高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第4章 2-2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用（含解析）

2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
必备知识基础练
1.sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°的值是(　　)
A. B. C.- D.-
2.若tan α=,tan β=,且α∈,β∈,则α+β的大小等于(　　)
A. B. C. D.
3.已知tanθ+=7,则tan θ=(　　)
A.6 B. C. D.8
4.已知函数f(x)=sinx++sinx-,则f(x)的奇偶性为(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
5.(多选)下列式子中结果为的是(　　)
A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°
B.2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°)
C.
D.
6.若α+β=,则(1-tan α)(1-tan β)等于(　　)
A. B.2
C.1+ D.5
7.形如的式子叫作行列式,其运算法则为=ad-bc,则行列式的值是　　　　.
8.已知tan α=2,tan β=-3,其中0°<α<90°,90°<β<180°,则=　　　　　,α-β=　　　　　.
9.化简求值:
(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);
(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α).
关键能力提升练
10.已知α∈0,,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,则2α-β的值是(　　)
A.- B.-
C.- D.-
11.(2022北京海淀检测)在平面直角坐标系中,角α,β∈R,且以Ox为始边,则“sin(α-β)=sin α-sin β”是“角α,β以Ox为终边”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
12.(多选)若tan x1,tan x2是方程x2-kx+2=0的两个不相等的正根,则下列结论正确的是(　　)
A.tan x1+tan x2=-k
B.tan(x1+x2)=-k
C.k>2
D.k>2或k<-2
13.化简:=　　　　　.
14.已知sinπ+α=,cosβ-=,且0<α<<β<π,则sin(α+β)的值是　　　　　.
15.已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则tan αtan β的值为　　　　,tan2α+tan2β的值为　　　　　.
16.已知cosx-=,x∈.
(1)求sin x的值;
(2)求sinx+的值.
学科素养创新练
17.在①角α的终边经过点P(1,2),②α∈0,,sin α=,③α∈0,,sin α+2cos α=这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.
问题:已知　　　　　,且tan(α+β)=4,求tan β的值.
答案
1.B　sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°=sin(14°+16°)=sin 30°=,故选B.
2.B　由已知得tan(α+β)==1.
又因为α∈,β∈,
所以α+β∈(π,2π),于是α+β=.
3.B　tan θ=tanθ+-=.故选B.
4.A　∵f(x)=sinx++sinx-=sin x+cos x+sin x-cos x=sin x,∴f(x)为奇函数.
5.ABC　对于A,利用正切的变形公式可得原式=.
对于B,原式可化为2(sin 35°cos 25°+cos 35°sin 25°)=2sin 60°=.
对于C,原式==tan 60°=.
对于D,原式=.故选ABC.
6.B　∵α+β=,∴tan(α+β)==-1,
∴tan α+tan β=tan αtan β-1,
∴(1-tan α)(1-tan β)=1-(tan α+tan β)+tan αtan β=1-(tan αtan β-1)+tan α·tan β=2.
7.-1　sin 15°-cos 15°=2sin 15°-cos 15°=2sin(15°-45°)=2sin(-30°)=-1.
8.-7　-45°　=-7.
因为tan(α-β)==-1,
0°<α<90°,90°<β<180°,所以-180°<α-β<0°,所以α-β=-45°.
9.解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α.
(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)=sin [(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-.
10.D　tan α=tan[(α-β)+β]=,
tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1,
因为0<α<,0<β<π,tan β=->-1,所以<β<π,
-π<-β<-,-π<α-β<-,-π<2α-β<-,
所以2α-β=-.
故选D.
11.B　若sin(α-β)=sin α-sin β,推不出角α,β以Ox为终边,如:α=β=,则sin(α-β)=0=sin α-sin β,故充分性不成立;
若角α,β以Ox为终边,则α=2k1π,β=2k2π(k1,k2∈Z),则sin(α-β)=sin[2(k1-k2)π]=0=sin α-sin β,故角α,β以Ox为终边能推出sin(α-β)=sin α-sin β,故必要性成立,所以“sin(α-β)=sin α-sin β”是“角α,β以Ox为终边”的必要不充分条件.
故选B.
12.BC　因为tan x1,tan x2是方程x2-kx+2=0的两个不相等的正根,
所以k2-8>0,tan x1+tan x2=k,tan x1tan x2=2,
所以k>2或k<-2,tan(x1+x2)==-k,
所以tan x1+tan x2≥2=2,
当且仅当tan x1=tan x2时等号成立.
因为tan x1≠tan x2,所以k>2.故选BC.
13.-1　原式===-1.
14.　因为sinπ+α=,即sin++α=,则cos+α=.
又0<α<,即+α<,则sin+α=,
而cosβ-=<β<π,即0<β-,sinβ-=,
则有sin(α+β)=sin+α+β-=sin+αcosβ-+cos+αsinβ-=.
所以sin(α+β)的值是.
15.　3　因为tan(α+β)=4,所以=4,
又tan α+tan β=2,所以tan αtan β=,
所以tan2α+tan2β=(tan α+tan β)2-2tan αtan β=22-2×=3.
16.解(1)sin x=sinx-=sinx-cos+cosx-sinsinx-+cosx-=sinx-+,
因为x∈,所以x-∈,
所以sinx-=,
所以sin x=.
(2)因为sin x=,x∈,故cos x=-,
sinx+=sin xcos+cos xsin+-×.
17.解选择条件①,∵角α的终边经过点P(1,2),
∴tan α=2,
则tan(α+β)==4,
解得tan β=.
选择条件②,∵α∈0,,sin α=,
∴cos α=,
∴tan α=,则tan(α+β)==4,解得tan β=.
选择条件③,∵α∈0,,sin α+2cos α=,
由sin2α+cos2α=1,可得sin α=,cos α=,
∴tan α==3,
则tan(α+β)==4,