高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第4章 2-4 积化和差与和差化积公式（含解析）

2.4　积化和差与和差化积公式
必备知识基础练
1.4sin 40°-tan 40°的值为(　　)
A. B. C. D.
2.sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值为(　　)
A.- B. C. D.-
3.函数f(x)=2sinsin的最大值是(　　)
A.- B. C. D.-
4.若sin α+sin β=(cos β-cos α)且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于(　　)
A.- B.- C. D.
5.已知α-β=,cos α+cos β=,则cos=　　　　　.
6.若cos xcos y+sin xsin y=,sin 2x+sin 2y=,则sin(x+y)=　　　　　.
7.cos 15°cos 60°cos 75°=　　　.
8.求证:·tan 25°=.
关键能力提升练
9.-4cos 10°等于(　　)
A. B.1 C.- D.2
10.(多选)在△ABC中,若B=30°,则cos Asin C的取值可以是(　　)
A.-1 B.- C.- D.
11.设直角三角形中两锐角为A和B,则cos Acos B的取值范围是　　　　　.
12.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且 α∈(0,π),β∈(0,π),则tan=　　　;α-β=　　　　　.
学科素养创新练
13.已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,=-,求cos的值.
答案
1.D　原式=4sin 40°-
=
=
=
=
=
=2cos 30°=.
故选D.
2.B　sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=[sin(20°+70°)+sin(20°-70°)]+[cos(10°-50°)-cos(10°+50°)]
=(sin 90°-sin 50°)+(cos 40°-cos 60°)
=sin 50°+cos 40°
=sin 50°+sin 50°=.
3.C　f(x)=2sinsin=2×-cos-cos=-cos+cosx-=-+cosx-≤-+1=,
即f(x)的最大值为.
4.D　∵α,β∈(0,π),∴sin α+sin β>0,
∴cos β-cos α>0,cos β>cos α.又在(0,π)上,y=cos x单调递减,
∴β<α,∴0<α-β<π.
由原式可知,2sincos-2sinsin,
∴tan,
∴,∴α-β=.
5.　因为α-β=,所以cos α+cos β=2cos·cos=2cos·cos.所以cos.
6.　∵cos xcos y+sin xsin y=,∴cos(x-y)=.
∵sin 2x+sin 2y=,∴2sin(x+y)cos(x-y)=.
∴2sin(x+y)×,∴sin(x+y)=.
7.　原式=cos 15°cos 75°=[cos 90°+cos(-60°)]=.
8.证明左边=
=
=
=
=
==右边.
所以原等式成立.
9.A　-4cos 10°
=
=
=
=
=
=
=.
10.CD　cos Asin C=[sin(A+C)-sin(A-C)]=sin(A-C).
∵-1≤sin(A-C)≤1,∴cos Asin C∈-.
11.0,　由已知可得A+B=C=,则cos Acos B=[cos(A-B)+cos(A+B)]=cos(A-B).
又因为A-B∈-,
所以cos(A-B)∈0,.
12.　由已知得2sincos·-2sinsin,因为0<<π,-,
所以sin>0.所以tan.所以.
所以α-β=.
13.解由题设条件知B=60°,A+C=120°,
所以=-2,
即cos A+cos C=-2cos Acos C,
则2coscos=-[cos(A+C)+cos(A-C)],
将cos=cos 60°=,cos(A+C)=cos 120°=-代入上式,得coscos(A-C),
因为cos(A-C)=cos
=coscos-sinsin
=cos2-sin2=cos2-1-cos2
=2cos2-1,
代入上式并整理得4cos2+2cos-3=0,
即2cos2cos+3=0.
因为2cos+3≠0,
所以2cos=0.