高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第2章 5-1 向量的数量积（含解析）

5.1　向量的数量积
必备知识基础练
1.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为120°,则a在b方向上的投影数量为(　　)
A.-2 B. C.-2 D.2
2.已知矩形ABCD中,AB=2,BC=1,则=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知|a|=2,向量a与向量b的夹角为120°,e是与b同向的单位向量,则a在b上的投影向量为(　　)
A.e B.-e C.e D.-e
4.设向量a,b满足|a+b|=2,|a-b|=,则a·b等于(　　)
A. B.- C. D.-
5.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|等于(　　)
A.2 B.4 C.6 D.12
6.已知在△ABC中,AB=AC=4,=8,则△ABC的形状是　　　　　　　　,=　　　　　.
7.已知向量a,b的夹角为,|a|=1,|b|=2.
(1)求a·b的值;
(2)若2a-b和ta+b垂直,求实数t的值.
关键能力提升练
8.已知△ABC的外接圆的圆心为O,若=2,且||=||=2,则向量在向量上的投影向量为(　　)
A. B. C. D.
9.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·()等于(　　)
A. B.- C. D.-
10.若平面向量a,b,c的两两夹角相等,且|a|=2,|b|=2,|c|=5,则|a+b+c|=(　　)
A. B.9 C.3或9 D.3或
11.已知e1,e2为单位向量且夹角为,设a=e1+e2,b=e2,则a在b方向上的投影数量为　　　　　　　　　.
学科素养创新练
12.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证:(a-b)⊥c;
(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.
答案
1.A　因为|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为120°,所以a在b方向上的投影数量为|a|cos=4×cos 120°=-2.故选A.
2.D　由向量的投影的几何意义及图象可知:
方向上的投影数量为||=2,故=||2=4.
故选D.
3.D　因为|a|=2,向量a与向量b的夹角为120°,e是与b同向的单位向量,所以a在b上的投影向量为|a|cos 120°·e=2×-e=-e.
故选D.
4.A　|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=8, ①
|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=3, ②
由①-②得4a·b=5,
∴a·b=.
5.C　因为(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a||b|cos 60°-6|b|2=|a|2-2|a|-96=-72,
所以|a|2-2|a|-24=0.
解得|a|=6或|a|=-4(舍去).
故选C.
6.等边三角形　-8　=||||cos∠BAC,
即8=4×4cos∠BAC,
于是cos∠BAC=,
因为0°<∠BAC<180°,
所以∠BAC=60°.
又AB=AC,故△ABC是等边三角形.
此时=||||cos 120°=-8.
7.解(1)a·b=|a||b|cos=1×2×-=-1.
(2)因为2a-b和ta+b垂直,
所以(2a-b)·(ta+b)=0,
整理得2t|a|2+(2-t)a·b-|b|2=0,
即2t-(2-t)-4=0,
解得t=2.
8.A　因为△ABC的外接圆的圆心为O,=2,所以边BC是圆O的直径,即有∠BAC=90°,如图,
因为||=||=2,则||=2||=4,∠ACO=60°,过点A作AD⊥BC于点D,则||=1,||=3,所以向量在向量上的投影向量.
9.B　因为M是BC的中点,所以AM是BC边上的中线.
又点P在AM上且满足=2,
所以P是△ABC的重心,
所以·()==-||2.
因为AM=1,所以||=,
所以·()=-.故选B.
10.C　由题意,平面向量a,b,c的两两夹角相等,可知夹角均为或0,|a+b+c|=,所以当夹角为时,|a+b+c|==3,当夹角为0时,|a+b+c|==9.
故选C.
11.　由题可知|e1|=|e2|=1,=,
因为a·b=(e1+e2)·e2=e1·e2+e2·e2=+1=,
|b|=1,所以a在b方向上的投影数量为
|a|cos=.
12.(1)证明因为|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c之间的夹角均为120°,
所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°=0,所以(a-b)⊥c.
(2)解因为|ka+b+c|>1,
所以(ka+b+c)2>1,
即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,
因为a·b=a·c=b·c=cos 120°=-,