高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第4章 2-3 三角函数的叠加及其应用（含解析）

2.3　三角函数的叠加及其应用
必备知识基础练
1.cos--sin-的值是(　　)
A. B.- C.0 D.
2.若sin θ+cos θ=2,θ∈(0,π),则θ为(　　)
A. B. C. D.π
3.已知f(x)=sinx+-cosx+,则f(1)+f(2)+…+f(2 022)的值为(　　)
A.2 B. C.1 D.0
4.已知向量a=sinα+,1,b=4,4cos α-,若a⊥b,则sinα+等于(　　)
A.- B.- C. D.
5.在△ABC中,A=15°,则sin A-cos(B+C)的值为(　　)
A. B. C. D.2
6.(多选)设函数f(x)=sin 2x+cos 2x,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的最大值为
D.y=f(x)的图象关于点,0对称
7.化简:sincos=　　　　.
8.已知cos α-sin α=,则sin+α=　　　　　.
关键能力提升练
9.已知函数y=cos x的图象与函数y=sin x+c的图象没有公共点,则实数c的值可以为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
10.已知函数f(x)=sin(2ωx+φ)+cos(2ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),若f(x)的最小正周期为π,且f(-x)=-f(x),则f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=-sin 2x
B.f(x)=sin 2x
C.f(x)=-cos 2x
D.f(x)=cos 2x
11.若sin α+cos α=,则m的取值范围是(　　)
A.-3,-
B.(-3,+∞)
C.-,+∞
D.(-∞,-3)
12.(多选)设函数f(x)=sin2x++cos2x+,则f(x)(　　)
A.是偶函数
B.在0,上单调递减
C.最大值为2
D.图象关于直线x=对称
13.(多选)设f(x)=asin 2x+bcos 2x,ab≠0,若f(x)≤对任意x∈R成立,则下列命题中正确的是(　　)
A.f=0
B.
C.f(x)是非奇非偶函数
D.可能存在经过点(a,b)的直线与函数的图象不相交
14.若方程12x2+πx-12π=0的两个根分别是α,β,则α+β=　　　,cos αcos β-sin αcos β-cos αsin β-sin αsin β=　　　　.
15.设函数f(x)=sinωx-+sinωx-,其中0<ω<3.已知f=0.
(1)求ω;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在-上的最小值.
16.已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+2sin-xcos-x-1.
(1)求f-2f的值;
(2)当f(x)∈0,,若x是整数,且0≤x≤5,求x的值.
学科素养创新练
17.已知函数f(x)=asin x+bcos x(x∈R,ab≠0),若直线x=x0是函数f(x)的一条对称轴,且tan x0=4,则点(a,b)满足的关系为(　　)
A.a+4b=0 B.a-4b=0
C.4a-b=0 D.4a+b=0
18.函数f(x)=asin x+bcos x称为向量=(a,b)的“相伴函数”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
(1)设函数h(x)=2sin-x-cos+x,求证:h(x)∈S;
(2)记=(0,2)的“相伴函数”为f(x),若函数g(x)=f(x)+2|sin x|-1,x∈[0,2π]与直线y=k有且仅有四个不同的交点,求实数k的取值范围.
答案
1.A　cos--sin-=cos+sinsin=sin.
2.B　因为sin θ+cos θ=2sinθ+=2,所以sinθ+=1.
又因为θ∈(0,π),所以θ+∈.所以θ+,所以θ=.故选B.
3.D　f(x)=sinx+-cosx+=2sinx+-=2sinx,
所以周期为6,且f(1)+f(2)+…+f(6)=0,
所以f(1)+f(2)+…+f(2 022)=337[f(1)+f(2)+…+f(6)]=0.
4.B　因为a⊥b,所以a·b=4sinα++4cos α-=2sin α+6cos α-=4sinα+-=0,
所以sinα+=,sinα+=-sinα+=-.
5.C　因为A+B+C=π,所以B+C=π-A.
所以sin A-cos(B+C)=sin A-cos(π-A)=sin A+cos A=2sin(A+30°)=2sin(15°+30°)=.
6.BCD　f(x)=sin 2x+cos 2x=sin2x+,最小正周期为=π,故A不正确;
令2x++kπ(k∈Z),得x=(k∈Z).
