高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第5章 2-2 复数的乘法与除法+2-3 复数乘法几何意义初探（含解析）

2.2　复数的乘法与除法-2.3　复数乘法几何意义初探
必备知识基础练
1.复数(1+2i)(2-3i)的共轭复数是(　　)
A.8-i B.8+i
C.-8-i D.-8+i
2.设a是实数,且是实数,则a的值为(　　)
A. B.1
C. D.2
3.(1+i)20-(1-i)20的值是(　　)
A.-1 024 B.1 024
C.0 D.512
4.(多选)设i是虚数单位,若复数a2-(a∈R)是纯虚数,则a的值可能为(　　)
A. B.-
C.3 D.-3
5.(多选)若复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位),复数z的共轭复数为,则(　　)
A.|z|=
B.z的实部是2
C.z的虚部是1
D.复数在复平面内对应的点在第一象限
6.设复数ω=-i,其中i为虚数单位,则1+ω+ω2+ω3=　　　　　.
7.已知复数z1满足(z1-2)i=1+i,复数z2的虚部为2,且z1z2为实数,则z1=　　　　　,z2=　　　　　.
关键能力提升练
8.(2022广东广州月考)设复数z=i,其中i是虚数单位,是z的共轭复数,下列判断中错误的是(　　)
A.z =1
B.z2=
C.z是方程x2-x+1=0的一个根
D.满足zn∈R的最小正整数n为3
9.若z=(a2-1)+(a-1)i为纯虚数,其中a∈R,则等于　　　　　.
10.已知i为虚数单位,若复数z=,z的共轭复数为,则|z·+z2 021|等于　　　　　.
11.在复平面内,复数z1=a+bi,z2=z1·,z3=z1·(i2 025)(a,b∈R),它们对应的向量分别为,如何直观地理解之间的位置关系呢
学科素养创新练
12.若z是关于x的方程2x2+mx+3-m2=0(m∈R)的一个虚根,则|z|的取值范围是　　　　　.
答案
1.A　根据复数的运算法则,可得(1+2i)(2-3i)=2-3i+4i-6i2=8+i,所以其共轭复数是8-i.
故选A.
2.B　∵i,∈R,∴=0,解得a=1.
3.C　∵(1+i)2=2i,∴(1+i)4=-4.∵(1-i)2=-2i,
∴(1-i)4=-4,∴(1+i)20-(1-i)20=(-4)5-(-4)5=0.
4.AB　因为a2-=a2-=a2-(3+i)=a2-3-i,故由题设a2-3=0,解得a=±.故选AB.
5.ABD　由(1+i)z=3+i,得z==2-i,∴|z|=,故A正确;
z的实部为2,故B正确;
z的虚部是-1,故C错误;
复数在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限,故D正确.
6.1　因为ω=-i,所以ω2=-i,ω3=-i-i=1,
则1+ω+ω2+ω3=1-i-i+1=1.
7.3-i　6+2i　由(z1-2)i=1+i,得z1-2==(1+i)(-i)=1-i,∴z1=3-i.设z2=x+2i(x∈R),则z1·z2=(3-i)(x+2i)=3x+2+(6-x)i为实数,∴x=6,∴z2=6+2i.
8.B　∵z=i,∴z2=i2=-i,i,z3=z2·z=-ii=-1.
对于A,z·=ii=1,故A正确;
对于B,z2=-,故B错误;
对于C,i2-i+1=-i-i+1=0,则z是方程x2-x+1=0的一个根,故C正确;
对于D,z=i,z2=-i,z3=-1,故D正确.
故选B.
9.i　因为z=(a2-1)+(a-1)i为纯虚数,所以a2-1=0,且a-1≠0,解得a=-1,
因此=i.
10.　依题意,得z==i,所以=-i,所以z·=i·(-i)=1,z2 021=i2 021=i,所以|z·+z2 021|=|1+i|=.
11.解因为z2=z1·=z1·,
所以是将沿原方向压缩倍得到的;
因为z3=z1·(i2 025)=z1·i,
所以是将逆时针旋转得到的.
12.　设z=a+bi(a,b∈R且b≠0),
因为z是关于x的方程2x2+mx+3-m2=0(m∈R)的一个虚根,
所以=a-bi为方程的另一个根,Δ<0,即m2-8(3-m2)<0,得0≤m2<,
因为z=a+bi,=a-bi是方程2x2+mx+3-m2=0的两个根,
所以z·=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=,
所以|z|=.
因为0≤m2<,
所以,
所以,即,