高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第5章 1-2 复数的几何意义（含解析）

1.2　复数的几何意义
必备知识基础练
1.(多选)给出下列复平面内的点,这些点中对应的复数为虚数的是(　　)
A.(3,1) B.(-2,0)
C.(0,4) D.(-1,-5)
2.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应的点Z的集合对应的图形为(　　)
A.一个圆 B.一条线段
C.两点 D.两个圆
3.(多选)设复数z满足z=-1-2i,i为虚数单位,则下列说法正确的是(　　)
A.|z|=
B.复数z在复平面内对应的点在第四象限
C.z的共轭复数为-1+2i
D.复数z在复平面内对应的点在直线 y=-2x上
4.已知05.复数4+3i与-2-5i分别表示向量,则向量表示的复数是　　　　　,其共轭复数是　　　　　.
关键能力提升练
6.在复平面内,把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,则所得向量对应的复数是(　　)
A.2 B.-2i
C.-3i D.3+i
7.(多选)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,则下列说法正确的是(　　)
A.z不可能为纯虚数
B.若z的共轭复数为,且z=,则z是实数
C.若z=|z|,则z是实数
D.|z|可以等于
8.定义:复数b+ai是复数a+bi(a,b∈R)的转置复数,已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+2i=1-bi,则复数z=a+bi的转置复数是　　　　　.
9.已知复数z在复平面内对应的向量为(O为坐标原点),与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2,求复数z.
10.设z=x+yi(x,y∈R),若1≤|z|≤,判断复数w=x+y+(x-y)i的对应点的集合表示什么图形,并求其面积.
学科素养创新练
11.已知复数z1=1+cos θ+isin θ,z2=1-sin θ+icos θ,且两复数的模的平方和不小于2,求θ的取值范围.
答案
1.ACD　易知选项A,B,C,D中的点对应的复数分别为3+i,-2,4i,-1-5i,因此A,C,D中的点对应的复数为虚数,B中的点对应的复数为实数.故选ACD.
2.A　∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,
∴|z|=3,∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心,3为半径的一个圆.故选A.
3.AC　|z|=,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三象限,B不正确;z的共轭复数为-1+2i,C正确;复数z在复平面内对应的点(-1,-2)不在直线y=-2x上,D不正确.故选AC.
4.(2,)　由题意可知z=a+2i.根据复数的模的定义,得|z|=.而05.-6-8i　-6+8i　由题得=(4,3),=(-2,-5).又=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量表示的复数是-6-8i.其共轭复数是-6+8i.
6.B　复数3-i对应的点为(3,-),对应的向量按顺时针方向旋转,则对应的点为(0,-2),所得向量对应的复数为-2i.
7.BC　当a=0,b=1时,此时z=i为纯虚数,A错误;
若z的共轭复数为,且z=,则a+bi=a-bi,因此b=0,B正确;
由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确;
由|z|=可得a2+b2=,又a+b=1,因此8a2-8a+3=0,Δ=64-4×8×3=-32<0,无解,
即|z|不可以等于,D错误.
故选BC.
8.-2+i　由a+2i=1-bi,得a=1,b=-2,所以复数z=a+bi=1-2i,故复数z=1-2i的转置复数是-2+i.
9.解根据题意可在复平面作图如图所示,设点Z的坐标为(a,b),
因为||=|z|=2,∠xOZ=120°,
所以a=-1,b=,
即点Z的坐标为(-1,),
所以z=-1+i.
10.解|w|=|z|,
而1≤|z|≤,
故≤|w|≤2,
所以w对应点的集合是以原点为圆心,和2为半径的圆所夹圆环(含内外圆周),其面积S=π[22-()2]=2π.
11.解由已知得,
|z1|2=(1+cos θ)2+sin2θ=2+2cos θ,
|z2|2=(1-sin θ)2+cos2θ=2-2sin θ.
因为|z1|2+|z2|2≥2,
即2+2cos θ+2-2sin θ≥2,cos θ-sin θ≥-1,
所以cosθ+≥-,
所以2kπ-≤θ+≤2kπ+,k∈Z.
所以2kπ-π≤θ≤2kπ+,k∈Z.