当k=0时,x=,所以y=f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;
f(x)的最大值为,故C正确;
令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),
所以当k=2时,x=,故D正确.
故选BCD.
7.sinsincos
=
=×2
=
=sinsin.
8.-　因为cos α-sin α=2cosα+=,
所以cosα+=,故sin+α=sin+α+=-cosα+=-.
9.D　函数y=cos x的图象与函数y=sin x+c的图象没有公共点,即方程cos x=sin x+c无解,也就是-c=sin x-cos x无解.
设h(x)=sin x-cos x=sinx-,则h(x)∈[-],即c<-或c>.
故选D.
10.A　由三角函数的叠加公式可得f(x)=sin2ωx+φ+,因为f(x)的最小正周期为π,所以2|ω|==2,因为ω>0,所以ω=1,则f(x)=sin2x+φ+.
又因为f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数,
所以φ+=kπ(k∈Z),即φ=kπ-.
又因为0<φ<π,则令k=1,
所以φ=,
所以f(x)=sin(2x+π)=-sin 2x.
11.C　因为sin α+cos α=2sinα+,
所以sin α+cos α∈[-2,2],
又sin α+cos α=,
所以-2≤≤2,解≤2,
即≤0,即≥0,
得m>-3;
解-2≤,即≥0,即≥0,
得m≥-或m<-3.
综上可得m≥-,即m的取值范围是-,+∞,
故选C.
12.ABD　f(x)=sin2x++cos2x+=sin2x+=sin2x+=cos 2x.
故选ABD.
13.AC　依题意f(x)=sin(2x+θ),其中cos θ=,sin θ=.
由于f(x)≤对任意x∈R成立,
故直线x=是函数f(x)的对称轴,
所以2×+θ=kπ+(k∈Z),所以θ=kπ+(k∈Z),
所以f(x)=sin2x+kπ+
=±sin2x+.
因为f=±sin2×=0,所以A正确;
显然,所以B错误;
根据f(x)的解析式可知f(x)是非奇非偶函数,所以C正确.
要使经过点(a,b)的直线与函数f(x)没有交点,则此直线和x轴平行,且|b|>,两边平方得b2>a2+b2,即a2<0,这不可能,矛盾,所以不存在经过点(a,b)的直线与函数的图象不相交,所以D错误.故选AC.
14.-　由题意知α+β=-.
所以cos αcos β-sin αcos β-cos αsin β-sin αsin β
=cos(α+β)-sin(α+β)
=2cos(α+β)-sin(α+β)
=2sin-(α+β)
=2sin=2sin.
15.解(1)因为f(x)=sinωx-+sinωx-,
所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx
=sin ωx-cos ωx=sin ωx-cos ωx
=sinωx-.
又因为f=0,
所以=kπ,k∈Z,
故ω=6k+2,k∈Z.
又因为0<ω<3,
所以ω=2.
(2)由(1)得f(x)=sin2x-,
所以g(x)=sinx+=sinx-.
因为x∈-,
所以x-∈-.
当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.
16.解(1)因为f(x)=(sin x+cos x)2+2sin-x·cos-x-1=1+sin 2x+cos 2x-1=sin2x+,
所以f-2f=sin-2sin=2-1=1.
(2)因为f(x)∈0,,
所以002kπ<2x++2kπ或+2kπ<2x+<π+2kπ,
-+kπ因为0≤x≤5,
所以当k=0时,0<当k=1时,2<所以x=3;
当k<0或k>1时,x无解.
综上所述,x∈{1,3}.
17.B　由f(x)=asin x+bcos x,得f(x)=cos(x-φ)tan φ=,因为直线x=x0是函数f(x)的一条对称轴,即x0-φ=kπ(k∈Z),即x0=φ+kπ,k∈Z,
因为tan x0=4,所以tan x0=tan φ=4,即=4,
所以a-4b=0.
18.解(1)因为h(x)=2sin-x-cos+x=-sin x+cos x,
所以函数h(x)是向量=-的相伴函数,
所以h(x)∈S.
(2)因为f(x)=2cos x,
所以g(x)=2cos x+2|sin x|-1=
则g(x)在0,上单调递增,,π上单调递减,π,π上单调递增,π,2π上单调递减,
又g(0)=1,g=3,g(π)=-3,g=3,g(2π)=1;