高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第4、5章 单元测试（含解析）

第四、五章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021新高考 Ⅰ,2)已知z=2-i,则z(+i)=(　　)
A.6-2i B.4-2i
C.6+2i D.4+2i
2.已知cos α=-,且α为第二象限角,则sin α=(　　)
A.- B. C.± D.
3.(2021全国乙,理1)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z=(　　)
A.1-2i B.1+2i
C.1+i D.1-i
4.(2021全国甲,理3)已知(1-i)2z=3+2i,则z=(　　)
A.-1-i B.-1+i
C.-+i D.--i
5.已知α∈0,,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　)
A. B.
C. D.
6.(sin 20°-sin 40°)2+3sin 20°cos 50°=(　　)
A. B.
C. D.-3
7.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x 的对称点为点B,则向量对应的复数为(　　)
A.-2+i B.-2-i
C.1+2i D.-1+2i
8.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日.历史上,求圆周率π的方法有多种.与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法,π的近似值的表达式是(　　)
A.3nsin+tan
B.6nsin+tan
C.3nsin+tan
D.6nsin+tan
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.给出下列命题,其中是真命题的是(　　)
A.纯虚数z的共轭复数是-z
B.若z1-z2=0,则z1=
C.若z1+z2∈R,则z1与z2互为共轭复数
D.若z1-z2=0,则z1与互为共轭复数
10.已知2sin θ=1+cos θ,则tan的值(　　)
A.恒为2
B.可能为
C.可能为-
D.可能不存在
11.已知函数f(x)=sin x-cosx+,则(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的最小正周期为2π
C.f(x)的图象关于直线x=kπ+(k∈Z)对称
D.f(x)的值域为[-]
12.已知4cos-α-=sin2α+,则下列结论正确的是(　　)
A.cos α+sin α=
B.α=kπ+(k∈Z)
C.tan 4α=0
D.tan α=1
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若z1=1-i,z2=3-5i,在复平面内z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,则Z1,Z2的距离为　　　　　.
14.已知25sin2α+sin α-24=0,α为第二象限角,则cos=　　　　　.
15.(2022河北邢台检测)写出一个同时满足下列条件的复数z=　　　　　.
①|z|=;
②在复平面内对应的点位于第二象限.
16.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献,他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618就是黄金分割比m=的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则=　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)计算:.
18.(12分)在①角α的终边上有一点M(2,4);②角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为;③2α为锐角且=2,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并加以解答.
问题:已知角α的顶点在原点O,始边在x轴的非负半轴上,　　　.求cos2α+的值.
注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答记分.
19.(12分)(2021新高考Ⅰ,19)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.
20.(12分)已知z是复数,z-3i为实数,为纯虚数(i为虚数单位).
(1)求复数z;
(2)求的模.
21.(12分)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若0<α<,-<β<0,且sin β=-,求sin α的值.
22.(12分)如图所示,要把半径为R,圆心角为的扇形木料截成长方形,应怎样截取,才能使长方形EFGH的面积最大
答案
1.C　因为z=2-i,所以=2+i.所以+i=2+2i.
所以z(+i)=(2-i)(2+2i)=4+2i-2i2=6+2i.
故选C.
2.B　因为sin2α+cos2α=1,
又因为α为第二象限角,所以sin α=.
故选B.
3.C　设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi,2(z+)+3(z-)=4x+6yi=4+6i,得x=1,y=1,故z=1+i.
4.B　由题意得z==-1+i.
5.B　因为2sin 2α=cos 2α+1,
所以4sin αcos α=2cos2α.
因为α∈0,,所以cos α>0,sin α>0,所以2sin α=cos α.又sin2α+cos2α=1,所以5sin2α=1,即sin2α=.
因为sin α>0,所以sin α=.故选B.
6.C　原式=(-2cos 30°sin 10°)2+(sin 70°-sin 30°)=sin 70°-.
7.A　复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以向量对应的复数为-2+i.故选A.
8.A　单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为,每条边长为2sin,所以单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin,单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan,其周长为12ntan,所以2π==6nsin+tan,则π=3nsin+tan.
故选A.
9.AD　根据共轭复数的定义,显然A是真命题;
若z1-z2=0,则z1=z2,当z1,z2均为实数时,则有z1=,当z1,z2是虚数时,z1≠,所以B是假命题;
若z1+z2∈R,则z1,z2可能均为实数,但不一定相等,或z1与z2的虚部互为相反数,但实部不一定相等,所以C是假命题;
若z1-z2=0,则z1=z2,所以z1与互为共轭复数,故D是真命题.故选AD.
