高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第6章 3-1-3-2 第1课时 关于平面的3个基本事实和推论（含解析）

第1课时　关于平面的3个基本事实和推论
必备知识基础练
1.(多选)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题正确的是(　　)
A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l α
B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
C.若l不在α内,A∈l,则A α
D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合
2.下列命题中正确的是(　　)
A.过三点确定一个圆
B.两个相交平面把空间分成四个区域
C.三条直线两两相交,则确定一个平面
D.四边形一定是平面图形
3.(多选)下图中图形的画法正确的是(　　)
4.三个平面最多能把空间分为　　　　　部分,最少能把空间分成　　　　　部分.
5.如图,四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.
求证:E,F,G,H四点必定共线.
关键能力提升练
6.如图所示,用符号语言可表述为(　　)
A.α∩β=m,n α,m∩n=A
B.α∩β=m,n α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A n
D.α∩β=m,n α,A∈m,A∈n
7.(多选)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是(　　)
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
8.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是　　　　　.
9.已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b,c和l共面.
10.如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.
学科素养创新练
11.如图,不共面的四边形ABB'A',BCC'B',CAA'C'都是梯形.
求证:三条直线AA',BB',CC'相交于一点.
答案
1.ABD　α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点.
若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l α,由平面的基本性质的基本事实1,可得A正确;
α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB,由平面的基本性质的基本事实2,可得B正确;
若l不在α内,A∈l,则A∈α或A α,可得C不正确;
若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合,由平面的基本性质的基本事实3,可得D正确.
2.B　A.过不共线三点确定一个圆,错误;
B.两个相交平面把空间分成四个区域,正确;
C.三条直线两两相交,若第三条在另两条确定的平面内可以确定一个平面,否则不能确定一个平面,错误;
D.四边形可以是平面图形,也可以是空间四边形,错误.
3.ACD
4.8　4　三个平面可将空间分成4,6,7,8部分,所以三个平面最少可将空间分成4部分,最多分成8部分.
5.证明因为AB∥CD,
所以直线AB,CD确定一个平面β,因为AB∩α=E,
所以E∈AB,E∈α,所以E∈β,所以E在α与β的交线l上.同理,F,G,H也在α与β的交线l上,所以E,F,G,H四点必定共线.
6.A　由图形可知,α∩β=m,n α,m∩n=A或表示为A∈m,A∈n.即A正确.
7.ABC　连接A1C1,AC(图略),则AC∩BD=O,A1C∩平面C1BD=M,∴三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,
∴A,B,C均正确,D不正确.
8.36　正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”,12条棱长共对应着24个“正交线面对”;正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”,12条面对角线对应着12个“正交线面对”,共有36个.
9.证明如图,因为a∥b,
所以a与b确定一个平面α.
因为l∩a=A,l∩b=B,
所以A∈α,B∈α.
又因为A∈l,B∈l,
所以l α.
因为b∥c,
所以b与c确定一个平面β,同理l β.
因为平面α与β都包含l和b,且b∩l=B,
由推论2知,两条相交直线确定一个平面,
所以平面α与平面β重合,所以a,b,c和l共面.
10.证明因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.
又=2,
所以GH∥BD,且GH=BD,
所以EF∥GH,且EF>GH,
所以四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交.设两腰EG,FH的延长线相交于一点P,
因为EG 平面ABC,FH 平面ACD,
所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD=AC,
所以P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点.
11.证明因为在梯形ABB'A'中,A'B'∥AB,
所以AA',BB'在同一平面A'B内.
设直线AA',BB'相交于点P,如图所示.
同理BB',CC'同在平面BC'内,CC',AA'同在平面A'C内.
因为P∈AA',AA' 平面A'C,
所以P∈平面A'C.