高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第5章 2-1 复数的加法与减法（含解析）

2.1　复数的加法与减法
必备知识基础练
1.复数(其中i是虚数单位)2+2i-|+i|=(　　)
A.0 B.2 C.-2i D.2i
2.复数(3+mi)-(2+i)对应的点在第四象限内,则实数m的取值范围是(　　)
A.-1, B.(-∞,1)
C.,1 D.(1,+∞)
3.已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是(　　)
4.(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是(　　)
A.P0点的坐标为(1,2)
B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C.复数z对应的点Z在一条直线上
D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
5.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2,且z=13-2i,则z1=　　　　　,z2=　　　　　.
关键能力提升练
6.已知复数z1=1+icos θ,z2=sin θ-i(θ∈R),则|z1-z2|的最大值为(　　)
A.3-2 B.-1
C.3+2 D.+1
7.如图所示,在复平面内的四个点O,A,B,C恰好构成平行四边形,其中O为原点,A,B,C所对应的复数分别是zA=4+ai,zB=6+8i,zC=a+bi(a,b∈R),则zA-zC=　　　　　.
8.设实数x,y,θ满足以下关系:x+yi=3+5cos θ+i(-4+5sin θ),则x2+y2的最大值是　　　　　.
学科素养创新练
9.(多选)已知z1,z2∈C且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|可以取到的值有(　　)
A.6 B.5
C.4 D.3
10.设z=a+bi(a,b∈R),且4(a+bi)+2(a-bi)=3+i,又ω=sin θ-icos θ,求z的值和|z-ω|的取值范围.
答案
1.D　2+2i-|+i|=2+2i-=2+2i-2=2i.故选D.
2.B　∵(3+mi)-(2+i)=3+mi-2-i=1+(m-1)i,
∴m-1<0,∴m<1.
3.A　由题图可知z=-2+i,所以z+1=-1+i,则复数z+1所对应的向量的坐标为(-1,1).故选A.
4.ACD　复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;
复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;
设z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即,整理得,y=x,即点Z在直线y=x上,C正确;
易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0,Z两点之间距离的最小值,结合点到直线的距离公式可知,最小值为,故D正确.故选ACD.
5.5-9i　-8-7i　z=z1-z2=(3x+y-4y+2x)+(y-4x+5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i,
∴解得
∴z1=5-9i,z2=-8-7i.
6.D　|z1-z2|=|(1-sin θ)+(cos θ+1)i|=
=.
∵-1≤cosθ+≤1,
∴|z1-z2|max=+1.
7.2-4i　根据平面向量的定义可得,
所以4+ai+(a+bi)=6+8i.
因为a,b∈R,所以所以
所以zA=4+2i,zC=2+6i,
所以zA-zC=(4+2i)-(2+6i)=2-4i.
8.100　因为x+yi=(3+5cos θ)+i(-4+5sin θ),
所以x2+y2=(3+5cos θ)2+(-4+5sin θ)2=50+30cos θ-40sin θ=50+50cos(θ+φ),
其中sin φ=,cos φ=.
又-1≤cos(θ+φ)≤1,
所以(x2+y2)max=50+50=100.
9.CD　设z1=a+bi(a,b∈R,a2+b2=1),z2=c+di(c,d∈R),
因为z1+z2=2i,所以(a+c)+(b+d)i=2i,所以所以
所以|z1-z2|=|(a-c)+(b-d)i|=|2a+(2b-2)i|
==2=2=2.
因为a2+b2=1,所以-1≤b≤1,所以0≤2-2b≤4,所以0≤|z1-z2|≤4.故选CD.
10.解因为4(a+bi)+2(a-bi)=3+i,
所以6a+2bi=3+i,
所以所以
所以z=i,所以z-ω=i-(sin θ-icos θ)
=-sin θ++cos θi.
所以|z-ω|=
=
=,
因为-1≤sinθ-≤1,
所以0≤2-2sinθ-≤4,
所以0≤|z-ω|≤2,