第1课时 余弦定理
必备知识基础练
1.已知△ABC的角A,B,C所对的边为a,b,c,c=,b=1,C=,则a=( )
A. B.2
C. D.3
2.已知△ABC的角A,B,C所对的边为a,b,c,a=bcos C,则△ABC形状一定是( )
A.等腰直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
3.在△ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C等于( )
A.90° B.120°
C.135° D.150°
4.在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,则三角形最大角为 度.
5.在△ABC中,a=3,b=,B=60°,则c= ,△ABC的面积为 .
关键能力提升练
6.(多选)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为( )
A. B. C. D.
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=,a=4,则bc的最大值为( )
A. B.16 C. D.32
8.在△ABC中,已知CB=7,AC=8,AB=9,AC边上的中线长为 .
9.如图,在△ABC中,D是AB边上的点,且满足AD=3BD,AD+AC=BD+BC=2,CD=,则cos A= .
学科素养创新练
10.已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个:
①A=;②cos B=-;③a=7;④b=3.
(1)请指出这三个条件,并说明理由;
(2)求△ABC的面积.
答案
1.B 由余弦定理得,
cos C==-,整理可得a2+a-6=0,
解得a=2或a=-3(舍).故选B.
2.D 由a=bcos C,运用余弦定理可得a=b·,即2a2=a2+b2-c2,
则a2+c2=b2,所以△ABC为直角三角形.
故选D.
3.B 由余弦定理得cos B=.
又0°
4.120 因为a=7,b=3,c=5,所以三角形中最大角为角A,所以cos A==-.
因为0°所以A=120°.
5.4 3 由余弦定理,得9+c2-2×3c×=13,解得c=4或c=-1(舍);由三角形的面积公式,得S=acsin B=×3×4×=3.
6.BD 根据余弦定理可知a2+c2-b2=2accos B,代入(a2+c2-b2)tan B=ac,可得2accos B·ac,即sin B=.
因为07.B 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,因为A=,a=4,所以16=b2+c2-bc,因为b2+c2≥2bc,所以16+bc≥2bc,即bc≤16,当且仅当b=c=4时,等号成立.故选B.
8.7 由条件知cos A=,设中线长为x,由余弦定理知x2=2+AB2-2··ABcos A=42+92-2×4×9×=49,所以x=7.
所以AC边上的中线长为7.
9.0 设BD=x,则AD=3x,AC=2-3x,BC=2-x,在△ADC中,由余弦定理得cos∠ADC=,在△BDC中,由余弦定理得cos∠BDC=,因为∠BDC+∠ADC=π,所以cos∠BDC=-cos∠ADC,
所以=-,
整理可得4x-2=,解得x=,
所以AD=1,AC=1,
在△ADC中,AD2+AC2=CD2,所以AD⊥AC,所以A=,所以cos A=0.
10.解(1)△ABC同时满足①③④.理由如下:
因为cos B=-<-,且B∈(0,π),所以B>.
若△ABC同时满足①②,则A+B>π,显然不成立.
所以△ABC只能同时满足③,④.
所以a>b,所以A>B,
故△ABC不满足②.
故△ABC满足①③④.
(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,
即72=32+c2-2×3×c×.
解得c=8或c=-5(舍去).第2课时 正弦定理
必备知识基础练
1.在△ABC中,若sin A=,C=120°,BC=2,则AB=( )
A.5 B.
C.5 D.3
2.(多选)在△ABC中,a=5,c=10,A=30°,则角B的值可以是( )
A.105° B.15°
C.45° D.135°
3.在△ABC中,a=2,c=3,∠C=,那么sin A=( )
A. B.
C. D.
4.若△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,则三边之比a∶b∶c为( )
A.3∶2∶1
B.2∶∶1
C.∶1
D.∶2∶1
5.(多选)下列说法正确的是( )
A.在△ABC中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则A=B
C.在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;若A>B,则sin A>sin B
D.在△ABC中,
6.在△ABC中,已知a=2,A=60°,则△ABC的外接圆的直径为 .
7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=4,B=,bsin C=2sin B.
(1)求b的值;
(2)求△ABC的面积.
