综合检测卷-2022-2023学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册（含解析）

新人教B版必修三综合检测卷
（原卷+答案）　
(满分：150分　　时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．sin 480°等于(　　)
A．－ B． C．－ D．
2．若a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b的夹角的余弦值为(　　)
A． B． C．－ D．－
3．若|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a与b的夹角θ的余弦值为(　　)
A．－ B． C． D．－
4．设向量a＝的模为，则cos 2α等于(　　)
A．－ B．－ C． D．
5．化简式子 的值是(　　)
A．sin 2 B．－cos 2 C．cos 2 D．－cos 2
6．函数f(x)＝tan (－)的单调递增区间是(　　)
A．[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z B．(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z
C．[4kπ－，4kπ＋]，k∈Z D．(4kπ－，4kπ＋)，k∈Z
7.
如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝4sin (＋φ)＋k，据此图象可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．10 B．8
C．6 D．5
8.
如图，向量＝a，＝b，且⊥，C为垂足，设向量＝λa(λ>0)，则λ的值为(　　)
A． B． C． D．
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列函数中，周期不为的是(　　)
A．y＝cos 4x B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝sin
10．已知函数f(x)＝2sin x cos x－2sin2x，给出下列四个选项，正确的有(　　)
A．函数f(x)的最小正周期是π
B．函数f(x)在区间[，]上是减函数
C．函数f(x)的图象关于点(－，0)对称
D．函数f(x)的图象可由函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到
11．若函数f＝cos ωx(ω>0)在开区间(2π，3π)内既没有最大值1，也没有最小值－1，则下列ω的取值中，可能的有(　　)
A． B． C． D．1
12．已知向量a与向量b满足如下条件，其中a与b的夹角是的有(　　)
A．|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2 B．|a|＝|b|＝1，a2＋a·b＝
C．a＝(，－1)，b＝(2，2) D．a＝(2，2)，b＝(－3，0)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)
13．将函数y＝sin 的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数的解析式是________．
14．若扇形的周长是16 cm，圆心角是2 rad，则扇形的面积是________cm2.
15．设α为锐角，若cos (α＋)＝，则sin (2α＋)的值为________.
16．关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
③f(x)的图象关于直线x＝对称．
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α、β(β>α)的终边分别与单位圆交于A，B两点，点A(，).
(1)若点B(，)，求cos (α＋β)的值；
(2)若·＝，求sin β.
18．(12分)设向量a＝(cos (α＋β)，sin (α＋β))，b＝(cos (α－β)，sin (α－β))，且a＋b＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
19．(12分)已知sin α＝，α∈(0，).
(1)求sin (α＋)的值；
(2)若tan β＝，求tan (2α－β)的值．
20．(12分)已知函数y＝cos2x＋sinx cos x＋1，x∈R.
(1)求它的振幅、周期和初相；
(2)用“五点法”作出它的简图；
(3)该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
21．(12分)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
22．(12分)已知向量m＝(sin x，－)，n＝(cos x，cos 2x)，函数 f(x)＝m·n.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，]上的值域．
参考答案
1．解析：sin 480°＝sin (360°＋120°)＝sin 120°＝sin (180°－60°)＝sin 60°＝.
答案：D
2．解析：由题意得cos 〈a，b〉＝＝＝.
答案：A
3．解析：由|a＋b|＝，得7＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2cos θ，所以cos θ＝.
答案：B
4．解析：由题意，知 ＝.∴cos2α＝.
∴cos2α＝2cos2α－1＝－1＝－.
答案：B
5．解析：将cos4运用倍角公式变形为1－2sin22，从而原式化为，再开方即得结果．
答案：D
6．解析：由题意，函数 f(x)＝tan ，
令 －＋kπ<－<＋kπ，k∈Z，
解得2kπ－即函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
答案：B
7．解析：某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝4sin (＋φ)＋k，
据此图象可知，这段时间水深最小值为－4＋k＝2，
所以k＝6，故这段时间水深(单位：m)的最大值为4＋k＝10.
答案：A
8．解析：为在上的投影．故||＝，
∴＝·＝·a.
答案：A
9．解析：对于选项A，周期为T＝＝；
对于选项B，周期为T＝＝π；
对于选项C，周期为T＝＝8π；
对于选项D，周期为T＝＝4π.
故选BCD.
答案：BCD
10．解析：因为f(x)＝2sin x cos x－2sin2x＋1－1＝sin2x＋cos 2x－1＝sin (2x＋)－1，
对A，因为ω＝2，所以f(x)的最小正周期T＝π，结论正确；
对B，当x∈[，]时，2x＋∈[，]；
则f(x)在[，]上是减函数，结论正确．
对C，因为f(－)＝－1，得到函数f(x)图象的一个对称中心为，结论不正确；
对D，函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到，结论不正确．
答案：AB
11．解析：因为函数f(x)＝cos ωx (ω>0)在开区间(2π，3π)内既没有最大值，也没有最小值，所以f(x)＝cos ωx (ω>0)的周期大于等于2π，即≥2π，所以ω≤1.
