高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第5章 3-1 复数的三角表示式-3-2 复数乘除运算的几何意义（含解析）

3.1　复数的三角表示式
3.2　复数乘除运算的几何意义
必备知识基础练
1.复数z=-i的三角形式为(　　)
A.2cos+isin
B.2cos-isin
C.2cos-isin
D.2cos+isin
2.=(　　)
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
3.复数z=sin-icos,若zn=(n∈N),则n的最小值是(　　)
A.1 B.3 C.5 D.7
4.=　　　　　,其模为　　　　　.
5.在复平面内,把与复数-2+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转75°,求与所得向量对应的复数.
关键能力提升练
6.(2022江西南昌期中)复数(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)的三角形式是(　　)
A.sin 30°+icos 30°
B.cos 160°+isin 160°
C.cos 30°+isin 30°
D.sin 160°+icos 160°
7.设z1=1-2i,z2=1+i,z3=-1+3i,则arg z1+arg z2+arg z3=(　　)
A. B. C. D.
8.(多选)设z1,z2是复数,arg z1=α,arg z2=β,则arg(z1·z2)有可能是下列情况中的哪些(　　)
A.α+β B.α+β-2π
C.2π-(α+β) D.π+α+β
9.若分别对应复数z1=1+2i,z2=7+i,求∠Z2OZ1,并判断△OZ1Z2的形状.
答案
1.D　因为r=2,所以cos θ=,与z=-i对应的点在第四象限,所以arg(-i)=,所以z=-i=2cos+isin.
2.C　=2cosπ-+isinπ-=2cos+isin=-1+i.故选C.
3.C　z=sin-icos=cos-+isin-,
=cos+isin=cos-+isin-n=cos-+isin-.
又n∈N,∴n的最小值为5.
4.2+2i　4　=4[cos(90°-45°)+isin(90°-45°)]=4(cos 45°+isin 45°)=2+2i,其模为=4.
5.解所得向量对应的复数为(-2+2i)·(cos 75°+isin 75°)
=2(cos 135°+isin 135°)·(cos 75°+isin 75°)
=2[cos(135°+75°)+isin(135°+75°)]
=2(cos 210°+isin 210°)=2-i
=-i.
6.B　(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)=sin210°-cos210°+2sin 10°cos 10°i=-cos 20°+sin 20°i=cos 160°+isin 160°.故选B.
7.C　arg z1+arg z2+arg z3=arg(z1z2z3)+2kπ,k∈Z.
∵z1z2z3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)=10i,∴arg(z1z2z3)=.又8.AB　设z1=r1(cos α+isin α),z2=r2(cos β+isin β),则z1z2=r1r2[cos(α+β)+isin(α+β)],∴arg(z1z2)=α+β+2kπ(k∈Z)且arg(z1z2)∈[0,2π).
9.解∵cos+isin,
∴∠Z2OZ1=.
又Z1(1,2),Z2(7,),
∴=(6,-),∴=(1,2)·(6,-)=1×6+2×(-)=0,
∴,即∠OZ1Z2=,