关键能力提升练
8.(多选)三角形有一个角是60°,组成这个角的两边长分别为8和5,则( )
A.三角形的另一边长为6
B.三角形的周长为20
C.三角形内切圆的面积为3π
D.三角形外接圆的周长为π
9.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8,则△ABC的最大角与最小角的和是( )
A.90° B.120°
C.135° D.150°
10.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清,只能看到:在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边.已知b=2,A=45°,求边c.显然缺少条件,若他打算补充a的大小;并使得c有两个解,则a的取值范围是 .
11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,A=,且△ABC的面积为.
(1)求a的值;
(2)若D为BC上一点,且 ,求sin∠ADB的值.
从①AD=1,②∠CAD=这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
学科素养创新练
12.(2022河北邢台模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(cos2C-cos2A)=(a-b)sin B,且△ABC外接圆的半径为.
(1)求C的大小;
(2)若G是△ABC的重心,求△ACG面积的最大值.
答案
1.A 由正弦定理得,即,
故,解得AB=5.
2.AB 因为a=5,c=10,A=30°,
所以由正弦定理可得,,即,
所以sin C=,
因为a则角B=105°或B=15°.
故选AB.
3.C 由正弦定理得 sin A=.
4.B 已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,则有B=2C,A=3C,再由A+B+C=π可得C=,
故三内角分别为A=,B=,C=,
再由正弦定理可得三边之比a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶=2∶∶1.
5.ACD 对于A,由正弦定理=2R,可得a∶b∶c=2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C=sin A∶sin B∶sin C,故A正确;
对于B,由sin 2A=sin 2B,可得2A=2B,或2A+2B=π,
即A=B或A+B=,故B错误;
对于C,在△ABC中,由正弦定理可得,sin A>sin B a>b A>B,故C正确;
对于D,由正弦定理=2R,
可得右边==2R=左边,故D正确.
6. △ABC的外接圆的直径为2R=.
7.解(1)因为bsin C=2sin B,
所以由正弦定理得bc=2b,即c=2,
由余弦定理得b2=22+42-2×2×4cos=28.
所以b=2.
(2)因为a=4,c=2,B=,
所以S△ABC=acsin B=×4×2×=2.
8.BC 由余弦定理可得三角形的另一边长为=7,故A错误,B正确;
设这个三角形的内切圆半径为r,则(8+7+5)r=×8×5×sin 60°,则r=,则内切圆的面积为πr2=3π,故C正确.
设这个三角形的外接圆的半径为R,则2R=,则外接圆的周长为2πR=π,故D错误.故选BC.
9.B 在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8,
由正弦定理可得a∶b∶c=5∶7∶8,
根据大边对大角,小边对小角可知最大角为C,最小角为A,
设a=5x,b=7x,c=8x,
在△ABC中,由余弦定理可得
cos B=,
因为0°所以A+C=120°,
所以△ABC的最大角与最小角的和是120°.
故选B.
10.(2,2) 由题意可知三角形有两个解.
由图可知CD=bsin A=2×sin 45°=2.
若c有两解,以C为圆心,a为半径的圆弧与射线AD有两个交点,
则CD11.解(1)因为c=1,A=,S△ABC=bcsin A=,
所以b=2,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=7,解得a=.
(2)若选① 当AD=1时,
在△ABC中,由正弦定理得,
即,所以sin B=.
因为AD=AB=1,所以∠ADB=B,
所以sin∠ADB=sin B,
所以sin∠ADB=.
若选② 当∠CAD=时,
在△ABC中,由余弦定理知,
cos B=.
因为A=,所以∠DAB=,
所以B+∠ADB=,所以sin∠ADB=cos B,
所以sin∠ADB=.
12.解(1)由正弦定理=2,得a=2sin A,b=2sin B,c=2sin C,
因为2(cos2C-cos2A)=2(1-sin2C-1+sin2A)=2(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B,
所以a2-c2=(a-b)b,所以cos C=,因为C∈(0,π),故C=.
(2)由(1)得c=2sin C=3,
所以a2+b2-c2=ab≥2ab-9,得ab≤9,
当且仅当a=b=3时,等号成立.
