高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第2章 5-2 向量数量积的坐标表示+5-3 利用数量积计算长度与角度（含解析）

5.2　向量数量积的坐标表示
5.3　利用数量积计算长度与角度
必备知识基础练
1.(多选)设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是(　　)
A.|a|=b2 B.a·b=0
C.a∥b D.(a-b)⊥b
2.已知向量a=(1,2),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=(　　)
A. B.
C.5 D.25
3.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则=(　　)
A.-3 B.-2
C.2 D.3
4.已知向量=,=,则∠ABC=(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.120°
5.(多选)设向量a=(k,2),b=(1,-1),则下列说法错误的是(　　)
A.若k<-2,则a与b的夹角为钝角
B.|a|的最小值为2
C.与b共线的单位向量只有一个,为,-
D.若|a|=2|b|,则k=2或-2
6.(2021全国乙,文13)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=　　　　　.
7.已知三点A(1,2),B(0,1),C(-2,5),则△ABC的形状为　　　　　三角形.
8.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4),则向量的夹角θ=　　　　　;要使四边形ABCD为矩形,则C点坐标为　　　　　.
9.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
关键能力提升练
10.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(2,y),c=(-1,1),a⊥c,b∥c,则|a+b|2=(　　)
A.5 B. C. D.10
11.已知非零向量m,n满足|m|=2|n|,m,n夹角的余弦值是,若(tm+n)⊥n,则实数t的值是(　　)
A.- B.- C.- D.
12.(多选)在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,则k的值可能为(　　)
A.- B.
C. D.
13.如图所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E在边CD上,且=2,则的值是　　　　　.
14.已知向量a=(2,1),|b|=,a·b=2,那么向量a与b夹角的余弦值为　　　　　.
15.在平面直角坐标系中,已知a=(1,-2),b=(3,4).
(1)若(3a-b)∥(a+kb),求实数k的值;
(2)若(a-tb)⊥b,求实数t的值.
学科素养创新练
16.已知△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P的横坐标为14,且=λ,点Q是边AB上一点,且=0.
(1)求实数λ的值与点P的坐标;
(2)求点Q的坐标;
(3)若R为线段OQ(含端点)上的一个动点,试求·()的取值范围.
答案
1.AD　|a|=b2=2,故A正确,B,C显然错误,
a-b=(1,-1),所以(a-b)·b=1-1=0,
所以(a-b)⊥b,故D正确.
2.C　因为向量a=(1,2),所以|a|=.因为a·b=10,
所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=5+20+|b|2=50,
所以|b|2=25,所以|b|=5.故选C.
3.C　由=(1,t-3),||==1,得t=3,
则=(1,0),=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.
4.A　∵||=1,||=1,∴cos∠ABC=,∴∠ABC=30°.
5.CD　若a与b的夹角为钝角,则a·b<0且a与b不共线,则解得k<2,且k≠-2,A选项正确;
|a|==2,当且仅当k=0时,等号成立,B选项正确;
|b|=,与b共线的单位向量为±,即与b共线的单位向量为,-或-,C选项错误;
因为|a|=2|b|=2,所以=2,解得k=±2,D选项错误.
故选CD.
6.　由a∥b,可得,解得λ=.
7.直角　=(-1,-1),=(-3,3),=(-2,4),
显然=-1×(-3)+(-1)×3=0,
∴,∴△ABC为直角三角形.
8.90°　(0,5)　∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
∴=(1,1),=(-3,3),
∴=1×(-3)+1×3=0,
∴,即AB⊥AD,θ=90°.
设C点坐标为(x,y),则=(x+1,y-4),
要使四边形ABCD为矩形,则有,
∴解得∴C点坐标为(0,5).
9.解(1)设向量c=(x,y),
因为a=(1,2),|c|=2,c∥a,
所以
解得
所以c=(2,4)或c=(-2,-4);
(2)因为a+2b与2a-b垂直,
所以(a+2b)·(2a-b)=0,
所以2|a|2-a·b+4a·b-2|b|2=0,
又|b|=,|a|=,
所以2×5+3a·b-2×=0,得a·b=-,
所以cos θ==-1.
因为θ∈[0,π],所以θ=π.
10.D　由题意可得-x+1=0,-y-2×1=0,解得x=1,y=-2.所以a=(1,1),b=(2,-2),
所以a+b=(3,-1),
所以|a+b|2=32+(-1)2=10.故选D.
11.A　因为|m|=2|n|,且m,n夹角的余弦值是,
所以m·n=|m||n|=|n|2.
又(tm+n)⊥n,
所以(tm+n)·n=tm·n+|n|2=|n|2+|n|2=0.
因为|n|≠0,所以+1=0,所以t=-.故选A.
12.ABC　∵=(2,3),=(1,k),
∴=(-1,k-3).
若A=90°,则=2×1+3×k=0,∴k=-;
若B=90°,则=2×(-1)+3(k-3)=0,
∴k=;
若C=90°,则=1×(-1)+k(k-3)=0,
∴k=.故所求k的值为-.
13.　以A为原点,AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
∵AB=,BC=2,
∴A(0,0),B(,0),C(,2),D(0,2).
∵点E在边CD上,且=2,
∴E,2.∴=,2,=-,2,
∴=-+4=.
14.　因为|a|=,所以向量a与b的夹角余弦值为cos=.
15.解(1)因为a=(1,-2),b=(3,4),
所以3a-b=3(1,-2)-(3,4)=(0,-10),
a+kb=(1,-2)+k(3,4)=(3k+1,4k-2).
因为(3a-b)∥(a+kb),
所以-10(3k+1)=0,解得k=-.
(2)a-tb=(1,-2)-t(3,4)=(1-3t,-2-4t),
因为(a-tb)⊥b,
所以(a-tb)·b=3×(1-3t)+4×(-2-4t)=-25t-5=0,解得t=-.
16.解(1)设P(14,y),则=(14,y),=(-8,-3-y),由=λ,得(14,y)=λ(-8,-3-y),
解得λ=-,y=-7,
∴点P的坐标为(14,-7).
(2)设Q(a,b),则=(a,b),
由(1)得=(12,-16),
∵=0,
∴12a-16b=0,即3a-4b=0. ①
∵点Q在边AB上,∴AQ∥AB,
又=(4,-12),=(a-2,b-9),
∴4(b-9)+12(a-2)=0,即3a+b-15=0. ②
联立①②,解得a=4,b=3,∴Q点坐标为(4,3).
(3)由(2)得=(4,3),
∵R为线段OQ上的一个动点,∴设OR=t=(4t,3t),且0≤t≤1,
则R(4t,3t),=(-4t,-3t),=(2-4t,9-3t),=(6-4t,-3-3t),
∴=(8-8t,6-6t),
∴·()=-4t·(8-8t)-3t·(6-6t)=50t2-50t=50(0≤t≤1),
当t=0或1时,上式取得最大值0;