10.BD　2sin θ=1+cos θ,则4sincos=1+2cos2-1,即2sincos=cos2,当cos≠0时,tan;当cos=0时,tan不存在.
11.BCD　因为f(x)=sin x-cosx+
=sin x-cos x-sin x=sin x-cos x
=sin x-cos x=sinx-,
所以f(x)的最小正周期为2π,所以A错误,B正确;
由x-=kπ+(k∈Z)得x=kπ+(k∈Z),即f(x)的图象关于直线x=kπ+(k∈Z)对称,所以C正确;
因为x∈R,所以-1≤sinx-≤1,
所以-≤f(x)≤,
即f(x)的值域为[-],所以D正确.
12.BCD　由4cos-α-=sin2α+,可得4cosα+=-cos 2α,即2(cos α-sin α)=-(cos2α-sin2α),
即2(cos α-sin α)=-(cos α-sin α)(cos α+sin α),
所以cos α-sin α=0或cos α+sin α=-2.
由cos α+sin α=cosα-≥-,可知cos α+sin α=-2不可能成立,故cos α-sin α=0,即cos α=sin α,
所以tan α=1,且α=kπ+(k∈Z),故tan 4α=0.
故选BCD.
13.2　由z1=1-i,z2=3-5i知,Z1(1,-1),Z2(3,-5).设Z1,Z2的距离为d,由两点间的距离公式得,d==2.
14.±　由25sin2α+sin α-24=0 (25sin α-24)(sin α+1)=0.又α为第二象限角,故sin α=,
所以cos α=-=-.
所以cos=±=±.
15.-1-2i(答案不唯一)　设z=a+bi,a,b∈R.∵复数z同时满足:①|z|=;②在复平面内对应的点位于第二象限,∴满足a+bi(a2+b2=5,且a<0,b<0)即可.
16.2　=2.
17.解原式=
=
=
=
=i.
18.解选条件①.
由题意可知cos α=,sin α=,
所以cos 2α=2cos2α-1=-,
sin 2α=2sin αcos α=,
所以cos2α+=cos 2αcos-sin 2αsin=-=-.
选条件②.
因为角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为,
所以cos α=,sin α=,
所以cos 2α=2cos2α-1=-,sin 2α=2sin αcos α=,
所以cos2α+=cos 2αcos-sin 2αsin=-=-.
选条件③.
=2,
结合2α为锐角,解得tan 2α=,
所以cos 2α=,sin 2α=,
所以cos2α+=cos 2αcos-sin 2αsin.
19.(1)证明由正弦定理,得BD·b=ac=b2,则BD=b.
(2)解由(1)知BD=b,
因为AD=2DC,
所以AD=b,DC=b.
在△ABD中,由余弦定理,得cos∠BDA=,
在△CBD中,由余弦定理,得cos∠BDC=.
因为∠BDA+∠BDC=π,
所以cos∠BDA+cos∠BDC=0.
即=0,得33b2=9c2+18a2.
因为b2=ac,所以9c2-33ac+18a2=0.
所以c=3a或c=a.
在△ABC中,由余弦定理知,cos∠ABC=,
当c=3a时,cos∠ABC=>1(舍去);
当c=a时,cos∠ABC=.
综上所述,cos∠ABC=.
20.解(1)设z=a+bi(a,b∈R),
由z-3i=a+(b-3)i为实数,可得b=3,
又由为纯虚数,
所以a=-1,即z=-1+3i;
(2)=-2+i,
所以=|-2+i|=.
21.解(1)a-b=(cos α-cos β,sin α-sin β),
|a-b|2=(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2
=2-2cos(α-β)=2=,
∴cos(α-β)=.
(2)由0<α<,-<β<0,且sin β=-,cos(α-β)=,可知cos β=,sin(α-β)=,
∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=×-=.
22.解如图,作∠POQ的平分线分别交EF,GH于点M,N,连接OE,
设∠MOE=α,α∈0,,
在Rt△MOE中,ME=Rsin α,OM=Rcos α,
在Rt△ONH中,=tan,得ON=NH=Rsin α,
则MN=OM-ON=R(cos α-sin α),
设矩形EFGH的面积为S,
则S=2ME×MN=2R2sin α(cos α-sin α)=R2(sin 2α+cos 2α-)=2R2sin2α+-R2,
由α∈0,,则<2α+,所以当2α+,