如图所示:
连接BG,并延长BG交AC于D,则D是AC的中点,且DG=BD,过G作GF⊥AC于F,过B作BE⊥AC于E,则,
所以S△ACG=S△ABC=absin C=ab≤.第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形
必备知识基础练
1.(多选)某人向正东方向走了x km后向右转了150°,然后沿新方向走了3 km,结果离出发点恰好 km,则x的值为( )
A. B.2
C.2 D.3
2.在△ABC中,若sin 2A+sin 2BA.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
3.如图,飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内,在A处测得目标C的俯角为30°,飞行10千米到达B处,测得目标C的俯角为75°,这时B处与地面目标C的距离为( )
A.5千米 B.5 千米
C.4千米 D.4 千米
4.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°,45°,且A,B两点间的距离为60 m,则该建筑物的高度为注:sin 15°=( )
A.(30+30)m
B.(30+15)m
C.(15+30)m
D.(15+15)m
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a2+b2-c2=ab,c=3,则角C= ,a= .
关键能力提升练
6.(多选)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
7.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,某同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了三种测量方案(△ABC的内角A,B,C所对的边分别记为a,b,c):
①测量A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a.
一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为( )
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
8.如图,位于A处的海面观测站获悉,在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,并在原点等待营救,在A处南偏西30°且相距20海里的C处有一艘救援船,则该船到救助处B的距离为( )
A.2 800海里 B.1 200海里
C.20 海里 D.20 海里
9.已知在四边形ABCD中,BC⊥CD,AC=BC,∠ABC=.
(1)求∠ACB的值;
(2)若BC=,AD=,求BD的长.
学科素养创新练
10.如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处是我方的缉私船,并奉命以10海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船 求出所需时间.(注:≈2.5,结果精确到0.1分钟)
答案
1.AB 如图所示,在△ABC中,AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30°,
由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,
即()2=x2+32-2x·3·cos 30°.
∴x2-3x+6=0.
解得x=2或x=.
2.A 因为在△ABC中,满足sin 2A+sin2B又由余弦定理可得cos C=<0,因为C是三角形的内角,所以C∈,π,
所以△ABC为钝角三角形.故选A.
3.B 根据题意可知AB=10,C=75°-30°=45°,
在△ABC中,由正弦定理得,即BC==5.
4.A 在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m,由正弦定理,得PB==30()m,所以建筑物的高度为PBsin 45°=30()×=(30+30)m.
5. 由a2+b2-c2=ab,得cos C=,∵C∈(0,π),∴C=.
由正弦定理,得a=.
6.BD 由cos A=得,即a2+c2所以角B为钝角,故△ABC为钝角三角形.故选BD.
7.D ①测量A,C,b,因为知道A,C,可求出B,由正弦定理可求出c;②测量a,b,C,已知两边及夹角,可利用余弦定理求出c;③测量A,B,a,因为知道A,B,可求出C,由正弦定理可求出c,故三种方法都可以.
8.D 由已知得|AB|=40海里,|AC|=20海里,∠CAB=120°,
在△ABC中由余弦定理得
|BC|2==20(海里),
故选D.
9.解(1)在△ABC中,由正弦定理可得,
又由AC=BC,解得sin∠BAC=,
因为∠BAC为锐角,所以∠BAC=,
因此∠ACB=π-∠ABC-∠BAC=.
(2)因为BC⊥CD,所以∠BCD=,所以∠ACD=.
设CD=x(x>0),
在△ACD中,AC=BC=3,
由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos,
即=32+x2-2×3×x×,
整理得x2-3x-4=0,
解得x=4或x=-1(舍).
因此,BD=.
10.解设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获走私船(在D点),
则CD=10t海里,BD=10t海里,
在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=+22-2·(-1)·2·cos 120°=6,
解得BC=.
又因为,
所以sin∠ABC=,
所以∠ABC=45°,故B点在C点的正东方向上,
所以∠CBD=90°+30°=120°,
在△BCD中,由正弦定理,得,
所以sin∠BCD=.
所以∠BCD=30°,所以缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,
所以∠D=30°,所以BD=BC,即10t=,
解得t=小时≈15.0分钟.