当ω＝时，f(x)＝cos x，x∈(2π，3π)时，∈(，π)，无最大值1和最小值－1，ω＝成立，A正确；
当ω＝时，f(x)＝cos x ，x∈(2π，3π)时，∈(π，)，无最大值1和最小值－1，ω＝成立，B正确；
当ω＝时，f(x)＝cos ，x∈(2π，3π)时，∈(，)，有最大值1，不成立，C不正确；
当ω＝1时，f(x)＝cos x，x∈(2π，3π)时，无最大值1和最小值－1，ω＝1成立，D正确．
故选ABD.
答案：ABD
12．解析：由a·(b－a)＝2，得a·b－a2＝2，
则a·b＝3，设向量a与向量b的夹角为α，
则a·b＝|a|·|b|cos α＝3，
则cos α＝，那么α＝，则A正确；
由a2＋a·b＝，得a·b＝，设向量a与向量b的夹角为α，则a·b＝|a|·|b|cos α＝，
则cos α＝，那么α＝，则B正确；
由a＝(，－1)，b＝(2，2)，
则|a|＝2，|b|＝4，a·b＝4，则cos α＝，
那么α＝，则C正确；
由a＝(2，2)，b＝(－3，0)，则|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则cos α＝－，那么α＝，则D不正确．
答案：ABC
13．解析：图象向右平移个单位，解析式应变为y＝sin ，即y＝sin ，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，得y＝sin .
答案：y＝sin
14．解析：设扇形半径为r cm，弧长为l cm，
则l＝2r, 16＝2r＋2r，所以r＝4，则扇形面积为
S＝×2×r2＝16(cm2).
答案：16
15．解析：设β＝α＋，所以sin β＝，
sin 2β＝2sin βcos β＝，
cos 2β＝2cos2β－1＝，
所以sin(2α＋)＝sin (2α＋－)
＝sin (2β－)＝sin 2βcos －cos 2βsin
＝.
答案：
16．解析：要使函数f(x)＝sin x＋有意义，则有sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z，∴定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝sin (－x)＋＝－sin x－＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，
∴①是假命题，②是真命题．
对于③，要证f(x)的图象关于直线x＝对称，只需证f＝f.
∵f＝sin ＋＝cos x＋，
f＝sin ＋＝cos x＋，
∴f＝f，∴③是真命题．
令sin x＝t，－1≤t≤1且t≠0，∴g(t)＝t＋，－1≤t≤1且t≠0，此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分)，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴函数的最小值不为2，即f(x)的最小值不为2.∴④是假命题．
综上所述，所有真命题的序号是②③.
答案：②③
17．解析：(1)因为α，β是锐角，且A(，)，B(，)在单位圆上，
所以sin α＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
(2)因为·＝，
所以||·||cos (β－α)＝，
且||＝||＝1，
所以，cos (β－α)＝，
可得sin (β－α)＝(β>α)，
且cos α＝，sin α＝，
所以sin β＝sin [α＋(β－α)]
＝sin αcos (β－α)＋cos αsin (β－α)
＝×＋×＝.
18．解析：(1)a＋b＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β，sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β)＝(2cos αcos β，2sin αcos β)＝.
∴2cos αcos β＝，2sin αcos β＝，∴tan α＝.
(2)＝＝＝－.
19．解析：(1)因为sin α＝，α∈(0，)，
所以 cos α＝＝＝，
所以 sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin
＝×＋×＝.
(2)由(1)tan α＝得tan 2α＝＝＝，所以tan (2α－β)＝＝＝.
20．解析：y＝cos2x＋sinx cos x＋1＝cos 2x＋sin 2x＋＝sin (2x＋)＋.
(1)y＝cos2x＋sinx cos x＋1的振幅为A＝，周期为T＝＝π，初相为φ＝.
(2)令x1＝2x＋，
则y＝sin (2x＋)＋＝sin x1＋，
列出下表，并描点得出的图象如图所示：
x －
x1 0 π 2π
y＝sin x1 0 1 0 －1 0
y＝sin (2x＋)＋
(3)将函数图象依次经过如下变换：
函数y＝sin x的图象．
函数y＝sin (2x＋)的图象
函数y＝sin (2x＋)的图象
函数y＝sin (2x＋)＋的图象，
即得函数y＝cos2x＋sinx cos x＋1的图象．
21．解析：(1)由题图，得A＝3，＝＝5π，
故ω＝.
由f(x)＝3sin 的图象过点，得
sin ＝0.
又|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝3sin .
(2)设把f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度，能使得到的图象对应的函数为偶函数．
由f(x＋m)＝3sin ＝3sin (＋－)为偶函数，知－＝kπ＋(k∈Z)，
解得m＝＋(k∈Z).
∵m>0，∴mmin＝.
故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．
22．解析：(1)f(x)＝m·n＝sin x cos x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin (2x－)，
所以f(x)的最小正周期 T＝＝π，由 －＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)由(1)得f(x)＝sin (2x－)，
将函数y＝f(x)的图象向左平移 个单位得到
y＝sin [2(x＋)－]＝sin (2x＋)的图象，
因此g(x)＝sin (2x＋)，又 x∈[0，]，
所以 2x＋∈[，]，
sin (2x＋)∈[－，1]，
故g(x)在[0，]上的值域为[－，1].