,点M在线段BD上运动,若=x+y,则x+2y=(　　)
A.1 B. C.2 D.
10.如果将=绕原点O逆时针方向旋转120°得到,则的坐标是(　　)
A.- B.,-
C.(-1,) D.-
11.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k的值为(　　)
A.-2 B. C.1 D.-1
12.已知向量=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则的最小值为　　　　　.
13.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.
学科素养创新练
14.已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.
(1)证明:对于任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;
(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;
(3)求使f(c)=(3,5)成立的向量c.
答案
1.D　因为c=λ1a+λ2b,
所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3).
所以解得λ1=-1,λ2=2.
2.A　如图建立平面直角坐标系,设正方形网格的边长为1,
则a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3),
设向量c=ma+nb,则解得
所以c=3a-2b.
3.A　易得=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以与同方向的单位向量为(3,-4)=,故选A.
4.A　设点C(x,y),所以=(x,y-1)=(2,3),即解得于是得点C(2,4),因此,=(1,2).故选A.
5.BC　A中,=(-2,1),=(4,0),=(-2,-1),∴.故不正确;
B中,=(2,1),=(-2,1),=(0,2),,故正确;
C中,=(-4,0),=(0,2),=(2,1),
∴-2,故正确;
D中,=(2,1),=(0,2),=(-2,1),
∴+2,故不正确.
6.(7,5)　2a-3b=2(2,4)-3(-1,1)=(4+3,8-3)=(7,5).
7.　因为A,B,C三点共线,所以共线,所以存在实数λ,使(a-1,1)=λ(-b-1,2),
所以解得λ=,a+.
8.解(1)由题意可知c=-(a+b),
∴c=-(1,4)=(-1,-4),
即x=-1,y=-4.
(2)由题意得a-b=(3,-2),
∵c∥(a-b),∴-2x-3y=0,
即=-.
9.A　由题可得,设AB=2AD=2,因为四边形ABCD是长方形,所以以点A为坐标原点,AB方向为x轴正方向,AD方向为y轴正方向建立平面直角坐标系,则B(2,0),D(0,1),则=(2,0),=(2,1),=(-2,1),
因为=x+y,所以=(2x+2y,y),
所以=(-2,0)+(2x+2y,y)=(2x+2y-2,y),因为点M在BD上运动,所以有,所以1×(2x+2y-2)=-2y,整理得x+2y=1,故选A.
10.D　因为=所在直线的倾斜角为30°,绕原点O逆时针方向旋转120°得到所在直线的倾斜角为150°,所以A,B两点关于y轴对称,由此可知B点坐标为-,故的坐标是-,故选D.
11.C　因为A,B,C三点不能构成三角形,则A,B,C三点共线,则,又=(1,2),=(k,k+1),所以2k-(k+1)=0,即k=1.
12.　由题意,得=(-a+2,-2),=(b+2,-4).又,所以-4(-a+2)=-2(b+2),
整理得2a+b=2,所以(2a+b)=3+≥3+2=,当且仅当,即a=1-,b=-1时,等号成立.
13.解(方法一)设=t=t(4,4)=(4t,4t),
则=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),
=(2,6)-(4,0)=(-2,6).
由共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,
解得t=,所以=(4t,4t)=(3,3),
所以点P的坐标为(3,3).
(方法二)设P(x,y),则=(x,y),
因为共线,=(4,4),所以4x-4y=0. ①
又=(x-2,y-6),
=(2,-6),且向量共线,
所以-6(x-2)+2(6-y)=0. ②
解由①②组成的方程组,得x=3,y=3,
所以点P的坐标为(3,3).
14.(1)证明设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
则f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),
又mf(a)=(my1,2my1-mx1),nf(b)=(ny2,2ny2-nx2),
所以mf(a)+nf(b)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),
所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).
(2)解f(a)=(1,1),f(b)=(0,-1).
(3)解设向量c=(x3,y3),则