高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第4章 2-1 两角和与差的余弦公式及其应用（含解析）

2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
必备知识基础练
1.(多选)下列各式化简正确的是(　　)
A.cos 80°cos 20°-sin 80°sin 20°=cos 100°
B.cos 15°=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
C.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos 45°
D.cosα-=cos α+sin α
2.已知α∈0,,且cosα+=-,则cos α=(　　)
A. B.-
C.- D.
3.已知sin α=,α∈0,,则cos+α等于(　　)
A. B.
C.- D.-
4.(多选)已知sin α=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则β=(　　)
A.cos(α-β)=-
B.cos(α-β)=
C.cos α=
D.β=
5.(多选)若sin x+cos x=cos(x+φ),则φ的一个可能值是(　　)
A.- B.- C. D.
6.化简cos(α-55°)cos(α+5°)+sin(α-55°)sin(α+5°)=　　　　　.
7.已知sin α=,α是第二象限角,则tan α=　　　　　,cos(α+60°)=　　　　　.
8.已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,π,α+β∈,2π,求角β的值.
关键能力提升练
9.函数f(x)=cosx+-cosx-是(　　)
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为2π的奇函数
10.已知α,β为锐角,sin α=,cos(α+β)=-,则cos β=(　　)
A. B.
C. D.
11.(多选)已知α,β为锐角,且,若cos α=,则下列选项正确的是(　　)
A.sin α=
B.cos(α-β)=
C.sin(α-β)=
D.cos β=
12.化简:=　　　　　.
13.在△ABC中,A,B,C为三个内角,向量p=(cos B,-sin B),q=(cos C,sin C),且(q-2p)⊥q,则A=　　　　　.
14.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则sin=　　　　　,cos=　　　　　.
15.如图,在平面直角坐标系的单位圆O中,设∠AOx=α,∠BOx=β,∠AOB=α-β,
(1)利用单位圆、向量知识证明:cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;
(2)若α∈,π,β∈0,,cos(α-β)=-,tan α=-,求cos β的值.
学科素养创新练
16.在平面直角坐标系中,已知角α,β的顶点都在坐标原点,始边都与x轴的非负半轴重合,角α的终边上有一点A,坐标为(1,-1).
(1)求cosα+的值;
(2)若角β满足下列三个条件之一:
①锐角β满足tan β=2;②锐角β的终边在直线y=2x上;③角β的终边与π的终边相同.
请从上述三个条件中任选一个,求cos(α-β)的值.
答案
1.ABC　根据两角和与差的余弦公式知,A,B,C均正确,D选项错误.
2.A　cos α=cosα+=cosα+cos+sinα+sin.因为α∈0,,cosα+=-,
所以sinα+=,则cos α=-.
故选A.
3.B　由题意可知cos α=,所以cos+α=cos2π-+α=cosα-=cos αcos+sin αsin.
4.BCD　因为α,β均为锐角,所以-<α-β<.
又sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=.故A错误,B正确;
又sin α=,所以cos α=,所以C正确;
cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×-=,所以β=.故D正确.
5.AC　对比公式特征知,cos φ=,sin φ=-,故φ=-都合适.
6.　原式=cos [(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=.
7.-　因为sin α=,α是第二象限角,
所以cos α=-,所以tan α==-,cos(α+60°)=cos αcos 60°-sin αsin 60°=-×.
8.解由α-β∈,π,且cos(α-β)=-,
得sin(α-β)=.
由α+β∈,2π,且cos(α+β)=,
得sin(α+β)=-,
∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×-+-×=-1.
又α+β∈,2π,α-β∈,π,
∴2β∈,∴2β=π,∴β=.
9.D　因为f(x)=cosx+-cosx-=cos x-sin x-cos x+sin x=-sin x,所以函数f(x)的最小正周期为=2π.又因为f(-x)=-sin(-x)=sin x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.故选D.
10.B　由α是锐角,sin α=,则cos α=,
又α,β是锐角,得α+β∈(0,π),又cos(α+β)=-,则sin(α+β)=,
则cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-.
故选B.
11.ABCD　∵,
∴2-2(cos αcos β+sin αsin β)=,∴cos(α-β)=,故B正确;
∵cos α=,cos(α-β)=,α,β为锐角,∴sin α=,故A正确;
sin(α-β)=±,当sin(α-β)=时,cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=;
当sin(α-β)=-时,cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=0.
∵β为锐角,∴cos β=,故C,D正确.
12.　原式=
=
=.
13.　因为(q-2p)⊥q,所以(q-2p)·q=0,即|q|2-2p·q=0.
因为p=(cos B,-sin B),q=(cos C,sin C),所以cos2C+sin2C-2(cos Bcos C-sin Bsin C)=0,所以1-2cos(B+C)=0,所以cos(B+C)=,即cos A=-.
因为A∈(0,π),所以A=.
14.　因为0<α<,所以+α<,
又cos,所以sin,
因为-<β<0,所以,
又cos,所以sin.
于是cos=cos =coscos+sinsin=
.
15.(1)证明由题意知||=||=1,且的夹角为|α-β|,
所以=1×1×cos(|α-β|)=cos(α-β).
又=(cos α,sin α),=(cos β,sin β),
所以=cos αcos β+sin αsin β,
故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
(2)解因为α∈,π,且tan α=-,
所以sin α=,cos α=-.
因为β∈0,,所以-β∈-,0.
又因为α∈,π,所以α-β∈(0,π).
又因为cos(α-β)=-,所以sin(α-β)=,
所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=-×-+.
16.解(1)角α终边上一点A(1,-1),根据三角函数定义得
r=,
∴sin α==-,cos α=,
∴cosα+=cos αcos-sin αsin×--=1.
(2)若选择①,∵tan β==2,
∴sin β=2cos β.
又sin2β+cos2β=1,即(2cos β)2+cos2β=1,即5cos2β=1,
∴cos2β=.
又β为锐角,∴cos β=,
∴sin β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+-×=-.
若选择②,∵锐角β的终边在直线y=2x上,
即角β的终边在第一象限,不妨在直线上取一点B(1,2),
根据三角函数的定义得r=,sin β=,cos β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+-×=-.
若选择③,∵角β的终边与π的终边相同,
且π=π=336×2π+,
∴角β与终边相同,
∴sin β=sin=-sin=-,
cos β=cos=-cos=-,