高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第4章 习题课 三角恒等变换的综合应用（含解析）

习题课　三角恒等变换的综合应用
必备知识基础练
1.sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°的值等于(　　)
A. B. C. D.1+
2.的值是(　　)
A. B. C. D.
3.若cos-α=-,则cos 2α=(　　)
A.- B. C.- D.
4.(多选)已知a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈,π,若a·b=,则(　　)
A.sin α= B.cos 2α=-
C.sin 2α=- D.tanα+=
5.(多选)关于函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的四个结论,正确的是(　　)
A.最大值为
B.把函数g(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位长度得到f(x)的图象
C.单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z)
D.图象的对称中心为,-1(k∈Z)
6.已知cos 2θ=,则sin4θ+cos4θ=　　　　　.
7.化简=　　　　　.
8.已知tan α=2.
(1)求tan的值;
(2)求的值.
9.已知5sin β=sin(2α+β),求证:2tan(α+β)=3tan α.
关键能力提升练
10.设a=cos 5°-sin 5°,b=,c=,则a,b,c的大小关系正确的是(　　)
A.bC.b11.已知<α<π,且cosα-=-,则cos α的值为(　　)
A. B.-
C. D.
12.在△ABC中,点P在线段AB上,且=4,若=cos2θ·+sin2θ·,则cos 2θ=(　　)
A.- B. C.- D.
13.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是(　　)
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
14.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则sinx+=　　　;应按角度x=　　　　来截.
15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若tan Atan B=4(tan A+tan B)·tan C,则=　　　　　.
16.已知cos=-,sin,且α∈,β∈.
求:(1)cos;(2)tan(α+β).
17.已知向量a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0).
(1)若x=,求向量a,c的夹角;
(2)当x∈时,求函数f(x)=2a·b+1的最大值.
学科素养创新练
18.已知cos+x=,若π19.如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.
答案
1.B　sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+sin 30°=1+.
2.C　原式=
=
=.
3.B　由cos-α=-,可得sin α=-,则cos 2α=1-2sin2α=1-2×-2=.
故选B.
4.ACD　因为a·b=cos 2α+sin α(2sin α-1)=1-2sin2α+2sin2α-sin α=1-sin α=,所以sin α=,所以A正确;
因为α∈,π,所以cos α=-,所以sin 2α=2××-=-,所以B错误,C正确;
所以tan α=-,所以tanα+=.所以D正确.
5.CD　因为f(x)=2(sin x-cos x)cos x=2sin xcos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin2x--1,所以最大值为-1,所以A错误;
将g(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到h(x)=·sin 2-1=sin-1的图象,所以B错误;
由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z),所以C正确;
由2x-=kπ,k∈Z,得x=π+,k∈Z,所以图象的对称中心为,k∈Z,所以D正确.
6.　(方法一)因为cos 2θ=,
所以2cos2θ-1=,1-2sin2θ=,
即cos2θ=,sin2θ=,所以sin4θ+cos4θ=.
(方法二)sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-sin22θ
=1-(1-cos22θ)=1-.
7.　原式=tan(90°-2α)·
=.
8.解(1)tan
==-3.
(2)
=
=
==1.
9.证明5sin β=5sin[(α+β)-α]
=5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α,
sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]
=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α.
因为5sin β=sin(2α+β),所以5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α,所以4sin(α+β)cos α=6cos(α+β)sin α,所以2tan(α+β)=3tan α.
10.B　a=cos 5°-sin 5°=sin 30°cos 5°-cos 30°sin 5°=sin(30°-5°)=sin 25°,
b==sin 26°,c==sin 24°,
因为y=sin x在(0°,90°)上单调递增,且24°<25°<26°,
所以sin 24°故选B.
11.D　因为<α<π,所以<α-,
因为cosα-=-,所以sinα-=,
所以cos α=cosα-+=cosα-cos-sinα-sin=-.
12.A　如图所示,因为=4,所以=3.
根据向量相关公式可得,即.
又因为=cos2θ·+sin2θ·,
所以cos2θ=,sin2θ=,
所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ==-.
故选A.
13.A　由一元二次方程根与系数的关系,得
所以tan(A+B)=.
在△ABC中,tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-<0,所以C是钝角,则△ABC是钝角三角形.故选A.
14.　设正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则,
又a=GC+CF=bsin x+bcos x,
所以sin x+cos x=,所以sinx+=.
因为0所以x+或x+,解得x=或x=.
15.9　因为tan Atan B=4(tan A+tan B)tan C,
所以=4××=4××=4×,即,故原式化为sin Asin B=,由正、余弦定理得ab=,即ab·=4c2,所以a2+b2-c2=8c2,所以=9.
16.解(1)因为<α<π,0<β<,
所以<α-<π,--β<.
所以sin,
cos.
所以cos=cos=cosα-·cos+sinsin=-.
(2)因为,所以sin.
所以tan=-.
所以tan(α+β)=.
17.解(1)因为a=(cos x,sin x),c=(-1,0),
所以|a|==1,|c|==1.
当x=时,a=,
a·c=×(-1)+×0=-,cos==-.因为0≤≤π,所以=.
(2)f(x)=2a·b+1=2(-cos2x+sin xcos x)+1=2sin xcos x-(2cos2x-1)=sin 2x-cos 2x=sin.
因为x∈,
所以2x-,
所以sin,
所以当2x-,
即x=时,f(x)最大值为1.
18.解由π又cos+x=,所以sin+x=-,
所以cos x=cos+x-=cos+xcos+sin+xsin=-.
从而sin x=-,tan x=7.
则==-.
19.解过点B作BH⊥OA,垂足为H.
设∠OAD=θ0<θ<,
则∠BAH=-θ,OA=2cos θ,
BH=sin-θ=cos θ,AH=cos-θ=sin θ,
所以B(2cos θ+sin θ,cos θ),
OB2=(2cos θ+sin θ)2+cos2θ=7+6cos 2θ+2sin 2θ=7+4sin2θ+.
由0<θ<,知<2θ+,