高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第6章 5-1 直线与平面垂直（含解析）

5.1　直线与平面垂直
必备知识基础练
1.空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　　)
A.平行 B.垂直
C.相交 D.不确定
2.如图, ADEF的边AF⊥平面ABCD,且AF=2,CD=3,则CE=(　　)
A.2 B.3
C. D.
3.(多选)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是(　　)
4.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD的夹角是　　　　　.
5.已知直线l,a,b,平面α,若要得到结论l⊥平面α,则需要在条件a 平面α,b 平面α,l⊥a,l⊥b中另外添加的一个条件是　　　　　.
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=CD=1,PC=3,E为线段PB上一点(E不是端点),　　　　　.从①CD⊥BC;②CD∥平面PAB这两个条件中选一个,补充在上面问题中,并完成解答.
求证:四边形ABCD是直角梯形.
(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)
关键能力提升练
7.在四面体PABC中,若PA=PB=PC,则点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
8.(多选)如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,则以下正确的是(　　)
A.AB∥CD B.CD∥EF
C.ED⊥HG D.HG⊥EF
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段AB1,BC1的中点,以下结论:①BD⊥MN;②直线MN与直线AC异面;③MN⊥平面BDD1B1;④MN=AA1,其中正确的个数是　　　　　.
10.如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点.
(1)求证:EF∥平面A1B1BA;
(2)求证:AE⊥平面BCB1;
(3)求直线A1B1与平面BCB1的夹角的大小.
学科素养创新练
11.如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAD.
(2)若PD与平面ABCD的夹角为α,当α为多少度时,MN⊥平面PCD
答案
1.B　由于直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,而这两边相交于点C,所以直线l和三角形所在的平面垂直,又因三角形的第三边AB在这个平面内,所以l⊥AB.
2.D　因为四边形ADEF为平行四边形,所以AF∥DE且AF=DE.
因为AF⊥平面ABCD,所以DE⊥平面ABCD,所以DE⊥DC.因为AF=2,所以DE=2.
又CD=3,所以CE=.
故选D.
3.BD　对于A,易证AB与平面CDE的夹角为30°,所以直线AB与平面CDE不垂直;
对于B,易证AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,CE,ED 平面CDE,所以AB⊥平面CDE;
对于C,易证AB与平面CDE的夹角的正弦值为,所以直线AB与平面CDE不垂直;
对于D,易证ED⊥平面ABC,得ED⊥AB,易证EC⊥AB,且ED∩EC=E,ED,EC 平面CDE,所以AB⊥平面CDE.
故选BD.
4.30°　由题意知∠PCA为PC与平面ABCD的夹角.在Rt△PAC中,tan∠PCA=,∴∠PCA=30°.
5.a与b相交
6.证明选择①,连接AC.
因为PA⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,
所以PA⊥AC.
因为PA=2,PC=3,所以AC2=PC2-PA2=5.
因为AB=2,BC=1,所以AC2=AB2+BC2,
所以AB⊥BC.
因为CD⊥BC,所以AB∥CD.
又AB≠CD,
所以四边形ABCD是直角梯形.
选择②,连接AC.
因为PA⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以PA⊥AC.
因为PA=2,PC=3,所以AC2=PC2-PA2=5.
因为AB=2,BC=1,
所以AC2=AB2+BC2,所以AB⊥BC.
因为CD∥平面PAB,CD 平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,
所以AB∥CD.
又AB≠CD,所以四边形ABCD是直角梯形.
7.A　如图,设点P在平面ABC内的投影为点O,连接OP,则PO⊥平面ABC,
连接OA,OB,OC,则PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.
又PA=PB=PC,∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,
∴OA=OB=OC,∴O为△ABC的外心.
8.BC　由正方体的展开图,将它还原为正方体,如图:
对于A:易知AB与CD是异面直线,故A错误;
对于B;易知CD∥EF,故B正确;
对于C:易知HG⊥平面ADME,从而有ED⊥HG,故C正确;
对于D:由CD∥EF可知,HG与EF所成角为∠HGD,
又易知△HGD为等边三角形,故∠HGD=60°,故D错误.
9.①③④　过M作MF⊥AB交AB于F,过N作NE⊥BC交BC于E,连接EF,AC,BD,B1D1(图略).由于M,N分别为AB1,BC1的中点,所以NE∥CC1∥BB1∥MF,且NE=CC1=BB1=MF,且NE⊥BC,MF⊥AB,AB,BC 平面ABC,AB∩BC=B,所以NE⊥平面ABC,所以NE⊥EF,故四边形MNEF为矩形,故MN∥EF,易证EF∥AC,故②错误;由于AC⊥BD,AC⊥BB1,BD,BB1 平面BDD1B1,BD∩BB1=B,所以AC⊥平面BDD1B1,由MN∥AC,所以MN⊥平面BDD1B1,BD 平面BDD1B1,所以MN⊥BD,即①③正确;由勾股定理得AC=AA1,故EF=AC=AA1,故④正确.
10.(1)证明如图,连接A1B.
在△A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EF∥BA1.
又因为EF 平面A1B1BA,BA1 平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.
(2)证明因为AB=AC,E为BC的中点,所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,
所以BB1⊥平面ABC.
又因为AE 平面ABC,
所以BB1⊥AE.
又因为BC∩BB1=B,BC,BB1 平面BCB1,
所以AE⊥平面BCB1.
(3)解取BB1的中点M和B1C的中点N,连接A1M,A1N,NE.
因为N和E分别为B1C和BC的中点,
所以NE∥B1B,NE=B1B,
故NE∥A1A且NE=A1A,
所以四边形AENA1是平行四边形,
所以A1N∥AE,且A1N=AE.
又因为AE⊥平面BCB1,
所以A1N⊥平面BCB1,
从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角.
在△ABC中,可得AE=2,
所以A1N=AE=2.
因为BM∥AA1,BM=AA1,
所以四边形MBAA1为平行四边形,
所以A1M∥AB,A1M=AB.
又由AB⊥BB1,得A1M⊥BB1.
在Rt△A1MB1中,
可得A1B1==4.
在Rt△A1NB1中,sin∠A1B1N=,
因此∠A1B1N=30°,
所以直线A1B1与平面BCB1的夹角为30°.
11.(1)证明取PD的中点E,连接NE,AE,如图.
∵N是PC的中点,
∴NE∥DC且NE=DC.
又DC∥AB且DC=AB,AM=AB,
∴AM∥CD,且AM=CD,
∴NE∥AM,且NE=AM,
∴四边形AMNE是平行四边形,
∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD,MN 平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
(2)解当α=45°时,MN⊥平面PCD,证明如下:
∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PDA即为PD与平面ABCD的夹角,
∴∠PDA=45°,
∴AP=AD,∴AE⊥PD.
又MN∥AE,
∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,
∴PA⊥CD.
又CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD,
∴CD⊥AE,∴CD⊥MN.
又CD∩PD=D,CD,PD 平面PCD,