高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第4章 3-1 二倍角公式（含解析）

3.1　二倍角公式
必备知识基础练
1.已知sin+α=-,则cos-2α=(　　)
A.- B. C.- D.
2.已知tan α=,tan β=,且α,β均为锐角,则α+2β的值为(　　)
A. B. C. D.
3.已知sin2α-=-,则cos+4α的值为(　　)
A. B.- C. D.-
4.(多选)下列各式中值为-的是(　　)
A.2sin 15°cos 15° B.cos275°-sin275°
C.2sin215°-1 D.sin215°+cos215°
5.(2022江苏南京模拟)若sin 2θ,则sin 2θ=(　　)
A.- B. C. D.-
6.(多选)函数f(x)=sin 2x+sin2x,x∈R,下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(0)=0
C.
D.-
7.已知α为锐角,且sin+cos,则sin α=　　　　,tan 2α=　　　　.
8.求下列各式的值:
(1);
(2)2tan 15°+tan215°;
(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
关键能力提升练
9.已知tan2=6,则cos 2α=(　　)
A. B. C. D.-
10.若α∈,且cos2α+cos,则tan α=(　　)
A. B.
C. D.或-7
11.(多选)已知ω>0,函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx-的最小正周期为π,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象关于直线x=对称
B.函数f(x)在区间上单调递增
C.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得函数g(x)=cos 2x的图象
D.当x∈0,时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-
12.(2π<α<3π)的化简结果为　　　　　.
13.已知sin α+3cos α=0,则sin 2α+cos2α=　　　　　.
14.已知tan α=,cos β=且0<α<<β<2π.
(1)求tan 2α的值;
(2)求α+β的值.
学科素养创新练
15.某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数.
cos215°+cos215°-sin 15°sin 15°;
cos280°+cos2(-50°)-sin 80°sin(-50°);
cos2170°+cos2(-140°)-sin 170°·sin(-140°).
(1)求出这个常数;
(2)结合(1)的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
答案
1.C　因为sin+α=-,所以cos 2+α=1-2sin2+α=1-2×-2=,
即cos+2α=,
因此cos-2α=cosπ-+2α=-cos+2α=-.故选C.
2.C　tan 2β=,tan(α+2β)==1.
因为α,β均为锐角,且tan α=<1,tan β=<1,所以α,β∈0,,
所以α+2β∈0,,所以α+2β=.
3.D　因为sin2α-=-,所以sin-2α=,所以cos2α+=,
所以cos+4α=cos 22α+=2cos22α+-1=2×2-1=-.故选D.
4.BC　对于A,2sin 15°cos 15°=sin 30°=;
对于B,cos275°-sin275°=cos 150°=-;
对于C,2sin215°-1=-cos 30°=-;
对于D,sin215°+cos215°=1.故选B,C.
5.A　因为sin 2θ==2(cos θ+sin θ),等式两边平方可得3sin22θ=4(1+sin 2θ),即3sin22θ-4sin 2θ-4=0,由题意可得cos θ-sin θ≠0,可得1-sin 2θ≠0,则sin 2θ≠1.因为-1≤sin 2θ<1,所以解得sin 2θ=-.
故选A.
6.BD　f(x)=sin 2x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin2x-+,
所以T==π,所以A不正确;
f(0)=×-+=0,所以B正确;
因为-1≤sin2x-≤1,
所以f(x)=sin 2x+sin2x的值域为,所以C不正确,D正确.
7.　∵sin+cos,∴sin2+cos2+2sincos,∴sin α=.
∵α为锐角,∴cos α=,tan α=,∴tan 2α=.
8.解(1)原式=
=
=
==1.
(2)原式=tan 30°(1-tan215°)+tan215°
=(1-tan215°)+tan215°=1.
(3)(方法一)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=cos 20°cos 40°cos 80°=.
(方法二)令x=sin 10°sin 50°sin 70°,
y=cos 10°cos 50°cos 70°.
则xy=sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°
=sin 20°sin 100°sin 140°
=sin 20°sin 80°sin 40°
=cos 10°cos 50°cos 70°=y.
因为y≠0,所以x=.
从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=.
9.B　由已知,因为cos α=cos2-sin2=-,
所以cos 2α=2cos2α-1=2×-1=.故选B.
10.C　cos2α+cos=cos2α-sin 2α=cos2α-2sin αcos α=,整理得3tan2α+20tan α-7=0,解得tan α=或tan α=-7.又α∈,所以tan α=,故选C.
11.AD　因为f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx-sin 2ωx+cos 2ωx=sin2ωx+,由T==π,所以ω=1,所以f(x)=sin2x+.
由2x+,得x=,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,所以A正确;
当x∈时,2x+∈,所以函数f(x)在区间上单调递减,故B不正确;
将函数f(x)的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数为y=fx-=sin2x-+=sin 2x,所以C不正确;
当x∈0,时,2x+∈,所以f(x)∈-,1,故D正确.
12.2sin　因为2π<α<3π,所以π<,
所以=2sin.
13.-　因为sin α+3cos α=0,所以sin α=-3cos α,所以tan α==-3,
所以sin 2α+cos2α==-.
14.解(1)因为tan α=,
所以tan 2α=.
(2)因为cos β=<β<2π,
所以sin β=-=-=-,
所以tan β==-2,
所以tan(α+β)==-1,
因为0<α<<β<2π,所以<α+β<,
所以α+β=.
15.解(1)cos215°+cos215°-sin 15°sin 15°
=2cos215°-sin215°
=1+cos 30°-(1-cos 30°)
=1+×1-=.
故这个常数为.
(2)推广:当α+β=30°时,cos2α+cos2β-sin αsin β=.
证明:cos2α+cos2β-sin αsin β
=cos2α+cos2(30°-α)-sin αsin(30°-α)
=×-×[cos 30°-cos(2α-30°)]
=1+[cos 2α+cos(60°-2α)]+-cos(2α-30°)
=1+·2cos 30°cos(2α-30°)+cos(2α-30°)
=1+cos(2α-30°)+cos(2α-30°)