高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第6章 1-3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台（含解析）

1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
必备知识基础练
1.用长为4,宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱,此圆柱轴截面的面积为(　　)
A. B.
C. D.
2.(多选)下列命题中正确的是(　　)
A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径
B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等
C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
3.已知圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为(　　)
A.10 cm B.20 cm
C.20 cm D.10 cm
4.已知球的半径为10 cm,若它的一个截面圆的面积为36π cm2,则球心与截面圆圆心的距离是　　　　cm.
5.一圆锥底面半径为2,母线长为6,将此圆锥沿一条母线展开,得到的扇形的面积为　　　　　.
关键能力提升练
6.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,那么这个球的半径是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.0.5
7.如图,用一边长为2的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为(　　)
A. B. C. D.
8.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是　　　　　.(填序号)
学科素养创新练
9.如图所示,已知圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA上的一个点,且SM=x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A.求:
(1)绳子的最短长度的平方f(x);
(2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离;
(3)f(x)的最大值.
答案
1.B　当围成的圆柱底面周长为4,高为2时,设圆柱底面圆的半径为r,则2πr=4,所以r=,所以轴截面是长为2,宽为的矩形,所以轴截面的面积为2×.同理,当围成的圆柱底面周长为2,高为4时,轴截面的面积也为.
2.ACD
3.A　圆锥的高即为经过轴的截面截得的等腰三角形的高,设为h cm.
这个等腰三角形的腰长为20 cm,顶角的一半为30°.
故h=20cos 30°=10(cm).
4.8　如图,设截面圆的半径为r,球心与截面圆圆心之间的距离为d,球半径为R.
由题意知,R=10(cm),由πr2=36π,得r=6(cm),
所以d==8(cm).
5.12π　因为圆锥的底面半径为2,所以底面圆的周长为4π,故将此圆锥沿一条母线展开,所得扇形的面积为×4π×6=12π.
6.B　如图所示,∵两个平行截面的面积分别为5π,8π,
∴两个截面圆的半径分别为r1=,r2=2.∵球心到两个截面的距离d1=,d2=,∴d1-d2==1,∴R2=9,∴R=3.
7.B　折起后的蛋巢四个小三角形顶点构成边长为1的正方形,其外接圆半径r=,球半径R=1,由球面的截面小圆性质知,球心到截面距离d=,
蛋巢四个小三角形顶点到蛋巢底的距离为边长是1的小等腰三角形的高,等于,
所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为.
8.①⑤　由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴,故只能是①⑤.
9.解将圆锥的侧面沿SA展开在平面上,如图所示,则该图为扇形,且弧AA'的长度L就是圆O的周长,
∴L=2πr=2π,
∴∠ASM=.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM,
其值为AM=(0≤x≤4),
∴f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).
(2)绳子最短时,在展开图中作SR⊥AM,垂足为R,
则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离,
在△SAM中,
∵S△SAM=SA×SM=AM×SR,
∴SR=(0≤x≤4),
即绳子最短时,顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).
(3)∵f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数,