高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第6章 2 直观图（含解析）

2　直观图
必备知识基础练
1.(多选)已知一条边在x轴上的正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一个边长为4,则此正方形的面积为(　　)
A.16 B.64 C.32 D.128
2.(2022安徽黄山期末)如图,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,则△OAB的周长为(　　)
A.12 B.10+2
C.7+2 D.11+
3.已知△ABC的面积为2,用斜二测画法画出其水平放置的直观图△A'B'C'如图所示,若O'A'=O'B'=1,则B'C'的长为　　　　　.
4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形A'B'C'D',如图所示,∠A'B'C' =45°,A'B'=A'D'=1,D'C'⊥B'C',则原平面图形的面积为　　　　　.
关键能力提升练
5.(多选)如图所示,用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图,得△A1B1C1,其中A1B1=B1C1,A1D1是B1C1边上的中线,则由图形可知下列结论中正确的是(　　)
A.AB=BC=AC
B.AD⊥BC
C.AB⊥BC
D.AC>AD>AB>BC
6.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图,边AB平行于y轴,BC与AD平行于x轴,已知四边形ABCD的面积为2 cm2,则原平面图形的面积为　　　　　cm2.
7.一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样,已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,若按1∶500的比例画出它的直观图,那么直观图中长方体的长为　　　　cm,宽为　　　　cm,建筑物的高为　　　　cm.
学科素养创新练
8.泉州是一个历史文化名城,它的一些老建筑是中西建筑文化的融合,它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合,具有独特的建筑风格与空间特征.为延续该市的建筑风格,在旧城改造中,计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”,并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋,该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体,请画出其直观图(尺寸自定).
答案
1.AB　等于4的一边在原图形中可能等于4,也可能等于8,所以正方形的面积为16或64.
2.B　根据题意,△OAB的图形如图,
其中∠AOB=90°,OB=4,OA=6,则AB==2,则△OAB的周长为10+2.
故选B.
3.1　△ABC的面积为S=2,则用斜二测画法画出其水平放置的直观图△A'B'C'的面积为S'==1,即A'B'·O'C'sin 45°=×2×O'C'×=1,
解得O'C'=,
在△O'B'C'中,由余弦定理得,B'C'2=O'B'2+O'C'2-2O'B'·O'C'·cos 45°=1+2-2×1×=1,
所以B'C'=1.
4.2+　过A'作A'E'⊥B'C',垂足为E'.
∵D'C'⊥B'C'且A'D'∥B'C',
∴四边形A'D'C'E'是矩形,∴E'C'=A'D'=1.
由∠A'B'C'=45°,A'B'=A'D'=1知B'E'=,
∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1+,高为2,
∴原平面图形的面积为×1+1+×2=2+.
5.CD　由直观图知△ABC为直角三角形,AB⊥BC,AB=2A1B1,BC=B1C1,D为BC的中点,如图所示.
∵A1B1=B1C1,∴AB错误,CD正确.
6.8　设AD=m,BC=n,AB=h,在四边形ABCD中,∠BAD=,
因为在四边形ABCD中,边AB平行于y轴,BC与AD平行于x轴,
所以,S梯形ABCD=·sin=2,可得(m+n)h=8,
设原图形为梯形A'B'C'D',在平面直角坐标系x'O'y'中,如图所示:
则A'B'平行于y'轴,B'C',A'D'平行于x'轴,且A'B'=2h,A'D'=m,B'C'=n,
因此,原图形的面积为S==(m+n)h=8(cm2).
7.4　0.5　3.6　由比例可知长方体的长、宽、高分别为4 cm,1 cm,2 cm,四棱锥的高为1.6 cm,所以长方体的直观图的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,四棱锥的直观图的高为1.6 cm.所以直观图中建筑物的高为2+1.6=3.6(cm).
8.解(1)先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'-ABCD;
(2)以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图ADE-BCF.直观图如图所示.