高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第6章 3.1 第2课时 基本事实4、异面直线、等角定理（含解析）

第2课时　基本事实4、异面直线、等角定理
必备知识基础练
1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则∠EFG与∠ABC1(　　)
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.不确定
2.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且,则下列说法正确的是(　　)
①E,F,G,H四点共面　②EF与GH异面　③EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上　④EF与GH的交点M一定在直线AC上
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是侧面AA1D1D,侧面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是(　　)
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
4.长方体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为　　　　.
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,AE=,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为　　　　　.
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.
关键能力提升练
7.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时,异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
8.如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.MN≥(AC+BD)
B.MN≤(AC+BD)
C.MN=(AC+BD)
D.MN<(AC+BD)
9.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点,则直线AB1和直线CC1所成的角的大小为　　　　　,直线AB1和直线EF所成的角的大小为　　　　　.
10.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.
求证:(1)D1E∥BF;
(2)∠B1BF=∠D1EA1.
学科素养创新练
11.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1的长.
答案
1.B　因为E,F,G分别为A1C1,B1C1,BB1的中点,所以EF∥A1B1∥AB,FG∥BC1,所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行,一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,故∠EFG与∠ABC1互补.
2.B　依题意,可得EH∥BD,FG∥BD,故FG∥EH,所以E,F,G,H四点共面,所以①正确,②错误.
因为EH=BD,FG=BD,所以四边形EFGH是梯形;
EF与GH必相交,设交点为M.
因为点M在EF上,故点M在平面ACB上,
同理,点M在平面ACD上,所以点M是平面ACB与平面ACD的交点.又AC是这两个平面的交线,
所以点M一定在直线AC上,所以④正确,③错误.
3.C　如图,连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点.由三角形的中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,故选C.
4.5　如图,根据两条平行直线确定
一个平面,两条相交直线确定一个平面知,既与AB共面又与CC1共面的棱有BB1,AA1,BC,CD,C1D1,共5条棱.
5.　设棱长为1,连接AD1(图略).∵A1B1∥C1D1,
∴∠AED1(或其补角)就是异面直线AE与A1B1所成的角.
AD1=,AE=,
∴在Rt△AED1中,cos∠AED1=.
6.证明在△PAB中,因为E,F分别是PA,PB的中点,
所以EF∥AB,EF=AB,同理GH∥DC,GH=DC.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD,AB=CD.所以EF∥GH,EF=GH.
所以四边形EFGH是平行四边形.
7.C　设正方体棱长为1,DP=x,则x∈[0,1],连接AD1,AP(图略).
由AD1∥BC1可知,∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角,
在△AD1P中,AD1=,AP=D1P=,
故cos∠AD1P=.又x∈[0,1],
∴cos∠AD1P=∈.
又∠AD1P∈(0,π),∴∠AD1P∈.故选C.
8.D　如图所示,取BC的中点E,连接ME,NE,则ME=AC,NE=BD,
所以ME+NE=(AC+BD).
在△MNE中,有ME+NE>MN,所以MN<(AC+BD).
9.45°　60°　连接DC1,易知DC1∥AB1,
∴直线DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是直线AB1和CC1所成的角.∵∠CC1D=45°,∴直线AB1和CC1所成的角的大小是45°.连接DA1,A1C1,∵E,F分别为AD,AA1的中点,∴EF∥A1D.
又AB1∥DC1,∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.易知△A1DC1是等边三角形,
∴∠A1DC1=60°,即直线AB1和EF所成的角的大小是60°.
10.证明(1)取BB1的中点M,连接EM,C1M.
在矩形ABB1A1中,易得EM=A1B1,EM∥A1B1.
因为A1B1=C1D1,
且A1B1∥C1D1,
所以EM=C1D1,且EM∥C1D1.
所以四边形EMC1D1为平行四边形.
所以D1E∥C1M.
在矩形BCC1B1中,易得MB=C1F,且MB∥C1F.
所以BF∥C1M,所以D1E∥BF.
(2)由(1)知,ED1∥BF,BB1∥EA1.
因为∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同,
所以∠B1BF=∠D1EA1.
11.解如图,连接CD1,AC.
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,
∴四边形A1BCD1是平行四边形,
∴A1B∥CD1,
∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.
∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°,
∴∠AD1C=90°.
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面均为矩形,AD=CD,
∴AD1=CD1,
∴△ACD1是等腰直角三角形,
∴AD1=AC.
∵底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,
∴AC=2×sin 60°×2=6,
∴AD1=AC=3,